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【专题突破】2024-2025八年级下册数学浙教版 能力提升
本题组共15道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下：
，
由，得；
代数式的最小值是4．
请仿照上述方法，求代数式的最小值．
【答案】
【详解】解：
，
∴代数式的最小值是．
2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等
例如：分解因式：
(1)请用上述方法把分解因式；
(2)求多项式的最小值；
(3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数．
【答案】(1)(2)(3)见解析
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为1；
（3）解：∵
，
又∵，，
∴，
∴无论、取任何实数时，多项式的值总为正数．
3．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
∵无论x取何实数，都有，
，即的最小值为2．
(1)请直接写出，的最小值 ；
(2)试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义；
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：∵，
又∵无论x取何实数，都有，
∴，即的最小值为；
（2）解：∵，
又∵无论x取何实数，都有，
∴，即无论x取何实数，的值都大于0，
∴无论x取何实数，二次根式都有意义．
4．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．
解：，
，
∴，即的最小值是．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知，求的最小值．
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
【答案】(1)3(2)，理由见解析
【详解】（1）解：，
∵，
∴的最小值是3，即y的最小值是3；
（2）解：∵
，
，
∴
∴．
5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读与思考
用配方法求代数式的最值 我们通常把和称为完全平方式，完全平方式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项凑成完全平方式，再减这个添加的项，使原多项式的值不变，这种方法叫做“配方法” 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求代数式的最值． 如：求代数式的最值． 解：． ， ． 代数式的最小值为3．
(1)以上解答过程，主要体现的数学思想是_______；
A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．统计思想
(2)已知，则a的值为_______，b的值为_______；
(3)求代数式的最值．
【答案】(1)B(2)，(3)代数式的最大值为5
【详解】（1）解：根据题意可得，解答过程主要体现的数学思想是转化思想，
故选：B；
（2）解：，
∴，，
解得：，；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
∴代数式的最大值为5．
6．（24-25八年级下·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：；
不论取何值，总是非负数，即，
；即当时，有最小值，
根据上述材料，解答下列问题：
(1)求的最小值；
(2)若，，比较、的大小（写出比较过程）；
(3)若三角形中某两边、满足，求．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：．
∵，
∴，
∴当时，有最小值．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
故．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∵．
7．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题：
(1)利用配方法分解因式：．
(2)求二次三项式的最小值．
(3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)，详见解析
【详解】（1）解：
；
（2）
，
当时，二次三项式的最小值为；
（3）
，
．
8．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）阅读材料：我们知道，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式的最小值时，我们可以这样处理：
．
因为，所以，当时，取得最小值．
(1)求多项式的最小值，并写出对应的x的取值．
(2)求多项式的最小值．
【答案】(1)，最小值；(2)2
【详解】（1）解：
∵，
∴，
∴当时，取得最小值；
（2）解：
，
∵，，
∴，
∴当，时，有最小值2．
9．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例：
．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知是直角的两边长，且满足，求直角的周长．
【答案】(1)(2)；(3)或
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
的最小值为；
（3）解：，
，
，
∴，，
当直角△ABC第三边为斜边时，则第三边的长为：，
当直角△ABC第三边为直角边时，则第三边的长为：．
故△ABC的周长为或．
10．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
无论取何实数，都有，
，即的最小值为．
(1)请求出的最值
(2)如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．
【答案】(1)的最大值为3；(2)四边形的面积最大值为．
【详解】（1）解：
，
无论取何实数，都有，
，即的最大值为3；
（2）解：，
四边形的面积，
，
，
四边形的面积
．
，
当时，四边形的面积最大，最大值为．
11．（24-25八年级下·重庆丰都·阶段练习）【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
解：
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
【问题解决】
利用配方法解决下列问题：
（1）当___________时，代数式有最小值，最小值为___________．
（2）当取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？
【拓展提高】
（3）当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
【答案】（1）1；；（2）当时，代数式有最小值，最小值是4；（3）当，时，代数式有最小值，最小值是16
【详解】解：（1）
因为，
所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
故答案为：1；；
（2），
因为，
所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是4；
（3）
因为，，
所以，
因此，当，，即，时，代数式有最小值，最小值是16．
12．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
．可知当时，有最大值．最大值是．
(1)【直接应用】代数式的最小值为______；代数式的最大值为______；
(2)【类比应用】若多项式，试求的最小值；
(3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
【答案】(1)；13(2)最小值为2018；(3)围成的菜地的最大面积是．
【详解】（1）解：，
当时，代数式有最小值，最小值为，
，
当时，代数式有最大值，最大值为13，
故答案为：；13；
（2）解：
，
当，时，有最小值，最小值为2018；
（3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，
根据题意得：，
当时，有最大值，最大值是，
围成的菜地的最大面积是．
13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；
（2）已知，则______；
探究问题；
（3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
拓展结论；
（4）已知实数x、y满足，求的最值．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，S为“完美数”，理由见解析；（4）
【详解】解：（1）由题意得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵，为整数，
∴，也是整数，
∴当时，S为“完美数”；
（4）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，为．
14．（24-25八年级下·湖南娄底·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，
因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，
所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)求式子的最小值．
(2)若，，比较M、N的大小．（写出比较过程）
(3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长．
【答案】(1)(2)(3)17
【详解】（1）解：．
∵，
∴，
∴当时，有最小值．
（2）∵，，
∴．
∵，则，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，．
∵a，b是等腰三角形的两边，且，
∴等腰三角形的三边分别为3、7、7，
∴这个等腰三角形的周长为．
15．阅读材料．
对式子可以变化如下：
原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．
请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题：
(1)请用配方法求出的最小值
(2)请用配方法求出代数式的最小值
(3)试说明：、取任何实数时，代数式的值总大于8．
【答案】(1)(2)(3)见解析
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（2）解：，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为；
（3）解：
，
∵，，
∴，
∴、取任何实数时，代数式的值总大于8．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题突破】2024-2025八年级下册数学浙教版 能力提升
本题组共15道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下：
，
由，得；
代数式的最小值是4．
请仿照上述方法，求代数式的最小值．
2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等
例如：分解因式：
(1)请用上述方法把分解因式；
(2)求多项式的最小值；
(3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数．
3．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
∵无论x取何实数，都有，
，即的最小值为2．
(1)请直接写出，的最小值 ；
(2)试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义；
4．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．
解：，
，
∴，即的最小值是．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知，求的最小值．
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读与思考
用配方法求代数式的最值 我们通常把和称为完全平方式，完全平方式的最小值为0．有些多项式不是完全平方式，可以通过添加项凑成完全平方式，再减这个添加的项，使原多项式的值不变，这种方法叫做“配方法” 用配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求代数式的最值． 如：求代数式的最值． 解：． ， ． 代数式的最小值为3．
(1)以上解答过程，主要体现的数学思想是_______；
A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．统计思想
(2)已知，则a的值为_______，b的值为_______；
(3)求代数式的最值．
6．（24-25八年级下·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：；
不论取何值，总是非负数，即，
；即当时，有最小值，
根据上述材料，解答下列问题：
(1)求的最小值；
(2)若，，比较、的大小（写出比较过程）；
(3)若三角形中某两边、满足，求．
7．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题：
(1)利用配方法分解因式：．
(2)求二次三项式的最小值．
(3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由．
8．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）阅读材料：我们知道，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式的最小值时，我们可以这样处理：
．
因为，所以，当时，取得最小值．
(1)求多项式的最小值，并写出对应的x的取值．
(2)求多项式的最小值．
9．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例：
．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题：
(1)分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知是直角的两边长，且满足，求直角的周长．
10．（24-25八年级下·四川遂宁·阶段练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
无论取何实数，都有，
，即的最小值为．
(1)请求出的最值
(2)如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．
11．（24-25八年级下·重庆丰都·阶段练习）【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
解：
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
【问题解决】
利用配方法解决下列问题：
（1）当___________时，代数式有最小值，最小值为___________．
（2）当取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？
【拓展提高】
（3）当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
12．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
．可知当时，有最大值．最大值是．
(1)【直接应用】代数式的最小值为______；代数式的最大值为______；
(2)【类比应用】若多项式，试求的最小值；
(3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；
（2）已知，则______；
探究问题；
（3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
拓展结论；
（4）已知实数x、y满足，求的最值．
14．（24-25八年级下·湖南娄底·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，
因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，
所以当时，有最小值．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)求式子的最小值．
(2)若，，比较M、N的大小．（写出比较过程）
(3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长．
15．阅读材料．
对式子可以变化如下：
原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．
请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题：
(1)请用配方法求出的最小值
(2)请用配方法求出代数式的最小值
(3)试说明：、取任何实数时，代数式的值总大于8．
