第2章 《一元二次方程》2.2 一元二次方程的解法（4）——浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024·潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知：a=1，b=-m，
∴
∵m﹣2n＝3
∴△=9-4=5>0
因此有两个不相等的实数根
故答案为：C.
【分析】先写出a，b，c的值，再计算△，再把m﹣2n＝3 代入即可.
2．（2024·黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≥4
C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠2
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，
∴
解得：m≤4且m≠2 ，
故答案为：D.
【分析】由一元二次方程其二次项系数不为零，进一步结合根的个数与判别式关系得出不等关系组成不等式组，解之即可.
3．（2023·滨州）一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
4．（2024九上·合浦期中）用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（ ）
A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．1，，
【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：C
【分析】将方程转换为一般式，再根据公式法即可求出答案.
5．利用公式可解得一元二次方程的两解为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由求根公式可得，
方程的两解为，且，
.
故答案为：D.
【分析】利用求根公式解得方程的两个根，进而得到a的值.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．等腰 两边的长是关于 的方程 的两个实数根， 第三边的长为 5 ， 则 的值为 .
【答案】4或5
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=（2k+1）2-4(k2+k)=1，
∴x=，
∴x1=k+1，x2=k，
当k+1=5时，k=4，△ABC是等腰三角形；
当k=5时，k+1=6，△ABC是等腰三角形；
即当k=4或5时，△ABC是等腰三角形.
故答案为：4或5.
【分析】先计算b2-4ac的值，再根据一元二次方程的求根公式“”求出方程的根，x1=k+1，x2=k，然后根据等腰三角形的性质可得k+1=5，或k=5，解方程即可求解.
7．（2024八下·宁明月考）用公式法解方程，计算 ．
【答案】13
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程中，a=3，b=-1，c=-1，
则；
故答案为：13.
【分析】根据形式ax2+bx+c=0（a≠0）叫一元二次方程的一般形式，其中a叫做二次项系数、b叫做一次项系数、c叫做常数项，代入根的判别式计算即可求解.
8．（2019九上·龙泉驿期中）若代数式 的值等于代数式 的值，则x= ．
【答案】 或
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得， ，
整理得， ，
解得：x＝ 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据代数式的值相等列出方程，然后解方程即可．
9．（2024九上·南山期中） 若方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
【答案】 且.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（-6）2 4×k×1＞0，
解得：k＜9且k≠0．
∴k的取值范围是k＜9且k≠0，
故答案为：k＜9且k≠0．
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2 4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义可得k≠0，根据方程 有两个不相等的实数根可得：Δ＝（-6）2 4×k×1＞0，解不等式组可求出实数k的取值范围．
10．（2024九上·蔡甸期中）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得且，再求解即可.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024九上·南山期中） 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：由原方程， 知
原方程的解是： ；
（2）(2)由原方程， 得
， 即 ，
或 ，
解得， .
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程
（1）先找出a，b，c的值，利用一元二次方程的求根公式进行计算可得，再进行计算可求出答案；
（2）先进行配方可得：，再利用开平方法进行计算可得 或 ，再解一元一次方程可求出方程的解.
12．（2024九上·拜城期中）按要求解方程：
（1）（公式法）；
（2）（因式分解法）．
【答案】（1）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
13．（2024九上·乐业期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，
，
或，
∴，；
（2）解：
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（）根据十字相乘法进行因式分解，再解方程即可求出答案.
（）利用公式法解方程即可求出答案.
（1）解：
，
，
或，
∴，；
（2）解：
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
14．（2023九上·大冶开学考）已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）16或22
（1）证明：△=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k)=k2-2k+1=( k-1)2≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：当a=6为腰时，
由题意，6是方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0的一个根，
代入得36-6（3k+1）+2k2+2k=0，化简得k2-8k+15=0，k=3或k=5，
若k=3，原方程x2-10x+24=0，两根为x1=4，x2=6，此时周长为4+6+6=16；
若k=5，原方程x2-16x+60=0，两根为x1=6，x2=10，此时周长为6+6+10=22；
当a=6为底时，
由题意，方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0有两个相同实数根，
△=( k-1)2=0，k=1，
原方程x2-4x+4=0，x1=x2=2，此时三边6，2，2无法构成三角形，舍去；
综上，等腰三角形的周长为16或22．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）化简判别式后，利用判别式△≥0即可得出结论．
（2）把a作为腰或底进行分类讨论，a为腰时，a也是方程的根；a为底时，方程有两个相同实数根；由此得到k的值，代回原方程得到两根，进而求出周长．
15．（2024九上·蒙自期中）已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值．
【答案】（1）证明：，
∵，即，
∴无论m取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：由，得：
，
解得，，
若，则，
若，则，
所以，或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据二次方程，可得方程总有实数根.
（2）解方程可得，再根据等腰三角形性质分情况讨论，即可求出答案.
（1）证明：，
∵，即，
∴无论m取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：由，得：
，
解得，，
若，则，
若，则，
所以，或
1 / 1第2章 《一元二次方程》2.2 一元二次方程的解法（4）——浙教版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024·潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
2．（2024·黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≥4
C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠2
3．（2023·滨州）一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
4．（2024九上·合浦期中）用公式法解方程时，求根公式中的，，的值分别是（ ）
A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．1，，
5．利用公式可解得一元二次方程的两解为，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．等腰 两边的长是关于 的方程 的两个实数根， 第三边的长为 5 ， 则 的值为 .
7．（2024八下·宁明月考）用公式法解方程，计算 ．
8．（2019九上·龙泉驿期中）若代数式 的值等于代数式 的值，则x= ．
9．（2024九上·南山期中） 若方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
10．（2024九上·蔡甸期中）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024九上·南山期中） 解方程：
（1）
（2）
12．（2024九上·拜城期中）按要求解方程：
（1）（公式法）；
（2）（因式分解法）．
13．（2024九上·乐业期中）解方程：
（1）；
（2）．
14．（2023九上·大冶开学考）已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．
15．（2024九上·蒙自期中）已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意知：a=1，b=-m，
∴
∵m﹣2n＝3
∴△=9-4=5>0
因此有两个不相等的实数根
故答案为：C.
【分析】先写出a，b，c的值，再计算△，再把m﹣2n＝3 代入即可.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，
∴
解得：m≤4且m≠2 ，
故答案为：D.
【分析】由一元二次方程其二次项系数不为零，进一步结合根的个数与判别式关系得出不等关系组成不等式组，解之即可.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
4．【答案】C
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：C
【分析】将方程转换为一般式，再根据公式法即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由求根公式可得，
方程的两解为，且，
.
故答案为：D.
【分析】利用求根公式解得方程的两个根，进而得到a的值.
6．【答案】4或5
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=（2k+1）2-4(k2+k)=1，
∴x=，
∴x1=k+1，x2=k，
当k+1=5时，k=4，△ABC是等腰三角形；
当k=5时，k+1=6，△ABC是等腰三角形；
即当k=4或5时，△ABC是等腰三角形.
故答案为：4或5.
【分析】先计算b2-4ac的值，再根据一元二次方程的求根公式“”求出方程的根，x1=k+1，x2=k，然后根据等腰三角形的性质可得k+1=5，或k=5，解方程即可求解.
7．【答案】13
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程中，a=3，b=-1，c=-1，
则；
故答案为：13.
【分析】根据形式ax2+bx+c=0（a≠0）叫一元二次方程的一般形式，其中a叫做二次项系数、b叫做一次项系数、c叫做常数项，代入根的判别式计算即可求解.
8．【答案】 或
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得， ，
整理得， ，
解得：x＝ 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据代数式的值相等列出方程，然后解方程即可．
9．【答案】 且.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（-6）2 4×k×1＞0，
解得：k＜9且k≠0．
∴k的取值范围是k＜9且k≠0，
故答案为：k＜9且k≠0．
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2 4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义可得k≠0，根据方程 有两个不相等的实数根可得：Δ＝（-6）2 4×k×1＞0，解不等式组可求出实数k的取值范围．
10．【答案】且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得且，再求解即可.
11．【答案】（1）解：由原方程， 知
原方程的解是： ；
（2）(2)由原方程， 得
， 即 ，
或 ，
解得， .
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程
（1）先找出a，b，c的值，利用一元二次方程的求根公式进行计算可得，再进行计算可求出答案；
（2）先进行配方可得：，再利用开平方法进行计算可得 或 ，再解一元一次方程可求出方程的解.
12．【答案】（1）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
13．【答案】（1）解：
，
，
或，
∴，；
（2）解：
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（）根据十字相乘法进行因式分解，再解方程即可求出答案.
（）利用公式法解方程即可求出答案.
（1）解：
，
，
或，
∴，；
（2）解：
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
14．【答案】（1）见解析；（2）16或22
（1）证明：△=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k)=k2-2k+1=( k-1)2≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：当a=6为腰时，
由题意，6是方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0的一个根，
代入得36-6（3k+1）+2k2+2k=0，化简得k2-8k+15=0，k=3或k=5，
若k=3，原方程x2-10x+24=0，两根为x1=4，x2=6，此时周长为4+6+6=16；
若k=5，原方程x2-16x+60=0，两根为x1=6，x2=10，此时周长为6+6+10=22；
当a=6为底时，
由题意，方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0有两个相同实数根，
△=( k-1)2=0，k=1，
原方程x2-4x+4=0，x1=x2=2，此时三边6，2，2无法构成三角形，舍去；
综上，等腰三角形的周长为16或22．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）化简判别式后，利用判别式△≥0即可得出结论．
（2）把a作为腰或底进行分类讨论，a为腰时，a也是方程的根；a为底时，方程有两个相同实数根；由此得到k的值，代回原方程得到两根，进而求出周长．
15．【答案】（1）证明：，
∵，即，
∴无论m取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：由，得：
，
解得，，
若，则，
若，则，
所以，或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据二次方程，可得方程总有实数根.
（2）解方程可得，再根据等腰三角形性质分情况讨论，即可求出答案.
（1）证明：，
∵，即，
∴无论m取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：由，得：
，
解得，，
若，则，
若，则，
所以，或
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