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第2章 一元二次方程单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：一元二次方程
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、有两个未知数，是二元一次方程，故此选项错误，不符合题意；
B、有一个未知数，最高次项的次数是1，是一元一次方程，故此选项错误，不符合题意；
C、有两个未知数，是二元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
D、有一个未知数，且最高次项的次数为2，故此选项正确，符合题意，
故选：D．
2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A. ∵，∴该方程没有实数根；
B. ∵，∴，∴，∴该方程有两个相等的实数根；
C. ∵，∴，∴，∴该方程有个不相等的实数根；
D. ∵，∴，∴，∴该方程有个不相等的实数根．
故选：B．
3．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
，
故选：．
4．某菜鸟驿站星期一收件120件，星期三收件150件，设该菜鸟驿站收件数量平均每天增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设该菜鸟驿站收件数量平均每天增长率为，
由题意得，．
故选：B．
5．已知为一元二次方程的根，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵为一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6．三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的面积为（ ）
A． B．10 C． D．6
【答案】D
【详解】解：解方程得或，
∴该三角形的第三边长为5，
∵，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积为，
故选：D．
7．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数应该在（ ）
A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【答案】B
【详解】解：∵方程即有两个相等的实数根，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，即，
故选：B．
8．将一个关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】D
【详解】解：将一个关于的一元二次方程配方为，则解得，
即，
是该方程的两个根，
，即，
故选：D．
9．若实数，满足，，则代数式的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：当时，实数，满足，，
∴可把，看成是方程的两个实数根，
∴，，
∴
，
当时，
∴，
综上可知：代数式的值为或，
故选：．
10．对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法：
①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50；
②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为；
③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【详解】解：
，故说法①错误；
，
当时，的值最小，最小值为，
对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为，故说法②正确；
，
，，
，
由题意得，，
当，即时，
，
整理得：，
解得：，（舍去）；
当，即时，
，
整理得：，
解得：，（舍去）；
对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或，故③错误；
综上所述，其中正确的是②，个数是1．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．方程的解是
【答案】
【详解】解：，
．
故答案为：
12．关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵一元二次方程的一个根是1，
∴，
解得，
故答案为：．
13．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】2025
【详解】解：由题意得：，即，
∴；
故答案为2025．
14．已知是方程的一个根，则的值为 ．
【答案】2
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
15．某厂今年月份新产品的研发资金为万元，以后每月与上月相比，研发资金增长率都是．若今年一季度的研发资金为万元，则可列出方程 ．
【答案】
【详解】解：根据题意可得：今年月份新产品的研发资金为万元，则月份的研发资金为万元，月份的研发资金为万元，
又今年一季度的研发资金为万元，
．
故答案为： ．
16．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元．
【答案】
【详解】解：设降价元，
由故意得，，
整理得，，
解得，，
∵要让顾客得实惠，
∴，
∴应将销售单价定为元，
故答案为：．
17．若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ．
【答案】或
【详解】解：解方程，得：．
①若是两个方程相同的实数根．
将代入方程，得：，
，此时原方程为，
解得：，符合题意，
；
②若是两个方程相同的实数根．
将代入方程，得：，
，此时原方程为，
解得：，符合题意，
．
综上所述：的值为或．
故答案为：或．
18．已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ．
【答案】或
【详解】解：由题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
配方得：，
解得：，，
经检验：，都是分式方程的解，
的值为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．解方程
(1)；
(2)；
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
，
，
或，
，．
（2）解：，
，，，
，
，
，．
20．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取满足条件的最大整数值时，求方程的根．
【答案】(1)(2)，
【详解】（1）解：根据题意得，
解得．
（2）解：由，得满足条件的的最大整数值为3，
则原方程化为，
∴，
解得，．
21．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围
(2)设此方程的两个根分别为，，若，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得；
（2）解：由题意，得，，
∵，
∴，
整理，得，
解得，，
由（1）有；
．
22．某校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为米．（捆扎处绳子长度忽略不计）
(1)设边的长为米，则边的长为 米，展览区（矩形）的面积为 平方米；（用含的代数式表示）
(2)当时，所围成的展览区总面积为平方米，求的长；
(3)能否围成总面积为的展览区？请说明理由．
【答案】(1)，(2)的长为
(3)不能，理由见解析
【详解】（1）解：根据题意得，
即，
矩形的面积为，
故答案为：，；
（2）解：若，能围成展览区总面积平方米，
根据题意得，
，
解得或，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
的长为．
（3）解：不能，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
，
方程无实数解，
不能围成总面积为的展览区．
23．我们规定：对于任意实数a，b，c，d，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算，如：．
(1)求的值；
(2)若关于的方程有两个相同的实数根，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
24．综合与实践
【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．
例：求代数式的最小值．
解：原式．
，
，
的最小值为3．
【方法应用】
（1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值．
【问题迁移】
（2）若，求，．
【拓展应用】
（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长．
【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】解：（1），
，
，
的最小值为；
（2），
，
，
，
，，
，，
，；
（3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，
，
，
，，
，
∴，
∴，
∴（负值舍去），，
四边形的周长为．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 一元二次方程单元测试卷【基础卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：一元二次方程
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
4．某菜鸟驿站星期一收件120件，星期三收件150件，设该菜鸟驿站收件数量平均每天增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为一元二次方程的根，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
6．三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的面积为（ ）
A． B．10 C． D．6
7．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数应该在（ ）
A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
8．将一个关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．5
9．若实数，满足，，则代数式的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法：
①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50；
②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为；
③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．方程的解是
12．关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ．
13．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ．
14．已知是方程的一个根，则的值为 ．
15．某厂今年月份新产品的研发资金为万元，以后每月与上月相比，研发资金增长率都是．若今年一季度的研发资金为万元，则可列出方程 ．
16．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元．
17．若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ．
18．已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．解方程
(1)；
(2)；
20．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取满足条件的最大整数值时，求方程的根．
21．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围
(2)设此方程的两个根分别为，，若，求的值．
22．某校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为米．（捆扎处绳子长度忽略不计）
(1)设边的长为米，则边的长为 米，展览区（矩形）的面积为 平方米；（用含的代数式表示）
(2)当时，所围成的展览区总面积为平方米，求的长；
(3)能否围成总面积为的展览区？请说明理由．
23．我们规定：对于任意实数a，b，c，d，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算，如：．
(1)求的值；
(2)若关于的方程有两个相同的实数根，求的值．
24．综合与实践
【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．
例：求代数式的最小值．
解：原式．
，
，
的最小值为3．
【方法应用】
（1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值．
【问题迁移】
（2）若，求，．
【拓展应用】
（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长．
