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专题2.4 一元二次方程根与系数的关系七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用根与系数的关系求代数式的值
【经典例题1】已知是一元二次方程的两根，则的值为 ．
【变式训练1-1】已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
【变式训练1-2】已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
【变式训练1-3】已知，是方程的两实数根，则 ．
【变式训练1-4】已知一元二次方程的两个实数根分别为，则
【变式训练1-5】已知a，b是一元二次方程的两根，则代数式的值为 ．
【变式训练1-6】已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
题型二：利用根与系数的关系求字母的值
【经典例题2】已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ．
【变式训练2-1】已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ．
【变式训练2-2】已知关于x的一元二次方程，若方程两实数根为，，且满足，则实数m的值为 ．
【变式训练2-3】（2025·山东临沂·一模）已知 m 、n 是关于 x 的一元二次方程的两个解，若，则 a 的 值为 ．
【变式训练2-4】设，是关于的一元二次方程：的两实根，当时，的值为
【变式训练2-5】等腰三角形的三边长分别为，，，且关于的一元二次方程的两个根是和，则的值为 ．
题型三：根与系数关系中将次法求解
【经典例题3】设，是方程的两实数根，则 ．
【变式训练3-1】设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
【变式训练3-2】设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ．
【变式训练3-3】已知，是方程的两个实数根，则代数式 ．
【变式训练3-4】已知m，n是方程两根，则的值为 ．
【变式训练3-5】已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 ．
题型四：构造一元二次方程求代数式的值
【经典例题4】若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ．
【变式训练4-1】非零实数a，b满足，，则的值是 ．
【变式训练4-2】已知实数m，n满足，则 ．
【变式训练4-3】已知实数，满足，且，则的值为 ．
【变式训练4-4】若实数a，b满足，且，则的值为 ．
【变式训练4-5】非零实数满足，，则的值是 ．
题型五：根与系数的关系与三角形的结合
【经典例题5】如果一个三角形两边的长分别a，b且为一元二次方程的两个实数根，若
(1)求K值是多少？
(2)那第三边的长可能是20？为什么？
【变式训练5-1】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当△ABC是直角三角形时，求的值．
【变式训练5-2】已知△ABC的一条边的长为5，另两边、的长分别为关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当时，求△ABC的周长．
【变式训练5-3】已知关于x的方程有两个正整数根（m是整数）．△ABC的三边a，b，c满足：．
(1)求m的值．
(2)求△ABC的面积（结果允许保留双重根号），
【变式训练5-4】已知△ABC的一条边的长为，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)当为何值时，△ABC是以为斜边的直角三角形；
(2)当为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
【变式训练5-5】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
(2)若△ABC是以为斜边的直角三角形，的长为5，另两边、的长是方程的两个根，求△ABC的面积．
题型六：根与系数的关系综合应用
【经典例题6】已知实数m、n满足，，且．
(1)试说明的值恒为正数；
(2)求证：．
【变式训练6-1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)若两个实数根和满足，求k的整数值．
【变式训练6-2】已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有一个根为，求的值和另一根；
(2)试取的一个整数值，使方程有两个根都是正整数，写出的值，并求此时方程的解．
【变式训练6-3】已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)求实数的取值范围．
(2)若，满足，求实数的值．
【变式训练6-4】如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知、满足，，求的值；
(2)已知、、满足，，求正数的最小值
【变式训练6-5】已知关于x的方程．
(1)若，试判断该方程根的情况并说明理由；
(2)若，、是方程的两个根，且两根之差为1，求的值．
题型七：根与系数的关系中定义新运算问题
【经典例题7】定义：如果关于x的一元方程的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，2和互为相反数，则方程是“对称方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”；
①；②；
(2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“对称方程”，求k的值．
【变式训练7-1】阅读理解．
定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是．
(1)写出一元二次方程的“密友方程”是________．
(2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
(3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程．
【变式训练7-2】定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”．
(1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）；
①，②，③；
(2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值；
(3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系．
【变式训练7-3】定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．
【变式训练7-4】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则点为该一元二次方程的衍生点．
(1)若一元二次方程，写出该方程的衍生点的坐标_______．
(2)若关于的一元二次方程为．
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点的坐标．
②若以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切，求的值．
(3)是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上？若有，请求出的值；若没有，请说明理由．
【变式训练7-5】阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦 韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，则．
材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：
一元二次方程的两个根为，，则______，______，______．
（2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值．
（3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值．中小学教育资源及组卷应用平台
专题2.4 一元二次方程根与系数的关系七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：利用根与系数的关系求代数式的值
【经典例题1】已知是一元二次方程的两根，则的值为 ．
【答案】0
【详解】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，，
∴
，
故答案：0．
【变式训练1-1】已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练1-2】已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【变式训练1-3】已知，是方程的两实数根，则 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得：，，
，
故答案为：．
【变式训练1-4】已知一元二次方程的两个实数根分别为，则
【答案】
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，
，
，
故答案是：．
【变式训练1-5】已知a，b是一元二次方程的两根，则代数式的值为 ．
【答案】
【详解】解：是一元二次方程的根，
，且，
∴．
．
故答案为：1
【变式训练1-6】已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】2024
【详解】解：，
，
，
故答案为：2024．
题型二：利用根与系数的关系求字母的值
【经典例题2】已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵、是关于x的方程的两实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴
整理得，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练2-1】已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ．
【答案】或
【详解】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根，
所以．
又因为，
所以，
解得，
经检验，两根都是原方程的解，且满足，
所以k的值为或．
故答案为：或．
【变式训练2-2】已知关于x的一元二次方程，若方程两实数根为，，且满足，则实数m的值为 ．
【答案】
【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，，
，
，
，
，
解得，
将代入可得，，
解得，
故答案为：．
【变式训练2-3】（2025·山东临沂·一模）已知 m 、n 是关于 x 的一元二次方程的两个解，若，则 a 的 值为 ．
【答案】3
【详解】解：∵m 、n 是关于 x 的一元二次方程的两个解，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得．
故答案为 ．
【变式训练2-4】设，是关于的一元二次方程：的两实根，当时，的值为
【答案】
【详解】解：，是关于的一元二次方程：的两实根，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
故答案为：．
【变式训练2-5】等腰三角形的三边长分别为，，，且关于的一元二次方程的两个根是和，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：当为底边长时，则，
∵关于的一元二次方程的两个根是和，
∴，，
．
，，能围成三角形，
，
解得：；
当为腰长时，
∵关于的一元二次方程的两个根是和，
∴，
∵为腰长，
∴、中有一个为，
∴另一个为，
，，不能围成三角形，
此种情况不存在．
故答案为：．
题型三：根与系数关系中将次法求解
【经典例题3】设，是方程的两实数根，则 ．
【答案】
【详解】解：∵是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是方程的两实数根，
∴，
∴，
故答案为：2025．
【变式训练3-1】设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】2024
【详解】解：是方程 的实数根，
,
,，
是方程的两个实数根，
，
，
故答案为：．
【变式训练3-2】设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】2024
【详解】∵α，β是方程的两个实数根，
∴， ，
∴，
∴
∴
，
故答案为：2024．
【变式训练3-3】已知，是方程的两个实数根，则代数式 ．
【答案】
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【变式训练3-4】已知m，n是方程两根，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：，是方程的两根，
，，
，，则，即
，
，
根据根与系数的关系得，
原式．
故答案为：．
【变式训练3-5】已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是 ．
【答案】4049
【详解】解；∵，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴
，
故答案为：4049．
题型四：构造一元二次方程求代数式的值
【经典例题4】若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ．
【答案】2030
【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，，
∴，可以看作方程的两个根，
∴，，，
∴
．
故答案为：2030．
【变式训练4-1】非零实数a，b满足，，则的值是 ．
【答案】或
【详解】解：∵非零实数a，b满足，，
∴当时，实数a，b是方程的两个不同的根，由根与系数的关系可得，，此时；
当时，实数a，b是方程的同一个根，此时；
综上所述，的值是或，
故答案为：或．
【变式训练4-2】已知实数m，n满足，则 ．
【答案】
【详解】解：，
，
是方程的两个根，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-3】已知实数，满足，且，则的值为 ．
【答案】
【详解】∵方程可变为，
又∵实数，满足，且，
，是方程的两个根，
，
故答案为：．
【变式训练4-4】若实数a，b满足，且，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：设，，
则，即，
，
，
，
m和n是的两个根，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练4-5】非零实数满足，，则的值是 ．
【答案】
【详解】解：
∴是方程的两根，
，
故答案为：．
题型五：根与系数的关系与三角形的结合
【经典例题5】如果一个三角形两边的长分别a，b且为一元二次方程的两个实数根，若
(1)求K值是多少？
(2)那第三边的长可能是20？为什么？
【答案】(1)66(2)不可能，理由见解析
【详解】（1）解：∵a，b为一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）不可能，理由是：
∵两边长分别为6和11，
∴，
∴第三边的长不可能是20．
【变式训练5-1】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为，当△ABC是直角三角形时，求的值．
【答案】(1)见解析(2)或
【详解】（1）证明：，
方程有两个不相等的实数根．
（2）解：，
即，
解得：，．
当为直角边时，，
解得：；
当为斜边时，，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为或
【变式训练5-2】已知△ABC的一条边的长为5，另两边、的长分别为关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)当时，求△ABC的周长．
【答案】(1)见解析(2)12
【详解】（1）解：∵
，
∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，一元二次方程为，
∵△ABC的一条边的长为5，另两边、的长分别为一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴△ABC的周长为．
【变式训练5-3】已知关于x的方程有两个正整数根（m是整数）．△ABC的三边a，b，c满足：．
(1)求m的值．
(2)求△ABC的面积（结果允许保留双重根号），
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）解：关于x的方程有两个正整数根，
．
解方程得：，
即．
，
，
．
（2）解：将代入两等式，化简得：．
当时，．
当时，a，b是方程的两根，显然此方程．
由韦达定理得：，
．
下分三种情况：
①当时，
，
是直角三角形，且，
∴．
②当时，
，
∴不能构成三角形，不合题意，故舍去．
③当时，
，
∴能构成三角形，符合题意．
从而．
综上，△ABC的面积为1或．
【变式训练5-4】已知△ABC的一条边的长为，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)当为何值时，△ABC是以为斜边的直角三角形；
(2)当为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
【答案】(1)
(2)当时，△ABC的周长为；当时，△ABC的周长为
【详解】（1）解：由题意得，，，
∵△ABC是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
解得或(不合题意，舍去)，
∴；
（2）解：①当为腰长时，则方程有一个根为，代入方程得，
，
∴，
∴方程为，
解得，，
∴等腰三角形的三边为，
∴△ABC的周长为；
②当为底边时，则方程有个相同的实数根，
∴，
整理得，，
∴，
方程为，
解得，
∴等腰三角形的三边为，
∴△ABC的周长为；
综上，当时，△ABC的周长为；当时，△ABC的周长为．
【变式训练5-5】已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
(2)若△ABC是以为斜边的直角三角形，的长为5，另两边、的长是方程的两个根，求△ABC的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）解：∵，
，
∴无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：由题意，得：，，
∵△ABC是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵当时， （不合题意，舍去），
∴，
∴原方程为，
解得：， ，
∴的两直角边的长分别为1，，
∴．
题型六：根与系数的关系综合应用
【经典例题6】已知实数m、n满足，，且．
(1)试说明的值恒为正数；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：∵实数m、n满足，，且，
∴m、n是一元二次方程的两个不相等的根．
∴，
即的值恒为正数．
（2）证明：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴
．
由（1）得，
∴，
∴．
【变式训练6-1】已知关于x的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)若两个实数根和满足，求k的整数值．
【答案】(1)
(2)整数k的值为或0
【详解】（1）解：，，
由已知得，
所以；
（2）由根与系数得关系可知，，
因为，
所以，
解得，
由（1）知，
所以，，
所以，整数k的值为或0．
【变式训练6-2】已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有一个根为，求的值和另一根；
(2)试取的一个整数值，使方程有两个根都是正整数，写出的值，并求此时方程的解．
【答案】(1)，；
(2)，，．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有一个根为，
，
解得：，
原方程化为，
分解因式得：，
解得：，
方程的另一根为；
（2）解：设关于的一元二次方程的两个根分别为，，
则有，
方程的两个根都是正根，
，
解得：，
若，
解得：，
方程为，
整理可得：，
分解因式可得：，
方程的解为，．
【变式训练6-3】已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)求实数的取值范围．
(2)若，满足，求实数的值．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，即，
解得：，
∴实数的取值范围．
（2）解：由根与系数关系可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
上式可化为，
解得，，
∵实数的取值范围，
∴．
【变式训练6-4】如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知、满足，，求的值；
(2)已知、、满足，，求正数的最小值
【答案】(1)或2(2)4
【详解】（1）解：∵a、b满足，，
∴a，b是的解，
当时，，，
∴，
当时，．
综上，的值为或2．
（2）解：∵，，
∴，，
∴a、b是方程的解，
∴，即，
∵c是正数，
∴，
∴，
∴，
∴正数c的最小值是4．
【变式训练6-5】已知关于x的方程．
(1)若，试判断该方程根的情况并说明理由；
(2)若，、是方程的两个根，且两根之差为1，求的值．
【答案】(1)当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根(2)
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴当，即当时，方程有两个不相等的实数根；
当，即当时，方程有两个相等的实数根；
当，即当时，方程没有实数根；
（2）解：∵，
∴设，，
∴原方程可化为，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴.
题型七：根与系数的关系中定义新运算问题
【经典例题7】定义：如果关于x的一元方程的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，2和互为相反数，则方程是“对称方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”；
①；②；
(2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“对称方程”，求k的值．
【答案】(1)①不是“对称方程”；②是“对称方程”(2)
【详解】（1）解：①，
因式分解得，
，，
∵该方程的两实数根不互为相反数，
∴此方程不是“对称方程”；
②，
整理得，
，，
∵该方程的两实数根互为相反数，
∴此方程是“对称方程”；
（2）解：∵关于一元二次方程是“对称方程”，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，原方程为，无解，
∴．
【变式训练7-1】阅读理解．
定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是．
(1)写出一元二次方程的“密友方程”是________．
(2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
(3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程．
【答案】(1)
(2)，；关系为：，，证明见解析
(3)，
【详解】（1）解：一元二次方程，
，，，
其“密友方程”是；
（2）解：该一元一次方程的“密友方程”是；
解得：，；
关系为：，
或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数．
证明：的两根为、，
设，则，整理的
，即方程两根为、
原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数．
即，；
故答案为：，；，
（3）解：已知关于的方程的两根是，，
的两根为，
方程即为，两根设为、
，
，．
【变式训练7-2】定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“根差2方程”．
(1)根据上述定义，下列方程是“根差2方程”的是______（填序号）；
①，②，③；
(2)已知关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，求a的值；
(3)若关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，（）试求m、n间的数量关系．
【答案】(1)①②(2)7或(3)
【详解】（1）解：①的解为，，则该方程为“根差2方程”；
②的解为，，则该方程为“根差2方程”；
③的解为，，则该方程不是“根差2方程”；
故答案为：①②．
（2）解：设关于x的方程的解为，则，
∵关于x的方程（a是常数）是“根差2方程”，
∴，即，
∴，解得：或．
（3）解：∵关于x的一元二次方程和都是“根差2方程”，
∴，，
∴，
∵
∴．
【变式训练7-3】定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)是(2)k的值为9(3)或
【详解】（1）解：，
，
或，
所以，，
，，
所以一元二次方程为“限根方程”，
故答案为：是；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
，
，即，
解得，，
当时，方程化为，
解得，，
，，
方程是“限根方程”，
当时，方程化为，
解得，，
，
方程化不是“限根方程”，
综上所述，的值为9；
（3）解：，
，
或，
解得或，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上所述，的取值范围为或．
【变式训练7-4】定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则点为该一元二次方程的衍生点．
(1)若一元二次方程，写出该方程的衍生点的坐标_______．
(2)若关于的一元二次方程为．
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点的坐标．
②若以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切，求的值．
(3)是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上？若有，请求出的值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析，点的坐标为②
(3)，
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴该方程的衍生点的坐标为，
故答案为：；
（2）①证明：∵，
∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根，
∴，
∴，，
∴该方程的衍生点的坐标为；
②∵以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：存在．
∵直线
∴当时，，
∴无论为何值，直线始终经过点，
∴关于的方程的衍生点的坐标为，
∴方程的两个根为，，
∴，，
解得，．
【变式训练7-5】阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦 韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，则．
材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将、看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：
一元二次方程的两个根为，，则______，______，______．
（2）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值．
（3）思维拓展：已知，是一元二次方程的两个实数根．直接写出使的值为整数的实数的整数值．
【答案】（1），，；（2）；（3）实数的整数值为或或
【详解】解：（1）一元二次方程的两个根为，，
，，
；
故答案为：，，；
（2）由题知，和可看成方程的两个实数根，
，．
，
，
．
所以．
故的值为．
（3）根据题意得且，解得，
，，
∴，
∴，
为整数，为整数，
，
解得，
又，
的整数值为或或．
