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【专题突破】2024-2025八年级下册数学浙教版 能力提升
专题突破五：一元二次方程中根与系数的关系
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（24-25八年级下·四川南充·期末）已知关于x的方程两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设，求m的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
，即，
解得；
（2）解：∵方程的两个实数根为，
，，
，
∵，
∴，解得，，
∵，
∴．
2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有实数根；
(2)设方程的两个根分别为，，求的值．
【答案】(1)见解析(2)0
【详解】（1）证明：法1，∵，，，
∴．
∵，
∴．
∴不论为何值，方程总有实数根．
法2，原方程可化为，
即，
∴，，
∴不论为何值，方程总有实数根．
（2）解：法1：∵由方程的两个根，得，，．
∴，
∴．
法2：∵解方程，
得，．
∴．
3．（24-25八年级下·四川凉山·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：方程化为一般式为，
根据题意得，
解得，
k的取值范围为；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
，
，
，
，
整理得，
解得，，
由（1）得，
的值为．
4．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)若方程的一个实数根是另一个实数根的2倍，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程的一个实数根是另一个实数根的2倍，
∴一个实数根为，则另一个实数根是，
则，，
解得，
∴，
解得．
5．（24-25八年级下·四川·期中）已知一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵方程的两个实数根为a，b，
∴，又，
∴，解得，
将代入中，得，
解得．
6．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围．
(1)两个根的平方和为12；
(2)两个根均大于；
(3)．
【答案】(1)或2(2)(3)
【详解】（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12，
∴，
∴，
解得或2，
（2）解：∵一元二次方程，
∴
∴方程总有两个不相等的实数根，
∵一元二次方程两个根均大于2，
∴且
即
而
且
解得：
综上
（3）解：，
则
解得：
整理得：
∴．
7．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)求，（用含的式子表示）；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，，
∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴．
8．已知关于的方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，设所给方程的两个根分别为、，求的值．
【答案】(1)且(2)14
【详解】（1）解：因为方程有两个实数根，
根据题意得且，
解得且；
（2）解：由题意可知原方程为：，
则，，
．
9．（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知关于的方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两个实数根满足，求的值．
【答案】(1)的取值范围是(2)的值为
【详解】（1）解：由整理得：，
∵关于的方程有两个实数根，，
∴，
解得：，
∴的取值范围是；
（2）解：由（）得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得：，
解得：或，
∵，
∴的值为．
10．（24-25八年级下·山东济南·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
(1)求m的取值范围．
(2)若，求m的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程中，，，，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得；
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，，
，
∵，
∴，
解得：，
∵由（1）得，
∴舍去，
∴．
11．关于的方程．
(1)求证：无论为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)以该方程的两根为一个直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为，求实数的值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
，
，
，
∴无论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由题意，得，即，
∵，
∴，
解得或，
由于方程的两根是三角形的边长，则需满足且，
则，
∴
12．（24-25八年级下·四川南充·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，满足不等式，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：根据题意得：，
，
，
，
，
，
，
．
由（1）知，
．
13．（2024·四川眉山·二模）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围．
【答案】(1)m的取值范围是；(2)m的取值范围．
【详解】（1）方程 整理得，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
即m的取值范围是；
（2）∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故m的取值范围．
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：无论k取任何实数，方程总有实数根．
(2)若，求k的值．
(3)若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)见解析(2)(3)这个等腰三角形的周长为18，21
【详解】（1）证明：
，
，
，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：，，，
，
，
解得：；
（3）解：解方程得，，
①当腰长为5时，则，
，
周长；
②当底边为5时，
，
，
周长．
15．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为a，β，且，求m的值．
【答案】(1)见解析；(2)．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程．
∴，
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
16．（23-24八年级下·浙江温州·自主招生）已知，且，作二次方程．
(1)若方程有实数根，求证：；
(2)当方程有实数根，时，求正整数，，的值．
【答案】(1)见解析(2)，，
【详解】（1）由式方程有实数根，得
其中
又∵，且，
∴，
∴，
那么有，
得，
，
故有．
（2）由根与系数关系有，
∴，
∴．
由（1）知，可知，
故有，
∴，
又，，
∴或，
，
∴，
所以，，．
17．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根分别为．
(1)若方程的两根相等，求k的值．
(2)是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)2(2)
【详解】（1）已知关于x的一元二次方程，
为方程的两个实数根，
若方程的两根相等，
则，
即，
整理得，
解得．
（2）存在，理由如下，
已知关于x的一元二次方程，
为方程的两个实数根，
则，，
，
若成立，
则有，
即，
，
整理得，
解得，
当时，成立．
18．（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的方程（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若，求证：此方程有实数根；
(2)设此方程有两个不相等的实数根分别为，，若，求证：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）证明：，
，
，
∴此方程有实数根；
（2）证明：根据题意方程有两个不相等的实数根分别为，，
，，，
，
，即，
．
19．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知关于的一元方程有两个实数根．
(1)求实数根的取值范围；
(2)是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等，理由见解析．
【详解】（1）解：∵关于的一元方程有两个实数根，
∴
，
解得：；
（2）解：不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等，理由：
设关于的一元方程有两个实数根为，，
∴，，
由题意得：，
∴，
∴，整理得：，
解得：，
由（）得：，则不在此范围，不符合题意，
∴不存在实数使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等．
20．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论实数m取何值，方程总有实数根；
(2)若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值．
【答案】(1)见解析(2)．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴不论实数m取何值，即方程总有实数根；
（2）解：设方程的两个根为，
则：，，
∵该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，且这个直角三角形的斜边长为5，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，不合题意，舍去．
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题突破】2024-2025八年级下册数学浙教版 能力提升
专题突破五：一元二次方程中根与系数的关系
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（24-25八年级下·四川南充·期末）已知关于x的方程两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设，求m的值．
2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有实数根；
(2)设方程的两个根分别为，，求的值．
3．（24-25八年级下·四川凉山·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
4．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)若方程的一个实数根是另一个实数根的2倍，求的值．
5．（24-25八年级下·四川·期中）已知一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为a，b，且，求m的值．
6．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围．
(1)两个根的平方和为12；
(2)两个根均大于；
(3)．
7．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)求，（用含的式子表示）；
(2)已知，求的值．
8．已知关于的方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当时，设所给方程的两个根分别为、，求的值．
9．（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知关于的方程有两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两个实数根满足，求的值．
10．（24-25八年级下·山东济南·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
(1)求m的取值范围．
(2)若，求m的值．
11．关于的方程．
(1)求证：无论为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)以该方程的两根为一个直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为，求实数的值．
12．（24-25八年级下·四川南充·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，满足不等式，求的取值范围．
13．（2024·四川眉山·二模）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围．
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：无论k取任何实数，方程总有实数根．
(2)若，求k的值．
(3)若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
15．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为a，β，且，求m的值．
16．（23-24八年级下·浙江温州·自主招生）已知，且，作二次方程．
(1)若方程有实数根，求证：；
(2)当方程有实数根，时，求正整数，，的值．
17．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）的两个实数根分别为．
(1)若方程的两根相等，求k的值．
(2)是否存在满足条件的常数k，使得成立，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
18．（24-25八年级下·河南郑州·期中）已知关于x的方程（x为实数），请你解答下列问题：
(1)若，求证：此方程有实数根；
(2)设此方程有两个不相等的实数根分别为，，若，求证：．
19．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知关于的一元方程有两个实数根．
(1)求实数根的取值范围；
(2)是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论实数m取何值，方程总有实数根；
(2)若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值．
