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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.4 一元二次方程根与系数的关系七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n，
∴，
故选：B
2．一元二次方程的一个根是3，则另一个根是（ ）
A．2 B．3 C． D．6
【答案】A
【详解】解：设方程的另一个根为m，
则有，
解得：，
故选：A．
3．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，是方程的两个根，
，，
故选：A．
4．若是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．－5 B．5 C．－6 D．6
【答案】D
【详解】解：∵，
∴．
故选D．
5．已知为关于x的一元二次方程的两个根，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵方程的两根为，，
∴，．
故选：B．
6．小州与小冬在解方程时，小州写错了常数项，得到方程的两个根是和，小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是和，则与的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】解：小州写错了常数项，得到方程的两个根是和，
∴小州的一次项系数是正确的，
∴，
∴，
小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是和，
∴小冬的常数项是正确的，
∴，
∴，
故选：B ．
7．关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个正实数根
C．两根之积为 D．两根之和为1
【答案】C
【详解】解：解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误，
设、是一元二次方程的两个实数根，
∴，，故选项C正确，选项D错误，
∴两根的符号相反，故选项B错误，
故选：C．
8．如图，一元二次方程的两个根对应的点分别落在数轴上，两个区域内，则和的值可能为（ ）
A．1， B．， C．， D．1，
【答案】A
【详解】解：设在区域P，在区域Q，
则，；
∴，
∴，
即，
∴和的值可能为1和；
故选：A．
9．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值是（ ）
A． B． C．或8 D．2或
【答案】A
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得或，
当时，则有，
，不符合题意舍去，
∴m的值是，
故选：A．
10．若实数，满足，，则代数式的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：当时，实数，满足，，
∴可把，看成是方程的两个实数根，
∴，，
∴
，
当时，
∴，
综上可知：代数式的值为或，
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若、是方程的两根，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵、是方程的两根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．关于x的一元二次方程有一个根为，则方程的另一个根 ．
【答案】
【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为，
∴，
解得，，则方程为，
∵，
∴，
故答案为： ．
13．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】11
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∴
；
故答案为：11．
14．设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则 ．
【答案】3
【详解】解：，，
、是方程的根，
，
，
；
故答案为：．
15．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是 ．
【答案】4
【详解】解：设该方程的另一个根为，
由关于x的一元二次方程的一个根是，
可得：，
∴；
故答案为：4．
16．设，是方程的两实数根，则 ．
【答案】
【详解】解：∵是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是方程的两实数根，
∴，
∴，
故答案为：2025．
17．已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是
【答案】1
【详解】解：设方程的两个实数根为，，
则，
∴，
令，即，
解得：，
∵方程有实数根，
∴，
即：，
综上所述：．
故答案为：1．
18．若关于x的一元二次方程的两个根是a，b，且a，b，c，d都是正整数．现有以下结论：①当，时，；②当，时，；③；④a，b中至少有一个是偶数．其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】
【详解】解：由方程的根与系数的关系可知：
，（，为方程的根）．
①当，时，，①正确；
②当，时，解得或（舍去），②正确；
③，
，③正确；
④，
的值为偶数．
a，b中至少有一个是偶数．④正确．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根．
【答案】，
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是，
∴把代入，
得，
解得，
故关于的一元二次方程是，
设方程的另一个根为，且一个根是，
则，
20．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值．
【答案】(1)(2)0
【详解】（1）解：依题意，，
．
（2）解：当时方程为．
由根与系数的关系得，．
∴
．
21．已知△ABC的一条边的长为5，另两边、的长分别为关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当时，求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析(2)12
【详解】（1）解：∵
，
∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，一元二次方程为，
∵△ABC的一条边的长为5，另两边、的长分别为一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴△ABC的周长为．
22．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值．
【答案】(1)且(2)
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得：且，
∴的取值范围是且；
（2）∵取满足（1）中条件的最小整数，
∴，
此时方程变为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴
，
∴代数式的值为．
23．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围．
【答案】(1)m的取值范围是；
(2)m的取值范围．
【详解】（1）解：方程整理得，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
即m的取值范围是；
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故m的取值范围．
24．阅读材料：对于一个关于x的一元二次方程（其中，a、b、c为常数）的两根分别为，我们有如下发现：①若为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②满足韦达定理：即；③韦达定理也有逆定理，即如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的两个根．例如：若实数a，b满足，那么a和b是方程的两个根，请应用上述材料解决以下问题：
(1)若实数是关于x的一元二次方程的两个根．
①当时，则___________，___________；
②若均为整数且，求m的值；
(2)已知实数p，q满足，求的值．
【答案】(1)①，；②13(2)39
【详解】（1）解：①∵，
∴当时，，，
故答案为：，；
②∵为整数
∴上材料可知为完全平方数
即为完全平方数
∵是整数，且
∴只有当时满足条件．
（2）解：∵，
，
又∵，
和可以看成是方程的两个根，
解方程得，或，
，或，，
①当，，和可以看作是方程的两根，
此时，符合题意，
；
②当，，和可以看作是方程的两根，
此时，方程无解，不符合题意；
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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题2.4 一元二次方程根与系数的关系七大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
2．一元二次方程的一个根是3，则另一个根是（ ）
A．2 B．3 C． D．6
3．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
4．若是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．－5 B．5 C．－6 D．6
5．已知为关于x的一元二次方程的两个根，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．小州与小冬在解方程时，小州写错了常数项，得到方程的两个根是和，小冬写错了一次项系数，得到方程的两个根是和，则与的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．关于x的一元二次方程中，．则该方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个正实数根
C．两根之积为 D．两根之和为1
8．如图，一元二次方程的两个根对应的点分别落在数轴上，两个区域内，则和的值可能为（ ）
A．1， B．， C．， D．1，
9．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值是（ ）
A． B． C．或8 D．2或
10．若实数，满足，，则代数式的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若、是方程的两根，则的值为 ．
12．关于x的一元二次方程有一个根为，则方程的另一个根 ．
13．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
14．设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则 ．
15．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是 ．
16．设，是方程的两实数根，则 ．
17．已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是
18．若关于x的一元二次方程的两个根是a，b，且a，b，c，d都是正整数．现有以下结论：①当，时，；②当，时，；③；④a，b中至少有一个是偶数．其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根．
20．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值．
21．已知△ABC的一条边的长为5，另两边、的长分别为关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当时，求△ABC的周长．
22．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值．
23．已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围．
24．阅读材料：对于一个关于x的一元二次方程（其中，a、b、c为常数）的两根分别为，我们有如下发现：①若为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②满足韦达定理：即；③韦达定理也有逆定理，即如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的两个根．例如：若实数a，b满足，那么a和b是方程的两个根，请应用上述材料解决以下问题：
(1)若实数是关于x的一元二次方程的两个根．
①当时，则___________，___________；
②若均为整数且，求m的值；
(2)已知实数p，q满足，求的值．
