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第2章 一元二次方程单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：一元二次方程
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，
．
故选：C．
2．方程根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴方程无实数根．
故选D．
3．已知某个一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是下列四个方程中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A.得，该项符合题意；
B.得，该项不符合题意；
C.得，该项不符合题意；
D.得，该项不符合题意；
故选：A．
4．在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设金色纸边的宽为，依题意得：
．
故选：B.
5．若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
【答案】D
【详解】解：是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
6．关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵为一元二次方程，
∴，
∵该一元二次方程无实数根，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
7．若，则，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【详解】解：根据题意，知，，
，的值可能分别是，，
故选：A．
8．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A．2025 B． C．1 D．
【答案】D
【详解】解：
移项，得，
配方，得，
即，
∴，，
∴．
故选：D
9．观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵时，，时，；
∴一元二次方程的一个解为，更接近，
∴方程的一个近似解是．
故选：C．
10．已知实数a，b，c，m，n，其中，满足，．则以下说法：①；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程的两根为，n．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
，
∵a，m，n是实数，
∴，
∴，即①正确；
若m，n都为整数，其可能情况有以下两种：
当m，n都为奇数时，则必为偶数，
又∵，
∴，
∵a为奇数，
∴必为偶数，这与b为奇数矛盾；
当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数，
又∵，
∴，
∵a为奇数，
∴必为偶数，这与c为奇数矛盾；
综上所述，若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数．即②正确；
∵，，
∴，，
∴关于x的一元二次方程的两根为，n．即③正确．
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．方程的根是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，
故答案为：．
12．已知关于的方程的一个根是2，那么 ．
【答案】
【详解】解：关于的方程的一个根是2，
代入得，，
解得：．
故答案为：．
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第 象限．
【答案】四
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解这个不等式，，
，
点在第四象限，
故答案为：四．
14．已知实数满足，则
【答案】
【详解】解：令，则，
∴，
则，即，
整理得：，
∴，
∴或；
当时，，解得：，
经检验，是方程的根；
当时，，此种情况不成立；
综上所述，，
故答案为：
15．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．设每月盈利的平均增长率为x，根据题意，列出的方程为 ．
【答案】
【详解】解：设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：，
故答案为：．
16．将方程化为一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【答案】
【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是，
故答案为：，，，．
17．若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为 ．
【答案】
【详解】解：解方程得，
∵使得关于的分式方程有整数解，
∴或或或或1或2或5或10，
∴或9或6或5或3或2或或，
又∵，
∴，
解得，
∴或9或6或5或3或2或，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
∴，且，
∴ 或，
∴所有满足条件的整数的和为．
故答案为：．
18．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ．
【答案】或5
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，，
①如图，当点在上时，则，
∴，
在中，，
∵点是边上的“好点”，
∴，
∴，
解得或（不符合题设，舍去），
∴此时；
②如图，当点与点重合时，则，
∴，，
∴，这与点是边上的“好点”矛盾，则的情形不存在；
③如图，当点在上时，则，
∴，
在中，，
∵点是边上的“好点”，
∴，
∴，
解得或（不符合题设，舍去），
∴此时；
综上，线段的长为或5，
故答案为：或5．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．用适当的方法解下列方程
(1)；
(2)
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）
解：这里，，，
∵．
即，
（2）
解：，
，
或．
，
20．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根；
(2)若是此方程的一个根，求的值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴
；
∵，
∴；
∴无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根；
（2）把代入，得：，
解得：．
21．我县某楼盘准备以每平方米元的均价销售，由于国家房地产政策调控，购房者购房意愿下降，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后以每平方米元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)刘女士准备购买一套平方米的住房，开发商为过年促销还给出了两种优惠方案．方案一：每平方米在开盘价基础上先降价元，再打折销售，总房款还少元；方案二：不打折，一次性每平方米送元装修费．当两种优惠方案一样时，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为x，
则，
即：
解得（舍去），
故平均每次下调的百分率为；
（2）由题意可得，
整理得， ．
解得（不合题意，舍去）
即的值为．
22．如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料．
(1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为；
(2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？
【答案】(1)当矩形的长为25米时，矩形花园的面积为；
(2)不能围成面积为的矩形花园，理由见解析
【详解】（1）解：设矩形的长为，则，
由题意得，，
整理得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
．
答：当矩形的长为25米时，矩形花园的面积为．
（2）不能围成面积为的矩形花园，理由如下：
设矩形的长为，则，
由题意得，，
整理得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，不合题意，舍去；
不能围成面积为的矩形花园．
23．已知实数m、n满足，，且．
(1)试说明的值恒为正数；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：∵实数m、n满足，，且，
∴m、n是一元二次方程的两个不相等的根．
∴，
即的值恒为正数．
（2）证明：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴
．
由（1）得，
∴，
∴．
24．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化．
探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____．
请回答下列问题：
(1)请补充完成探究二，直接在横线处填空；
(2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少
(3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少
(4)
【答案】(1)，
(2)，最大值为
(3)时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是
【详解】（1）解：∵，则，
∴当时，取得最小值，
∴当时，代数式有最小值，最小值为，
故答案为：，；
（2）解：代数式变形得，
∵，则，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴当时，代数式有最大值，最大值为；
（3）解：四边形是长方形，
∴设，则，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是，．中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 一元二次方程单元测试卷【培优卷】
姓名：___________班级：___________考号：___________
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：一元二次方程
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
3．已知某个一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是下列四个方程中的（ ）
A． B．
C． D．
4．在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
6．关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．
7．若，则，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A．2025 B． C．1 D．
9．观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A． B． C． D．
10．已知实数a，b，c，m，n，其中，满足，．则以下说法：①；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程的两根为，n．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．方程的根是 ．
12．已知关于的方程的一个根是2，那么 ．
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第 象限．
14．已知实数满足，则
15．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．设每月盈利的平均增长率为x，根据题意，列出的方程为 ．
16．将方程化为一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
17．若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为 ．
18．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．用适当的方法解下列方程
(1)；
(2)
20．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根；
(2)若是此方程的一个根，求的值．
21．我县某楼盘准备以每平方米元的均价销售，由于国家房地产政策调控，购房者购房意愿下降，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后以每平方米元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)刘女士准备购买一套平方米的住房，开发商为过年促销还给出了两种优惠方案．方案一：每平方米在开盘价基础上先降价元，再打折销售，总房款还少元；方案二：不打折，一次性每平方米送元装修费．当两种优惠方案一样时，求的值．
22．如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料．
(1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为；
(2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？
23．已知实数m、n满足，，且．
(1)试说明的值恒为正数；
(2)求证：．
24．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化．
探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____．
请回答下列问题：
(1)请补充完成探究二，直接在横线处填空；
(2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少
(3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少
