第2章 《一元二次方程》2.2 一元二次方程的解法（3）——浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2020·聊城）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2022·聊城）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2023九上·东莞期末）配方法解方程应把它先变形为（ ）
A．. B．
C． D．
4．（2024八下·临平月考）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列各式中的哪一个？（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·龙华期中）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024·巴中模拟） 若x、y均为实数，则代数式的最小值是 ．
7．（2024·咸宁模拟）已知，代数式 ．
8．（2018七上·虹口期中）已知： ，则 = ．
9． 若 ( 为实数)， 则 的大小关系为 Q． (填“>” “ ”或
10．（2024八上·万源期末）的三边分别是a、b、c，且满足，，则的形状是 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024九上·恩施期中）解方程：
（1）
（2）
12．（2024九上·孝昌开学考）解方程：
（1）
（2）
13．（2022九上·长沙开学考）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
14．（2024八下·丰城期中）解方程：
（1）；
（2）．
15．（2024七下·相城月考）阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，∴
∴，∴，，∴，．∴．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求____________，____________；
（2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长；
（3）已知，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
二次项系数化1的 ，
配方得
即
故答案为：A
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用配方法的计算方法将原方程变形为，再利用待定系数法可得a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据“配方法”的步骤：（1）将一元二次方程化成一般形式；（2）将常数项移到方程右边，若二次项系数不为1，方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；（3）方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）等号左边写成完全平方形式，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：可化为，
，
可化为，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据配方法可得，则方程可化为，问题得解．
5．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：，
；
按照这种构造方法，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．
故答案为：B.
【分析】参照题干中的定义及配方的计算方法分析求解即可.
6．【答案】1
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】
代数式的最小值是1，
故答案为：1.
【分析】将代数式进行配方，根据2次方具有非负性即可求解.
7．【答案】2024
【知识点】配方法的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x2-2x-2=0，
∴x2-2x+1=3，
∴(x-1)2=3，
∴(x-1)2+2021=3+2021=2024.
故答案为：2024.
【分析】将已知方程利用配方法可得(x-1)2=3，从而整体代入待求式子计算可得答案.
8．【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原式可化为：
所以可得：
解得
故答案为3
【分析】配方法化这个二元一次方程的表达式，最终得到答案
9．【答案】
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即Q-P＞0，
∴ P＜Q.
故答案为：
【分析】计算Q-P，利用配方法化简后即可判断Q-P＞0，即可求得.
10．【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；配方法的应用
【解析】【解答】∵，
∴（a-3）2+（b-4）2=0，
∴a-3=0，b-4=0，
解得：a=3，b=4，
∵a2+b2=32+42=25，c2=25，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为： 直角三角形.
【分析】先利用配方法和非负数之和为0的性质求出a、b的值，再利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形即可.
11．【答案】（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
∴，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可.
（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
∴，
∴，．
12．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法的计算方法求解一元二次方程即可.
（1）解：，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
13．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
则，；
（2）解：，
，
，，
则，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程的两边都除以2，将二次项的系数化为1，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方“1”，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
（2）方程中含有公因式（x-1），于是提公因式可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.
14．【答案】（1）解：∵，
∴，
则，即，
∴或，
解得，；
（2）解：，
，
∴或，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法即可解方程；
（2）利用十字相乘法分解因式即可解方程.
15．【答案】解：（1）3、-1；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
根据三角形三边关系可知：，
∵a、b、c都是正整数，
∴，
∴的周长为：；
（3）∵，
∴，
则：，
∴，
∴，
则：，
解得：，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3；-1.
【分析】（1）利用配方法将原式变形为，再利用非负性求出a、b的值即可；
（2）利用配方法将原式变形为，再求出a、b的值，最后利用三角形三边的关系分析求解即可；
（3）利用配方法将原式变形为，再求出x、y、z的值，最后将其代入xyz计算即可.
1 / 1第2章 《一元二次方程》2.2 一元二次方程的解法（3）——浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2020·聊城）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
二次项系数化1的 ，
配方得
即
故答案为：A
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
2．（2022·聊城）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则a+b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
则，即，
∴，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用配方法的计算方法将原方程变形为，再利用待定系数法可得a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
3．（2023九上·东莞期末）配方法解方程应把它先变形为（ ）
A．. B．
C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据“配方法”的步骤：（1）将一元二次方程化成一般形式；（2）将常数项移到方程右边，若二次项系数不为1，方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；（3）方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）等号左边写成完全平方形式，即可求解.
4．（2024八下·临平月考）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列各式中的哪一个？（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：可化为，
，
可化为，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据配方法可得，则方程可化为，问题得解．
5．（2024九上·龙华期中）公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程时采用的方法是：构造如图所示图形，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．按照这种构造方法，我们在求方程的一个正数解时，可以构造如下图形（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：，
；
按照这种构造方法，一方面，正方形的面积为；一方面，它又等于，据此可得方程的一个正数解．
故答案为：B.
【分析】参照题干中的定义及配方的计算方法分析求解即可.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024·巴中模拟） 若x、y均为实数，则代数式的最小值是 ．
【答案】1
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】
代数式的最小值是1，
故答案为：1.
【分析】将代数式进行配方，根据2次方具有非负性即可求解.
7．（2024·咸宁模拟）已知，代数式 ．
【答案】2024
【知识点】配方法的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x2-2x-2=0，
∴x2-2x+1=3，
∴(x-1)2=3，
∴(x-1)2+2021=3+2021=2024.
故答案为：2024.
【分析】将已知方程利用配方法可得(x-1)2=3，从而整体代入待求式子计算可得答案.
8．（2018七上·虹口期中）已知： ，则 = ．
【答案】3
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原式可化为：
所以可得：
解得
故答案为3
【分析】配方法化这个二元一次方程的表达式，最终得到答案
9． 若 ( 为实数)， 则 的大小关系为 Q． (填“>” “ ”或
【答案】
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，即Q-P＞0，
∴ P＜Q.
故答案为：
【分析】计算Q-P，利用配方法化简后即可判断Q-P＞0，即可求得.
10．（2024八上·万源期末）的三边分别是a、b、c，且满足，，则的形状是 ．
【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；配方法的应用
【解析】【解答】∵，
∴（a-3）2+（b-4）2=0，
∴a-3=0，b-4=0，
解得：a=3，b=4，
∵a2+b2=32+42=25，c2=25，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为： 直角三角形.
【分析】先利用配方法和非负数之和为0的性质求出a、b的值，再利用勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形即可.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024九上·恩施期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
∴，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可.
（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
∴，
∴，．
12．（2024九上·孝昌开学考）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法的计算方法求解一元二次方程即可.
（1）解：，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
13．（2022九上·长沙开学考）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
则，；
（2）解：，
，
，，
则，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程的两边都除以2，将二次项的系数化为1，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方“1”，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
（2）方程中含有公因式（x-1），于是提公因式可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.
14．（2024八下·丰城期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
则，即，
∴或，
解得，；
（2）解：，
，
∴或，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法即可解方程；
（2）利用十字相乘法分解因式即可解方程.
15．（2024七下·相城月考）阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，∴
∴，∴，，∴，．∴．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求____________，____________；
（2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长；
（3）已知，，求的值．
【答案】解：（1）3、-1；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
根据三角形三边关系可知：，
∵a、b、c都是正整数，
∴，
∴的周长为：；
（3）∵，
∴，
则：，
∴，
∴，
则：，
解得：，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3；-1.
【分析】（1）利用配方法将原式变形为，再利用非负性求出a、b的值即可；
（2）利用配方法将原式变形为，再求出a、b的值，最后利用三角形三边的关系分析求解即可；
（3）利用配方法将原式变形为，再求出x、y、z的值，最后将其代入xyz计算即可.
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