1.2 二次根式的性质（含解析）-2024-2025学年浙教版八年级下册 同步分层作业

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1.2二次根式的性质 同步分层作业
1．下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．＝4 B．＝ C．＝±5 D．＝﹣1
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列等式一定正确的是（　　）
A．＝± B．﹣＝3 C．＝a D．＝﹣3
5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．计算：＝　　．
7．化简：＝　　．
8．化简＝ 　　．
9．化简：＝　　．
10．化简：
（1）＝ 　　； （2）＝ 　　．
11．化简：
（1） （2） （3） （4）﹣
12．化简：
（1）； （2）； （3）； （4）（a＞0）．
13．安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10N/kg）
（1）求从45m高空抛物到落地的时间；
（2）已知高空拋物动能（单位：J）＝10（单位：N/kg）×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）
14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．2a+b B．﹣2a﹣b C．﹣b D．b
16．若，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m＝1 C．m≤1 D．m≠1
17．设a、b、c分别是三角形三边的长，则＝ 　　．
18．等式成立的条件是 　　．
19．计算：
（1）+； （2）﹣（）2+．
20．若化简﹣|1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（　　）
A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4
21．二次根式化成最简结果为（　　）
A． B． C． D．
22．若x满足（x+2024）（2025+x）＝4，则代数式的值为　　．
23．观察下列各式及验证过程：
＝，验证：＝＝＝；
＝，验证：＝＝＝；
＝，验证：＝＝＝；
＝，验证：＝＝＝；
（1）按照上述四个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥1为整数）表示的等式．
24．阅读下面的求解过程，然后回答问题．有这样一道题目：将化简，若能找到两个数a和b，使a2+b2＝m且ab＝，则m+2可化为a2+b2+2ab，即（a+b）2，从而使得能化简：
例如：因为7+2，
所以+1．
请你仿照上例，完成下列问题：
（1）已知，则a＝　　，b＝　　；
（2）计算下列式子：
①；
②．
答案与解析
1．下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据平方根和立方根的定义计算，负数的立方根是负数，正数的立方根是正数，0的立方根是0．
【解析】解：A、＝4，此选项错误；
B、＝﹣3，此选项正确；
C、无意义，此选项错误；
D、＝，此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、立方根的计算，解题的关键是注意二次根式被开方数和开方结果都是非负数．
2．下列计算正确的是（　　）
A．＝4 B．＝ C．＝±5 D．＝﹣1
【点拨】根据二次根式的性质以及立方根的性质即可求出答案．
【解析】解：A、原式＝2，故A不符合题意．
B、原式＝＝，故B符合题意．
C、原式＝5，故C不符合题意．
D、原式＝1，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的性质以及立方根的性质，本题属于基础题型．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的性质化简判断即可．
【解析】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
4．下列等式一定正确的是（　　）
A．＝± B．﹣＝3 C．＝a D．＝﹣3
【点拨】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解析】解：A、原式＝9，不符合题意；
B、原式＝﹣|﹣3|＝﹣3，不符合题意；
C、原式＝|a|，不符合题意；
D、原式＝﹣3，符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解析】解：A.＝＝，故A不符合题意；
B.＝2，故B不符合题意；
C.＝，故C不符合题意；
D.是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
6．计算：＝　5　．
【点拨】先将被开方数化为52，然后按照化简即可．
【解析】解：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握：，属于基础题，比较简单．
7．化简：＝　2　．
【点拨】根据二次根式的乘法得到原式＝＝×，然后利用二次根式的性质化简即可．
【解析】解：原式＝
＝×
＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．
8．化简＝ 　4﹣π　．
【点拨】利用二次根式的性质化简．
【解析】解：原式＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．
9．化简：＝　　．
【点拨】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解析】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是利用二次根式的性质进行化简．
10．化简：
（1）＝ 　8　； （2）＝ 　　．
【点拨】（1）根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据二次根式的性质化简即可．
【解析】解：（1）＝×＝8；
故答案为：；
（2）＝＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
11．化简：
（1） （2） （3） （4）﹣
【点拨】根据二次根式的性质：＝|a|，＝a和绝对值的代数定义求解．
【解析】解：（1）＝0.3；
（2）＝＝0.6；
（3）＝|﹣|＝；
（4）﹣＝﹣|﹣π|＝﹣π．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质，同时还要掌握绝对值的代数意义．
12．化简：
（1）； （2）； （3）； （4）（a＞0）．
【点拨】根据二次根式的性质，可化简二次根式，可得答案．
【解析】解：（1）原式＝＝0.1×0.4＝0.04；
（2）原式＝＝；
（3）原式＝＝4×2×32＝72；
（4）原式＝．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，注意（3）中的因式分解，再开方．
13．安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10N/kg）
（1）求从45m高空抛物到落地的时间；
（2）已知高空拋物动能（单位：J）＝10（单位：N/kg）×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）
【点拨】（1）把h＝45m代入进行计算化简即可；
（2）将t＝4代入计算出h，然后将h及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可．
【解析】解：（1）当h＝45m时，（S），
∴从45m高空抛物到落地的时间为3s；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：
当t＝4s时，，
∴，
2h＝160，
h＝80，
∴高空抛物动能＝10×0.2×80＝160＞65，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运用和化简，解题关键是理解题意，正确代入求值．
14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可．
【解析】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键．
15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．2a+b B．﹣2a﹣b C．﹣b D．b
【点拨】由数轴可知，a＜0，b＞0，|a|＞b，根据＝﹣（a+b）+a计算求解即可．
【解析】解：由数轴可知，a＜0，b＞0，|a|＞b，
∴a+b＜0，
∴原式＝﹣（a+b）+a＝﹣b，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．若，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m＝1 C．m≤1 D．m≠1
【点拨】先由得出1﹣m≥0，再进行计算，即可作答．
【解析】解：由题意得，1﹣m≥0，
∴m≤1，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键．
17．设a、b、c分别是三角形三边的长，则＝ 　2c　．
【点拨】先利用三角形的三边关系，再化简二次根式．
【解析】解：
＝|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
∵a、b、c分别是三角形三边的长，
∴b+c＞a，a+c＞b．
∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣c﹣a）
＝b+c﹣a+a+c﹣b
＝2c．
故答案为：2c．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，掌握三角形的三边关系、绝对值的意义是解决本题的关键．
18．等式成立的条件是 　﹣1≤x＜0　．
【点拨】利用二次根式的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组求解即可．
【解析】解：∵有意义，
∴，
解得﹣1≤x＜0，
故答案为：﹣1≤x＜0．
【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
19．计算：
（1）+；
（2）﹣（）2+．
【点拨】（1）直接利用二次根式的性质化简求出即可；
（2）直接利用二次根式的性质化简求出即可．
【解析】解：（1）+＝+＝3；
（2）﹣（）2+
＝2﹣2+2
＝2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
20．若化简﹣|1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（　　）
A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4
【点拨】根据完全平方公式和＝|a|，把多项式化简为|x﹣4|﹣|1﹣x|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．
【解析】解：原式＝﹣|1﹣x|＝|x﹣4|﹣|1﹣x|，
当x＜1时，
此时1﹣x＞0，x﹣4＜0，
∴（4﹣x）﹣（1﹣x）＝4﹣x﹣1+x＝3，不符合题意，
当1≤x≤4时，
此时1﹣x≤0，x﹣4≤0，
∴（4﹣x）﹣（x﹣1）＝5﹣2x，符合题意，
当x＞4时，
此时x﹣4＞0，1﹣x＜0，
∴（x﹣4）﹣（x﹣1）＝﹣3，不符合题意，
∴x的取值范围为：1≤x≤4，
故选B．
【点睛】本题主要考查了绝对值及二次根式的化简，解题关键是熟练掌握利用分类讨论的思想解决问题．
21．二次根式化成最简结果为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式有意义的条件可得x＜0，进而可得结果．
【解析】解：根据二次根式有意义的条件可知：
x＜0，
∴原式＝﹣＝﹣．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式的性质．
22．若x满足（x+2024）（2025+x）＝4，则代数式的值为　3　．
【点拨】设x+2024＝a，2025+x＝b，则a﹣b＝﹣1，ab＝4，然后求出a2+b2的值，再根据算术平方根的定义即可得出结果．
【解析】解：设x+2024＝a，2025+x＝b，
则a﹣b＝﹣1，
∵（x+2024）（2025+x）＝4，
∴ab＝4，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣1）2+2×4＝9，
∴＝＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键．
23．观察下列各式及验证过程：
＝，验证：＝＝＝；
＝，验证：＝＝＝；
＝，验证：＝＝＝；
＝，验证：＝＝＝；
（1）按照上述四个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥1为整数）表示的等式．
【点拨】（1）根据题中给出的例子即可得出结论；
（2）根据题意找出规律即可得出结论．
【解析】解：（1）由题意可得，＝＝＝；
（2）针对上述各式反映的规律可知，＝＝＝．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，根据题意找出规律是解答此题的关键．
24．阅读下面的求解过程，然后回答问题．有这样一道题目：将化简，若能找到两个数a和b，使a2+b2＝m且ab＝，则m+2可化为a2+b2+2ab，即（a+b）2，从而使得能化简：
例如：因为7+2，
所以+1．
请你仿照上例，完成下列问题：
（1）已知，则a＝　3　，b＝　2　；
（2）计算下列式子：
①；
②．
【点拨】（1）由题意知，，计算求解，然后作答即可；
（2）利用完全平方公式，计算求解即可．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴a＝3，b＝2，
故答案为：3，2．
（2）①由题意得，；
∴；
②由题意得，，
∴．
【点睛】本题考查了算术平方根，完全平方公式．熟练掌握算术平方根，完全平方公式是解题的关键．
基础过关
能力提升
培优拔尖
基础过关
能力提升
培优拔尖
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