第1章《 二次根式》1.3 二次根式的运算（3）——浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2022·安顺）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
2．（2024八下·盐山期中）下列各数中与的积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．一块正方形的瓷砖， 面积为 ， 则它的边长在( )
A． 之间 B． 之间
C． 之间 D． 之间
4．（2024八上·兰州期中）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·武汉期末）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（ ）
A．48 B． C．62 D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·杭州月考）如图，将长、宽的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为 .
7． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是 ．
8．（2024八下·杭州月考）已知，，则 .
9．已知对于正整数n，有 若某个正整数 k满足 ，则 k = .
10．如图， 在 中， 于点 ， 则 的面积为 .
三、解答题（共7题，共50分）
11．（2024九上·潮阳开学考）计算：．
12．计算：.
13．（2024八上·兴平期末）计算：．
14．（2024八下·澄海期末）计算：．
15．（2024九上·惠阳开学考）已知的周长为，其中，．
（1）求的长度；
（2）判断是否为直角三角形，并说明理由．
16．（2024八下·斗门期中）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ．
（1）若，，求图1中两个正方形的面积之和；
（2）若，，求图2中的长；
（3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积．
17．（2024八上·罗湖期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，为三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S.
（1）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积
（2）利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为.
①当时，请直接写出中最长边的长度；
②若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=
=2+，
∵3<<4，
∴5<2+<6，
故答案为：B.
【分析】先根据二次根式的混合运算将原式化简，再根据估算无理数大小的方法进行估算，即可解答.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；有理数的概念
【解析】【解答】A、∵×=不是有理数，∴A不符合题意；
B、∵（）×=不是有理数，∴B不符合题意；
C、∵（）×=不是有理数，∴C不符合题意；
D、∵×=-7是有理数，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的乘法的计算方法及无理数的定义逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：面积为 的正方形，其边长为.
∵49＜50＜64，
∴.
∴7＜＜8.
即其边长介乎7到8cm之间.
故答案为：D.
【分析】先估计出50介乎于哪两个连续平方数之间，然后开方比较即可.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：，，．
，
的面积；
故选：A．
【分析】考查二次根式的应用.根据，，， 利用公式可求出的值，根据海伦公式可得的面积为：，再进行计算可求出答案；
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：设两个小正方形的边长分别为a，b，
∵阴影部分的周长和面积分别是和，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】设两个小正方形的边长分别为a，b，根据阴影部分的周长和面积得到，，利用完全平方公式求得，即可得到的值．
6．【答案】
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：长方形的面积为：
∴拼成正方形后，正方形边长为
故答案为：.
【分析】先求出长方形的面积，然后根据正方形的边长是面积的算术平方根即可求出正方形的边长.
7．【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
∵，∴，∴
∴ 的整数部分为 1，即a=1，∴
小数部分是，即b=
∴
故答案为：2.
【分析】先确定的范围，再确定 的范围，求出的整数部分和小数部分，得出a，b值，代入 中计算即可。在计算时可运用乘法公式，会使计算简便些。
8．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的加法及乘法法则先算出a+b及ab的值，再将用配方法变形为，然后代入求值即可．
9．【答案】8
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：
∴
解得k=8
故答案为：8
【分析】先根据结合题意得到，即，再根据题意解分式方程即可求解。
10．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：在△ABD中，∠A＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝45°＝∠A，∴AD＝BD＝1，
在△CBD中，∠C＝30°，∠BDC＝90°，
∴BC＝2BD＝2，
∴CD＝
∴AC＝AD+CD＝
∴△ABC的面积为：
故答案为：
【分析】先根据含有特殊角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出AD，CD，得AC，再根据三角形面积公式计算△ABC的面积。
11．【答案】解：．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的除法及乘法法则计算二次根式的除法及乘法，再根据二次根式的性质将二次根式化简即可.
12．【答案】解：原式，
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算零指数幂、二次根式的化简、绝对值，进而根据二次根式的混合运算即可求解。
13．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的性质将各个需要化简的二次根式分别化简，再利用二次根式的乘法法则计算二次根式的乘法，然后合并同类二次根式即可．
14．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键，属于基础题型.先将二次根式化为最简二次根式，然后在合并同类二次根式即可求解.
15．【答案】（1）解：∵的周长为，，，
∴
（2）解：∵，AB2=16，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形
【知识点】二次根式的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据AC=ABC的周长-AB-BC，代入计算可求出AC的长.
（2）先求出AC2+BC2和AB2的值，再证明AC2+BC2=AB2，利用勾股定理的逆定理可证得结论.
16．【答案】（1）解：由题意知，，
∴图1中两个正方形的面积之和为；
（2）解：由题意知，，，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
∴的长为4；
（3）解：由题意知，，，
∵，，
∴，，
整理得，，
解得，，
∴，
解得，，
∴的面积为1．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）将，， 代入正方形的面积计算公式求解即可；
（2）由题意可推导出∠ACF=90°，先由勾股定理求出AC、CF的长，再由勾股定理求出AF的长即可；
（3）根据两个正方形的面积和为2，四边形的面积为3，可得，，据此将已知的两个等式分别平方，求和后可求出，据此代入即可求出的面积.
17．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，
，，，
∴中最长边的长度为；
∵，，
∴，
∵，三角形的边为正数，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值，
∴，，，
∴
，
，
，
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）将a、b、c的值求出p的值，再将a、b、c、p的值代入计算即可；
（2）①将x的值分别代入计算并比较大小即可；
②先求出x的值，再求出a、b、c的值，再将其代入计算即可.
1 / 1第1章《 二次根式》1.3 二次根式的运算（3）——浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2022·安顺）估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=
=2+，
∵3<<4，
∴5<2+<6，
故答案为：B.
【分析】先根据二次根式的混合运算将原式化简，再根据估算无理数大小的方法进行估算，即可解答.
2．（2024八下·盐山期中）下列各数中与的积为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；有理数的概念
【解析】【解答】A、∵×=不是有理数，∴A不符合题意；
B、∵（）×=不是有理数，∴B不符合题意；
C、∵（）×=不是有理数，∴C不符合题意；
D、∵×=-7是有理数，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的乘法的计算方法及无理数的定义逐项分析判断即可.
3．一块正方形的瓷砖， 面积为 ， 则它的边长在( )
A． 之间 B． 之间
C． 之间 D． 之间
【答案】D
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：面积为 的正方形，其边长为.
∵49＜50＜64，
∴.
∴7＜＜8.
即其边长介乎7到8cm之间.
故答案为：D.
【分析】先估计出50介乎于哪两个连续平方数之间，然后开方比较即可.
4．（2024八上·兰州期中）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：，，．
，
的面积；
故选：A．
【分析】考查二次根式的应用.根据，，， 利用公式可求出的值，根据海伦公式可得的面积为：，再进行计算可求出答案；
5．（2024八下·武汉期末）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（ ）
A．48 B． C．62 D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：设两个小正方形的边长分别为a，b，
∵阴影部分的周长和面积分别是和，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】设两个小正方形的边长分别为a，b，根据阴影部分的周长和面积得到，，利用完全平方公式求得，即可得到的值．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·杭州月考）如图，将长、宽的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为 .
【答案】
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：长方形的面积为：
∴拼成正方形后，正方形边长为
故答案为：.
【分析】先求出长方形的面积，然后根据正方形的边长是面积的算术平方根即可求出正方形的边长.
7． 若 的整数部分为 ，小数部分为 ， 则代数式 的值是 ．
【答案】2
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
∵，∴，∴
∴ 的整数部分为 1，即a=1，∴
小数部分是，即b=
∴
故答案为：2.
【分析】先确定的范围，再确定 的范围，求出的整数部分和小数部分，得出a，b值，代入 中计算即可。在计算时可运用乘法公式，会使计算简便些。
8．（2024八下·杭州月考）已知，，则 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的加法及乘法法则先算出a+b及ab的值，再将用配方法变形为，然后代入求值即可．
9．已知对于正整数n，有 若某个正整数 k满足 ，则 k = .
【答案】8
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：
∴
解得k=8
故答案为：8
【分析】先根据结合题意得到，即，再根据题意解分式方程即可求解。
10．如图， 在 中， 于点 ， 则 的面积为 .
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：在△ABD中，∠A＝45°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝45°＝∠A，∴AD＝BD＝1，
在△CBD中，∠C＝30°，∠BDC＝90°，
∴BC＝2BD＝2，
∴CD＝
∴AC＝AD+CD＝
∴△ABC的面积为：
故答案为：
【分析】先根据含有特殊角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出AD，CD，得AC，再根据三角形面积公式计算△ABC的面积。
三、解答题（共7题，共50分）
11．（2024九上·潮阳开学考）计算：．
【答案】解：．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的除法及乘法法则计算二次根式的除法及乘法，再根据二次根式的性质将二次根式化简即可.
12．计算：.
【答案】解：原式，
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算零指数幂、二次根式的化简、绝对值，进而根据二次根式的混合运算即可求解。
13．（2024八上·兴平期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的性质将各个需要化简的二次根式分别化简，再利用二次根式的乘法法则计算二次根式的乘法，然后合并同类二次根式即可．
14．（2024八下·澄海期末）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键，属于基础题型.先将二次根式化为最简二次根式，然后在合并同类二次根式即可求解.
15．（2024九上·惠阳开学考）已知的周长为，其中，．
（1）求的长度；
（2）判断是否为直角三角形，并说明理由．
【答案】（1）解：∵的周长为，，，
∴
（2）解：∵，AB2=16，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形
【知识点】二次根式的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据AC=ABC的周长-AB-BC，代入计算可求出AC的长.
（2）先求出AC2+BC2和AB2的值，再证明AC2+BC2=AB2，利用勾股定理的逆定理可证得结论.
16．（2024八下·斗门期中）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ．
（1）若，，求图1中两个正方形的面积之和；
（2）若，，求图2中的长；
（3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积．
【答案】（1）解：由题意知，，
∴图1中两个正方形的面积之和为；
（2）解：由题意知，，，
∴，
由勾股定理得，，，
∴，
∴的长为4；
（3）解：由题意知，，，
∵，，
∴，，
整理得，，
解得，，
∴，
解得，，
∴的面积为1．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）将，， 代入正方形的面积计算公式求解即可；
（2）由题意可推导出∠ACF=90°，先由勾股定理求出AC、CF的长，再由勾股定理求出AF的长即可；
（3）根据两个正方形的面积和为2，四边形的面积为3，可得，，据此将已知的两个等式分别平方，求和后可求出，据此代入即可求出的面积.
17．（2024八上·罗湖期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，为三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S.
（1）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积
（2）利用材料2解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为.
①当时，请直接写出中最长边的长度；
②若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，
，，，
∴中最长边的长度为；
∵，，
∴，
∵，三角形的边为正数，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值，
∴，，，
∴
，
，
，
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）将a、b、c的值求出p的值，再将a、b、c、p的值代入计算即可；
（2）①将x的值分别代入计算并比较大小即可；
②先求出x的值，再求出a、b、c的值，再将其代入计算即可.
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