1.3 二次根式的运算（含解析）-2024-2025学年浙教版八年级下册 同步分层作业

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1.3二次根式的运算 同步分层作业
1．计算×的结果是（　　）
A．9 B．3 C．3 D．
2．计算×的结果是（　　）
A．2 B．7 C．14 D．
3．计算：＝（　　）
A． B． C．﹣1 D．﹣2
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．﹣＝ C．×＝6 D．÷＝4
6．计算：＝ 　　．
7．计算：＝ 　　．
8．计算：÷ ＝　　．
9．计算：＝ 　　．
10．计算＝ 　　．
11．计算：．
12．计算：﹣3+．
13．计算：．
14．计算：
（1）﹣4+；
（2）．
15．计算：
（1）﹣+（+1）×（﹣1）；
（2）（+）×﹣2．
16．一公园内有一个长方形花坛，它的长为，宽为，求这个花坛的面积和对角线的长．
17．计算：
（1）； （2）．
18．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别是 　　dm，　　dm；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1dm，宽为0.7dm的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条，并说明理由．
19．计算：已知，，，求x2+y2﹣xy的值．
20．若成立，则x的值可以是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
21．已知；
（1）求x2﹣xy+y2的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
22．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求2a2﹣8a+1的值．
他们是这样解答的：
，
∴，
∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）＝ 　　；
（2）化简：；
（3）若，求2a4﹣8a3﹣8a+4的值．
答案与解析
1．计算×的结果是（　　）
A．9 B．3 C．3 D．
【点拨】根据二次根式的乘法法则对所给算式进行计算即可．
【解析】解：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键．
2．计算×的结果是（　　）
A．2 B．7 C．14 D．
【点拨】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解析】解：×＝．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键．
3．计算：＝（　　）
A． B． C．﹣1 D．﹣2
【点拨】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解析】解：原式＝﹣．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的加减法则逐项计算判断即可．
【解析】解：A、，故此选项符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、3与不能合并，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．﹣＝ C．×＝6 D．÷＝4
【点拨】A、原式不能合并；
B、原式第一项化简后，合并即可得到结果；
C、原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
D、原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果．
【解析】解：A、+不能合并，故选项错误；
B、﹣＝2﹣＝，故选项正确；
C、×＝＝，故选项错误；
D、÷＝＝＝2，故选项错误．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的加减法，以及乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．计算：＝ 　　．
【点拨】直接根据二次根式的除法法则计算即可．
【解析】解：÷＝＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是关键．
7．计算：＝ 　　．
【点拨】根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【解析】解：＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．计算：÷ ＝　　．
【点拨】直接把被开方数相乘除计算即可．
【解析】解：原式＝＝，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，关键是掌握＝（a≥0，b≥0），商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）．
9．计算：＝ 　　．
【点拨】先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减法法则计算即可．
【解析】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．计算＝ 　　．
【点拨】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可．
【解析】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的加减，属于基础题型，熟练掌握二次根式的加减法则是解题的关键．
11．计算：．
【点拨】根据二次根式的乘除法计算法则运算即可．
【解析】解：原式＝
＝
＝6．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键．
12．计算：﹣3+．
【点拨】利用二次根式的加减法则计算即可．
【解析】解：原式＝6﹣+＝．
【点睛】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
13．计算：．
【点拨】先去括号，再把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解析】解：原式＝﹣6﹣4+
＝﹣﹣+
＝．
【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法则是解题的关键．
14．计算：
（1）﹣4+；
（2）．
【点拨】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后合并即可．
【解析】解：（1）原式＝4﹣2+
＝3；
（2）原式＝﹣﹣2
＝4﹣﹣2
＝2﹣．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
15．计算：
（1）﹣+（+1）×（﹣1）；
（2）（+）×﹣2．
【点拨】（1）先利用平方差公式计算，然后化简后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算，再合并即可．
【解析】解：（1）原式＝3﹣2+3﹣1
＝+2；
（2）原式＝（2+）×﹣
＝3×﹣
＝9﹣
＝8．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．一公园内有一个长方形花坛，它的长为，宽为，求这个花坛的面积和对角线的长．
【点拨】根据长方形面积公式求解即可．
【解析】解：面积为：，
∵
＝
＝306，
∴对角线为：，
答：面积为97m2，对角线为（m）．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式混合运算法则是关键．
17．计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）运用平方差公式及完全平方公式进行运算，再进行加减运算，即可求解；
（2）先进行零次幂、负指数幂、去绝对值运算，同时将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解．
【解析】解：（1）
＝
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的步骤是解题的关键．
18．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别是 　　dm，　　dm；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1dm，宽为0.7dm的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条，并说明理由．
【点拨】（1）根据算术平方根的含义可得答案；
（2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案；
（3）先计算剩余木条长为，宽为，再利用，，从而可得答案．
【解析】解：（1）∵＝3，而＝4，
故答案为：；．
（2）由题意得：（3）×＝6（dm2），
∴剩余木料的面积为6dm2．
（3）由题意得：剩余木条长为，宽为（4﹣3）dm，
∵，，
∴能截出2×4＝8（块）木条．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键．
19．计算：已知，，，求x2+y2﹣xy的值．
【点拨】利用完全平方公式、平方差公式进行计算，即可解答．
【解析】解：x2+y2﹣xy
＝x2﹣2xy+y2+xy
＝（x﹣y）2+xy
＝
＝12+1
＝13．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式、平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．若成立，则x的值可以是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
【点拨】直接利用二次根式的性质得出x的取值范围进而得出答案．
【解析】解：∵若成立，
∴，
解得：﹣1≤x＜2，
故x的值可以是0．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
21．已知；
（1）求x2﹣xy+y2的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
【点拨】（1）先求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可；
（2）先求出a，b的值，进而可得出结论．
【解析】解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝＝＝2+，
∴x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝（2﹣+2+）2﹣3×（2﹣）（2+）
＝42﹣3×1
＝16﹣3
＝13；
（2）由（1）知，x＝2﹣，y＝2+，
∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，3＜2+＜4，
∴0＜2﹣＜1，
∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
∴a＝2﹣，b＝2+﹣3＝﹣1，
∴原式＝（2﹣+﹣1）2+
＝1+
＝1+2﹣3
＝2﹣2．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，估算无理数的大小，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
22．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求2a2﹣8a+1的值．
他们是这样解答的：
，
∴，
∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）＝ 　﹣　；
（2）化简：；
（3）若，求2a4﹣8a3﹣8a+4的值．
【点拨】（1）把分子分母都乘以+，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后同类二次根式即可；
（3）先分母有理化得到a＝+2，移项后平方得到a2﹣4a＝1，再把原式变形为2a2（a2﹣4a）﹣8a+4，接着利用整体代入的方法计算得到原式＝2a2﹣8a+4，然后再录音同样方法计算即可．
【解析】解：（1）＝＝﹣；
故答案为：﹣；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣
＝﹣1
＝11﹣1
＝10；
（3）∵a＝＝+2，
∴a﹣2＝，
∴（a﹣2）2＝5，
∴a2﹣4a＝1，
∴2a4﹣8a3﹣8a+4
＝2a2（a2﹣4a）﹣8a+4
＝2a2﹣8a+4
＝2（a2﹣4a）+4
＝2×1+4
＝6．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化．
基础过关
能力提升
培优拔尖
基础过关
能力提升
培优拔尖
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