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【专题突破】2024-2025八年级下册数学浙教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（23-24八年级下·河南许昌·期末）已知方程有两个不相等的实数根，
(1)求m的取值范围；
(2)当时，求方程的根．
2．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
3．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
(2)当时，求方程的解．
4．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）在等腰△ABC中，三边分别是，，，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
5．（23-24八年级下·北京海淀·期末）关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围．
6．（23-24八年级下·广东中山·期末）已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若时，该方程的根为等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长．
7．（23-24八年级下·山东临沂·期中）已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)若的长为6，求m的值；
(2)m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长．
8．（23-24八年级下·江苏常州·期中）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值．
9．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为△ABC三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
10．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知关于的一元二次方程开展探究．
(1)若时，实数，满足，，且，求的值；
(2)若两个不相等的实数，满足，，求的值．
11．（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若为方程的一个根，且满足，求整数的值．
12．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）已知关于x的方程有两个实数根，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a是自然数，求 的值．
13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中、的边长，当时，△ABC是等腰三角形，求此时k的值和△ABC的周长．
14．（24-25八年级上·上海·期中）已知是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，且都是整数，求的最大值及这种情况下方程的解．
15．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有实数根；
(2)若等腰的一边长，另两边恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知关于的两个一元二次方程：方程①：；方程②：．
(1)若方程①和②只有一个方程有实数根，求整数；
(2)若方程①和②有一个公共根，求代数式的值．
17．设a、b、c是△ABC的三条边，关于x的方程有两个不相等实数根，方程
(1)试判断△ABC的形状；
(2)若a、b为方程的两个根，求m的值
18．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)在等腰△ABC中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值．
19．已知a，b是关于x的一元二次方程的两根．
(1)求n的取值范围；
(2)若等腰三角形的三边长分别为a，b，2，求n的值．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)当时，试判断此方程根的情况．
(2)若，是该方程不相等的两实数根，且，求的值．
(3)若为正整数，并且该方程的两实数根都为整数，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题突破】2024-2025八年级下册数学浙教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1．（23-24八年级下·河南许昌·期末）已知方程有两个不相等的实数根，
(1)求m的取值范围；
(2)当时，求方程的根．
【答案】(1)(2)，
【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根，
，
∴；
（2）解：当时，原方程为，
，，；
；
，
，．
2．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：根据题意得，
解得：；
（2）解：是方程的一个实数根，
，即，
代入中，得：
，
解得：或，
∵，
∴．
3．已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
(2)当时，求方程的解．
【答案】(1)(2)，
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴m的取值范围为；
（2）解：当时，原方程为，
，，
∴
∴，．
4．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期中）在等腰△ABC中，三边分别是，，，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
【答案】△ABC的周长是
【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：或（不合题意舍去），
①当为底，为腰时，则，构不成三角形，此种情况不成立；
②当为底，为腰时，则，能够构成三角形，
此时△ABC的周长为：；
△ABC的周长是．
5．（23-24八年级下·北京海淀·期末）关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
解得，，，
∵该方程的实数根均为非负数，
∴，
解得，，
∴m的取值范围为．
6．（23-24八年级下·广东中山·期末）已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有实数根，求m的取值范围；
(2)若时，该方程的根为等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长．
【答案】(1)(2)7
【详解】（1）解：由题知，因为该方程有实数根，
所以，
解得，
所以m的取值范围是．
（2）解：将代入方程得，，
解得，．
当1为腰时，
，
所以此情况不存在．
当3为腰时，
，
此时等腰三角形的周长为：．
7．（23-24八年级下·山东临沂·期中）已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)若的长为6，求m的值；
(2)m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长．
【答案】(1)12(2)，平行四边形是菱形，菱形的边长是4
【详解】（1）解：的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为6，
把代入，
得：，
解得：；
（2）解：平行四边形是菱形，
，
方程有两个相等的实数根，
，
，
此时方程为，
，
，即菱形的边长为4；
答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4．
8．（23-24八年级下·江苏常州·期中）已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数n的值．
【答案】(1)且(2)，或
【详解】（1）解：根据题意得，且，
解得且；
（2）解：∵且，
∴m的最大整数为，此时方程变形为，
解得，，
把代入，得：，
解得；
把代入，得：，
解得．
9．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为△ABC三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】(1)等腰三角形，见解析
(2)直角三角形，见解析
(3)，
【详解】（1）解：把代入方程得：，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：根据题意得，
即，
所以为直角三角形；
（3）解：为等边三角形，
，
方程化为，
解得，．
10．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知关于的一元二次方程开展探究．
(1)若时，实数，满足，，且，求的值；
(2)若两个不相等的实数，满足，，求的值．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，是一元二次方程的两个根，
则，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
即，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
∵，为两个不相等的实数，
∴，
则，
∴．
又∵，
∴，
即．
11．（24-25八年级下·河北唐山·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若为方程的一个根，且满足，求整数的值．
【答案】(1)证明见解析(2)，
【详解】（1）证明：，
∴，
，
，
该方程总有两个实数根．
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
，即，
又为整数，
可取，．
12．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）已知关于x的方程有两个实数根，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a是自然数，求 的值．
【答案】(1)且(2)2或
【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个实数根，，
∴且，
∴且，
∴且；
（2）解：∵a是自然数，且；
∴，
则原方程为：，
整理得：，
∴或，
解得：或，
故或．
13．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中、的边长，当时，△ABC是等腰三角形，求此时k的值和△ABC的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)，△ABC的周长为
【详解】（1）证明：，
，即
∴方程有两个实数根；
（2）设，一元二次方程的解，
，
，，
∵△ABC中、的边长分别为方程的两个实数根，且，△ABC是等腰三角形，
，
有两种可能的情况：或，和，
当或即或时，即方程有两个不相等的实数根．
将，代入中得
，
解得，
将代入原方程得，
解得，，
∵△ABC中、的边长分别为方程的两个实数根，且，
△ABC的周长为，
当时，即方程有两个相等的实数根．
，即
解得：，
将代入原方程得，
解得，，
三条边分别为，，1，不能构成三角形，舍去；
综上所述：，△ABC的周长为．
14．（24-25八年级上·上海·期中）已知是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，且都是整数，求的最大值及这种情况下方程的解．
【答案】(1)
(2)k的最大值为86，此时方程的解为
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：；
（2）解：由（1）及题意可得：，
由可得：，
∵都是整数，
∴为开方数，
∴或41或46或53或62或73或86，
∴k的最大值为86，
此时方程为，
解得：．
15．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，此方程总有实数根；
(2)若等腰的一边长，另两边恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
【答案】(1)证明过程见详解(2)这个等腰三角形的周长是
【详解】（1）证明：关于的方程中，，
∴
∵，
∴无论取何值，此方程总有实数根；
（2）解：是关于的方程的两根，
当是等腰的底边，是腰时，，
∴，
解得，，
∴关于的方程为，即，
解得，，
此时，，不能构成等腰三角形，不符合题意，舍去；
当是等腰的腰，是腰，是底边时，，
∴是关于的方程的一个根，
∴，
解得，，
∴，即，
解得，，
∴，
∴等腰的边长分别为，能构成等腰三角形；
∴这个等腰三角形的周长是．
16．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知关于的两个一元二次方程：方程①：；方程②：．
(1)若方程①和②只有一个方程有实数根，求整数；
(2)若方程①和②有一个公共根，求代数式的值．
【答案】(1)(2)5
【详解】（1）解：对于方程②：，
∵
，
∴无论k为何值时，方程②总有实数根，
∴方程②总有实数根，
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根，
对于方程①：，
．
∴或，
解不等式组，得无解；
解不等式组，得，
∴整数k的值为；
（2）解：根据a是方程①和②的公共根，
③，④
得：⑤，
得：，
代数式．
故代数式的值为5．
17．设a、b、c是△ABC的三条边，关于x的方程有两个不相等实数根，方程
(1)试判断△ABC的形状；
(2)若a、b为方程的两个根，求m的值
【答案】(1)等边三角形(2)
【详解】（1）有两个相等的实数根，
，
整理得①，
又的根为，
②，
把②代入①得，
，
为等边三角形；
（2），是方程的两个根，
方程有两个相等的实数根
，
即，
，．
当时，原方程的解为（不符合题意，舍去），
．
18．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求m的取值范围；
(2)在等腰△ABC中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值．
【答案】(1)且；(2)
【详解】（1）解：，
方程有实数根，
且，
且，
解得且；
（2）解：根据题意得且，
解得且，
当时，方程的一根是3，把代入方程得，
解得，
此时方程的另一根为，
，
三角形存在；
；
当，
，
方程为．
解得，
一腰长为3，
不合题意，
综上，．
19．已知a，b是关于x的一元二次方程的两根．
(1)求n的取值范围；
(2)若等腰三角形的三边长分别为a，b，2，求n的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意，得．
∵a，b是关于x的一元二次方程的两根，
∴，
∴．
（2）∵三角形是等腰三角形，
∴有①或，②两种情况．
①当或时，
∵a，b是关于x的一元二次方程的两根，
∴是方程的一根．
把代入，
得，
解得．
当时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故不合题意，舍去；
②当时，方程有两个相等的实数根，
∴，解得．
综上所述，．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)当时，试判断此方程根的情况．
(2)若，是该方程不相等的两实数根，且，求的值．
(3)若为正整数，并且该方程的两实数根都为整数，求的值．
【答案】(1)此方程有两个相等的实数根(2)(3)或
【详解】（1）解：当时，，即，
∴，
∴此方程有两个相等的实数根；
（2）解：∵，是方程不相等的两实数根，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：或，
当时，的，方程无实数根，故舍去；
当时，符合题意，
∴的值为；
（3）解：∵，
∴，
∵方程的两实数根都为整数，
∴为整数，
又∵为正整数，
∴或，
∴或，
∴的值为或．
