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【专题突破】2024-2025八年级下册数学浙教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】解：令，
则方程可转化为方程，
∵一元二次方程的两根分别为，1，
∴方程的两根分别为，1，
∴，，
即，，
∴，，
即方程的两根分别为，，
故选：D．
2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（ ）
A．2026 B．2024 C．2023 D．2025
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∵一元二次方程有一个根2024，
∴必有一根为，
解得：；
故选：A．
3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解方程时，若设，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：，
∴，
设，则，
整理得：．
故选B．
4．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ．
【答案】或，
【详解】解：一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
方程的两根分别为或，
故答案为：或．
5．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）已知关于x的方程的两根为，则方程的两根分别是 ．
【答案】0或1
【详解】解：设，则方程可化为，
∵关于x的方程的两根为，
∴关于t的方程的两根为，
∵，
∴，
∴程的两根分别是0或1．
故答案为：0或1．
6．（23-24八年级下·四川自贡·阶段练习）为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，
当时，，∴，∴；
当时，，∴，∴；
故原方程的解为．
以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为 ．
【答案】，，．
【详解】解：，
，
设，原方程可化为：，
解得：，，
当时，，
，，
当时，，
，
原方程的解为：，，．
7．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）已知方程的解是，，则方程的解 ．
【答案】，
【详解】解：设，则方程化为，
∵方程的解是，，
∴方程为的解是，，
当时，，解得；
当时，，解得，
∴方程的解是，．
故答案为：，．
8．（23-24八年级下·上海·期中）若为实数，且，则 ．
【答案】
【详解】解：设，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
故答案为：．
9．（23-24八年级下·四川乐山·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，．
请你参照材料给出的解题方法，解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)原方程的根为；(2)故原方程的根为．
【详解】（1）解：设，原方程可化为，
解得,
当时，,即,
∵，
∴方程无解，
当时，,即,
解得，,
故原方程的根为；
（2）解：设,原方程可化为，即,
解得,
当时，,
解得,经检验是原方程的解，
当,时，,
解得,经检验是原方程的解，
故原方程的根为．
10．（24-25八年级上·福建福州·期中）阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，
整理得，即，
∴，∴，
∵，∴．
上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知x、y满足，求的值；
(2)已知a、b满足，求的值．
【答案】(1)18(2)或1
【详解】（1）解：设，
则原方程可变为，
解得：，
，
，
．
（2）解：设，
则原方程可变为，
即，
解得：，
或1，
或1．
11．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）追本溯源
题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）．
（1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：．
方法应用：
（2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由．
（3）已知为实数且满足，请直接写出的值．
【答案】（1），；（2）是直角三角形，理由见解析；（3）
【详解】（1）解：设，
则原方程可化为，
解得：，．
当，即，解得：；
当，即，解得：．
所以原方程的解，．
（2）解：是直角三角形，
理由如下：∵、、为的三边，
故，，
∴，
设，
则原方程可化为，
解得：，（舍去）．
当，即，
即，
故是直角三角形．
（3）解：，
∵，
故，
即；
设，
则原方程可化为，
解得：，（舍去）．
当，即．
12．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）实数a，b满足，试求的值．
解：设．
原方程可化为，即，解得．
．
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题：
已知实数x、y满足，求的值．
【答案】
【详解】解：设，则，
原方程变形为，
整理得，
解得或（舍去），
，
．
13．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：方程的解法如下：
解：原方程变形为 设，得方程 解这个方程得， 当时，，∴ 当时，无意义． 检验：把代入原方程，等式成立． ∴原方程的解为
仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或；(2)，．
【详解】（1）解：设，得方程，
解这个方程得，，
当时，，解得，
经检验，，是原方程的解；
当时，，
解得，
经检验，，是原方程的解；
∴原方程的解为或；
（2）解：原方程变形为，
设，得方程，
整理得，
解这个方程得，，
当时，，即，
解得，；
当时，，即，
，
方程没实数解，舍去，
∴原方程的解为，．
14．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）阅读下列材料：
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变形为，
解得，．
当时，，．
当时，，
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出；
(2)利用换元法解方程：．
【答案】(1)；，
(2)，，，
【详解】（1）解：，
设，
∴原方程变为：，
解得，
当时，，
解得；
当时，，
可知，无解.
所以原方程的解是；
（2），
设，则
∴原方程可变形为：，
即，
解得，
当时，，
解得；
当时，，
解得，
经检验，所有解均是方程的根，
∴，.
15．（23-24八年级下·广东中山·期中）阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：．
分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法．
解：设，则原方程换元为．
，解得：，
或．
解得，，，．
请参考例题解法，解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：设，则，
∴，
解得：或（舍去），
即，
解得．
（2）设，则，
则，
∴，
解得：（舍）或，
即，
∴，
∴，
∴
∴
解得：．
16．（23-24八年级下·广东深圳·期中）阅读材料，解答问题．材料：为解方程，我们可以将作为一个整体，然后设，则．原方程可化为：，解得：．
当时，，解得：；
当时，，解得：；
所以原方程的解为：．
(1)方程：的解为：_______
(2)解方程：；（写出解题过程）
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：设，则，
∴原方程可以化为，
∴，
解得，
当时，，解得；
当时，，解得；
∴原方程的解为：；
（2）解：设，则，
∴原方程可以化为，
∴，
解得，
当时，，解得；
当时，，此时方程无解；
综上所述，原方程的解为．
17．阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：．
分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对于同学们来说具有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法．
解：设，
则原方程换元为．
，
或，
解得，，
或．
解得，，，．
请参考例题解法，解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，，，(2)
【详解】（1）解：设，则原方程可变形为，
，
或．
当时，，；
当时，，．
∴原方程的解为，，，．
（2）解：设，则，
所以原方程可化为，
，
或（舍去）．
当时，．
两边平方，得．
．
．
，．
经检验，，是原方程的解，
∴原方程的解为，．
18．（23-24八年级下·广东佛山·期中）问题背景：
我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程，可以将看成一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程没有实数根，所以原方程的根为：，．
解决问题：
(1)用适当的方法解下列方程：
①；
②．
(2)已知一元二次方程，，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)或或12
【详解】（1）解：①，
设，则，
原方程化为，
解得：，
∴或；
解得：；
②，
设，则，
原方程化为，
解得：，
∴或，
解得：．
（2）解：，
设，则，
原方程化为，
解得：
，
设，则，
原方程化为，
解得：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴的值为或或12．
19．（23-24八年级下·广东韶关·期中）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得．当时，．当时，原方程的解为．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)请用上述方法解方程：．
(2)已知实数满足，求的值．
【答案】(1)，，，；(2)
【详解】（1）解：设，
则原方程化为：，
解得：，，
当时，，
，
当时，，
，
原方程的解为：，，，；
（2）解：设，
则原方程化为：，
解得：，
，
，
．
20．（23-24八年级下·广东云浮·期中）阅读理解
为了解方程，可以将看作一个整体．
设，则原方程化为，解得，．
当时，，即，所以；
当时，，即，所以．
综上，原方程的根是，，，．
小试牛刀
请利用以上方法解方程：．
【答案】，，
【详解】解：令，则，
解得，，
当时，，解得，，
当时，，解得，
综上，原方程的解是，，．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题突破】2024-2025八年级下册数学浙教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（ ）
A．2026 B．2024 C．2023 D．2025
3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解方程时，若设，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ．
5．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）已知关于x的方程的两根为，则方程的两根分别是 ．
6．（23-24八年级下·四川自贡·阶段练习）为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，
当时，，∴，∴；
当时，，∴，∴；
故原方程的解为．
以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为 ．
7．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）已知方程的解是，，则方程的解 ．
8．（23-24八年级下·上海·期中）若为实数，且，则 ．
9．（23-24八年级下·四川乐山·期中）材料：为解方程，可设，于是原方程可化为，解得，．当时，不合题意舍去；当时，，解得，，故原方程的根为：，．
请你参照材料给出的解题方法，解下列方程：
(1)；
(2)．
10．（24-25八年级上·福建福州·期中）阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，
整理得，即，
∴，∴，
∵，∴．
上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)已知x、y满足，求的值；
(2)已知a、b满足，求的值．
11．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）追本溯源
题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）．
（1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：．
方法应用：
（2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由．
（3）已知为实数且满足，请直接写出的值．
12．（23-24八年级下·云南曲靖·期中）实数a，b满足，试求的值．
解：设．
原方程可化为，即，解得．
．
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题：
已知实数x、y满足，求的值．
13．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，一元一次方程是各类方程的重要基础．解二元一次方程组时，通过“消元”转化为一元一次方程：解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：方程的解法如下：
解：原方程变形为 设，得方程 解这个方程得， 当时，，∴ 当时，无意义． 检验：把代入原方程，等式成立． ∴原方程的解为
仔细阅读该方程解法过程，尝试解下列新方程：
(1)；
(2)．
14．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）阅读下列材料：
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变形为，
解得，．
当时，，．
当时，，
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出；
(2)利用换元法解方程：．
15．（23-24八年级下·广东中山·期中）阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：．
分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法．
解：设，则原方程换元为．
，解得：，
或．
解得，，，．
请参考例题解法，解下列方程：
(1)；
(2)．
16．（23-24八年级下·广东深圳·期中）阅读材料，解答问题．材料：为解方程，我们可以将作为一个整体，然后设，则．原方程可化为：，解得：．
当时，，解得：；
当时，，解得：；
所以原方程的解为：．
(1)方程：的解为：_______
(2)解方程：；（写出解题过程）
17．阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：．
分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对于同学们来说具有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法．
解：设，
则原方程换元为．
，
或，
解得，，
或．
解得，，，．
请参考例题解法，解下列方程：
(1)；
(2)．
18．（23-24八年级下·广东佛山·期中）问题背景：
我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程，可以将看成一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程没有实数根，所以原方程的根为：，．
解决问题：
(1)用适当的方法解下列方程：
①；
②．
(2)已知一元二次方程，，求的值．
19．（23-24八年级下·广东韶关·期中）为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得．当时，．当时，原方程的解为．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)请用上述方法解方程：．
(2)已知实数满足，求的值．
20．（23-24八年级下·广东云浮·期中）阅读理解
为了解方程，可以将看作一个整体．
设，则原方程化为，解得，．
当时，，即，所以；
当时，，即，所以．
综上，原方程的根是，，，．
小试牛刀
请利用以上方法解方程：．
