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【专题突破】2024-2025八年级下册数学浙教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（24-25八年级下·河南商丘·期末）对于任意个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【详解】解：根据题意得，
整理得，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
2．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（ ）
A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6
【答案】B
【详解】解：，
∴，
∴或，
解得：，，
∵总有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵n是正整数，
∴，2，3，4，5，6，
∵方程是“倍根方程”，
∴3能被整除或能被3整除，
∴或5．
故选：B．
3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得，，
，
是关于的方程的根，
是方程的根，
，
，
，
；
故选：A．
4．（24-25八年级下·河南新乡·期末）定义新运算，对于任意实数，规定，若是关于的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】A
【详解】解：根据题意得，
整理得，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）对于实数a，b，c，d，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则x的值为（ ）
A．或4 B．2或 C．2或4 D．或
【答案】A
【详解】解：∵
∴
∴
∴
解得：，
故选：A．
6．（2024·甘肃·模拟预测）在正数范围内定义一种运算：，如，若，则m的值为 ．
【答案】5
【详解】解：由题意得：，即
∴或
解得：（舍去）或．
故答案为：5．
7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）对于实数，定义新运算“”：，如． 若，则实数的值是 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，整理得，，
∴，
解得，，
∴实数的值是，
故答案为： ．
8．（24-25八年级下·福建厦门·期中）定义：关于的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
（）写出方程的“再生韦达方程” ．
（）写出一个一元二次方程，使得它既是“原生方程”又是自己的“再生韦达方程” ．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】解：（）由方程得，，
∴，，
∴，，
∴方程的“再生韦达方程”为，
即，
故答案为：；
（）由题意可得，
∴，
即，
∴，，
∴方程的一个根为，另一个根为，
∴符合题意的一元二次方程可以为，即，
故答案为：．
9．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）将个数，，，排成行、列，两边各加一条竖线，记成，定义，上述记号叫做二阶行列式．那么表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式为 ．
【答案】
【详解】解：，
，
，
，
，
表示的方程是一元二次方程，它的一般形式为，
故答案为：．
10．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）对于任意实数m、n，定义运算“☆”，其运算规则为：，例如，求方程的解．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
解得
11．（24-25八年级下·江苏南京·期中）定义：如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）．
①；②；③．
(2)若是“邻根方程”，求n的值．
(3)若一元二次方程（b，c均为常数）为“邻根方程”，直接写出b，c满足的数量关系．
【答案】(1)①③(2)或(3)
【详解】（1）解：①解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
②解方程得，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
③解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”．
故答案为：①③．
（2）解：解方程得：，，
∵该方程是“邻根方程”，
∴或，解得或．
（3）解：∵一元二次方程（b，c均为常数）为“邻根方程”，
∴设方程的两个根，则，，，，
由得，
∴，即，
∴．
12．（24-25八年级下·福建三明·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．
例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______．
(2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值．
(3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由．
【答案】(1)不是，(2)或(3)
【详解】（1）解：解方程，
解得：，
∵和不是二倍关系，
∴不是“倍根方程”，
∵是“倍根方程”，
∴将和分别代入上式可得，，，
解得：，
故答案为：不是，．
（2）解：原方程可化为，
∴，
∴或，
∴或．
（3）解：之间满足的关系．
理由：设一个根为，则另一个根为，由根与系数关系得，，
∴，，
∴，即．
∴之间满足的关系．
13．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题：
(1)求的值；
(2)若， 求x的值．
【答案】(1)13(2)
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
即，
解得：．
14．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
(1)根据上述定义，判断方程 ______（填“是”或“不是”）“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程（是常数）是“邻根方程”，求m的值；
【答案】(1)是(2)0或
【详解】（1）解：，
，
解得，，
∴方程是“邻根方程”
故答案为：是；
（2）解：
，
解得：，，
∵方程（是常数）是“邻根方程”，
∴，
解得，．
15．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足：，则_____，______；
(2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值．
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）由题意得：a，b是的两个根，
，
故答案为：；
（2）由题意，得：，
即，
解得；
，
，
，
当时，，解得：，
，
，
；
当时，，解得：，
，
，
；
综上：或．
16．（24-25八年级下·湖南·阶段练习）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”．
(1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号）
①；②；③；
(2)若关于的一元二次方程方程，
①证明：此方程一定是“美好方程”；
②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①③(2)①证明见解析；②存在，的值为
【详解】（1）解：①，，故符合题意；
②，，故不符合题意；
③，，故符合题意；
故选：①③．
（2）解：①证明：，
，
此方程一定是“美好方程”．
②存在，理由如下：
，
，，
始终在函数的图象上，
，
，
即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1．
17．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）定义：如果关于x的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”；
(2)已知是关于x的“黄金方程”，若a是此“黄金方程”的一个根，求a的值．
【答案】(1)是(2)或
【详解】（1）由题意得，，，
∴，
∴一元二次方程是“黄金方程”；
（2）∵是关于x的“黄金方程”，
∴，
∴，
代入原方程得．
∵a是此“黄金方程”的一个根，
∴，
即，
解得或．
18．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”；
(2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值．
【答案】(1)属于(2)或．
【详解】（1）解：解方程，得，，
解方程，得，，
∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根，
∴一元二次方程与属于“同伴方程”；
（2）解：解，得，，
当相同的实数根是时，则，
解得，
把代入，得，
解得，，
∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；
当相同的实数根是时，则，
解得，
把代入，得，
解得，，
∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；
∴m的值为或．
19．（24-25八年级下·四川成都·期中）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“特优方程”． 如：一元二次方程的两根为，，满足，所以一元二次方程为“特优方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“特优方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元二次方程是“特优方程”，且方程的两根，满足，求的值．
(3)若关于的一元二次方程是“特优方程”，求的取值范围．
【答案】(1)一元二次方程是“特优方程”，理由见解析
(2)(3)的取值范围是或
【详解】（1）解：一元二次方程是“特优方程”，理由如下：
，，满足，，
一元二次方程是“特优方程”；
（2）关于的一元二次方程为，
，，
，
，
，
整理得：，
，
，
（不合题意，舍去），，
当时，原一元二次方程为，
解得：，，
满足，，
；
（3）
或
解得：或，
是“特优方程”，
，，
，
，且，
当时，或，
，
，
解得：，
当时，或，
，
，
解得：，
综上所述，的取值范围是或．
20．（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】：
（1）已知是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式．
（2）若可配方成（m、n为常数），则 ．
【探究问题】：
（3）已知，求的值；
（4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时，S是完美数，理由见解析
【详解】（1）解：∵是“完美数，
∴；
（2）解：由题意知，，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，即，
∴，
解得，
∴，
∴；
（4）解：当时，S是完美数，理由如下：
当时，，
∵x，y是整数，
∴也是整数，
∴S是一个“完美数”．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题突破】2024-2025八年级下册数学浙教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（24-25八年级下·河南商丘·期末）对于任意个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（ ）
A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6
3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）定义：由，构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，是关于的方程的根，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·河南新乡·期末）定义新运算，对于任意实数，规定，若是关于的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
5．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）对于实数a，b，c，d，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则x的值为（ ）
A．或4 B．2或 C．2或4 D．或
6．（2024·甘肃·模拟预测）在正数范围内定义一种运算：，如，若，则m的值为 ．
7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）对于实数，定义新运算“”：，如． 若，则实数的值是 ．
8．（24-25八年级下·福建厦门·期中）定义：关于的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
（）写出方程的“再生韦达方程” ．
（）写出一个一元二次方程，使得它既是“原生方程”又是自己的“再生韦达方程” ．
9．（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）将个数，，，排成行、列，两边各加一条竖线，记成，定义，上述记号叫做二阶行列式．那么表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式为 ．
10．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）对于任意实数m、n，定义运算“☆”，其运算规则为：，例如，求方程的解．
11．（24-25八年级下·江苏南京·期中）定义：如果关于x的一元二次方程（a，b，c均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程中，是“邻根方程”的是______（填序号）．
①；②；③．
(2)若是“邻根方程”，求n的值．
(3)若一元二次方程（b，c均为常数）为“邻根方程”，直接写出b，c满足的数量关系．
12．（24-25八年级下·福建三明·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．
例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”．
(1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______．
(2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值．
(3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由．
13．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题：
(1)求的值；
(2)若， 求x的值．
14．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”；例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
(1)根据上述定义，判断方程 ______（填“是”或“不是”）“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程（是常数）是“邻根方程”，求m的值；
15．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足：，则_____，______；
(2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值．
16．（24-25八年级下·湖南·阶段练习）新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”．
(1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号）
①；②；③；
(2)若关于的一元二次方程方程，
①证明：此方程一定是“美好方程”；
②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）定义：如果关于x的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”；
(2)已知是关于x的“黄金方程”，若a是此“黄金方程”的一个根，求a的值．
18．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”；
(2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值．
19．（24-25八年级下·四川成都·期中）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“特优方程”． 如：一元二次方程的两根为，，满足，所以一元二次方程为“特优方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“特优方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元二次方程是“特优方程”，且方程的两根，满足，求的值．
(3)若关于的一元二次方程是“特优方程”，求的取值范围．
20．（24-25八年级下·湖南岳阳·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
【解决问题】：
（1）已知是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式．
（2）若可配方成（m、n为常数），则 ．
【探究问题】：
（3）已知，求的值；
（4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
