2024-2025学年浙江八年级数学下第二章《一元二次方程》常考题
请同学们注意：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分，考试时间为100分钟。
2.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
3.考试结束后，只需上交答题卷。
祝同学们取得成功！
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题3分）（24-25八年级上·浙江·假期作业）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为．
【详解】解：、，是一元二次方程，原选项符合题意；
、，没有说明，不能判定是否为一元二次方程，原选项不符合题意；
、，化简为是一元一次方程，原选项不符合题意；
、，未数的最高次数是3，不是一元二次方程，原选项不符合题意；
故选：．
2．（本题3分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）若一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义．
把代入方程可得关于a的一元一次方程，即可解得答案．
【详解】解：∵一元二次方程有一个根为1，
∴，
解得，
故选：D．
3．（本题3分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）关于的一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
先把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【详解】解：
，
故选C
4．（本题3分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况．根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】解：A、，，方程没有实数根，不符合题意；
B、，，方程没有实数根，不符合题意；
C、，，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
D、，，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
5．（本题3分）（23-24九年级上·浙江台州·期末）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
6．（本题3分）（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（ ）
A．6， B．， C．6，4 D．，4
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．设该方程的两个实数根为和，由根与系数的关系得，，，将代入即可求解．
【详解】解： 设关于的一元二次方程实数根为和，
则：，，
，解得，
，解得，
故选：D．
7．（本题3分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（ ）
A．若是方程的解，则
B．若，则方程必有两个不相等的实数根
C．若，则方程必有两个不相等的实根
D．若，则方程必有两个不相等的实数根
【答案】B
【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根，方程没有实数根．
根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．
【详解】解：、将代入方程可得：，
∴本选项说法正确，不符合题意；
、若，则方程为，
∴，
∴程必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意；
、∵，
∴，
∴方程必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意；
、∵方程中，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意；
故选：．
8．（本题3分）（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程，下列说法：
①若，则方程一定有两个不相等的实数根；
②若，则方程没有实数根；
③若n是方程的一个根，则；
④若是方程的一个根，则是方程
的一个根．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②④
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识，证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或，即可判断③；由题意可得，即可判断④．
【详解】解：①对于方程，
，
若，则，
则，
即，
∴方程一定有两个不相等的实数根；故选项正确；
②由①可知，，
若，则，即，则，
∴，
∴方程没有实数根；故②正确；
③若n是方程的一个根，则，即，
则或，即或，故选项错误；
④若是方程的一个根，
则，
∵，
∴两边同除以得，
，
即，
∴是方程的一个根．
故④正确；
综上可知，①②④正确，
故选：D
9．（本题3分）（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（ ）
A．，4 B．，1 C．，4 D．，1
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程根的定义和根与系数关系，一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，求出正根为1，的另一个根为4，利用根与系数关系得到，方程有一个正根为1，设另一个根为m，利用根与系数关系得到，即可求出另一个根为．
【详解】解：∵一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，
∴，
解得，
∴正根为1，
∵的另一个根为4，
∴，
∴，
∵方程有一个正根为1，设另一个根为m，
∴则，
∴，
∴另一个根为，
∴的两个根分别为1，，
故选：D．
10．（本题3分）（23-24八年级下·浙江温州·期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（ ）
A．8 B．5 C．2.5 D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程等．根据题意可得的长，继而表示出，再利用面积比列出方程解出即可．
【详解】解：∵，
由题意知：，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：或，
根据题意，
∴，
经检验，是原方程的解；
故选：C．
二、填空题( 本题有8小题，每小题3分，共24分)
11．（本题3分）（24-25九年级上·湖南娄底·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程定义，由定义得即可求解；理解一元二次方程的一般形式为（）及各项是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
故答案：．
12．（本题3分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解．由题意易得，然后整体代入求解即可．
【详解】解：由题意得：，即，
∴；
故答案为：．
13．（本题3分）（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，根据题意可得，，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
14．（本题3分）（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）如果，那么 ．
【答案】/0.5
【分析】此题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则．
令，则原方程可化为，然后展开利用因式分解法求解即可．
【详解】解：令，
则原方程可化为，
整理得，，
或
解得或m，
∴或（无意义，舍去），
故答案为：．
15．（本题3分）（24-25九年级上·河北廊坊·期中）定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根为和，
∴，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：0 ．
16．（本题3分）（24-25九年级上·浙江台州·期中）小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形．
（1）当围成的菜园面积为时，的长为 ；
（2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为 ．
【答案】 6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元二次不等式的应用
（1）设，则，根据围成的菜园面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）根据围成面积比大的菜园，可列出关于a的一元二次不等式，解之可得出a的取值范围，结合墙可利用的最大长度为，即可确定a的取值范围．
【详解】解：（1）设，则，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴当围成的菜园面积为时，的长为，
故答案为：6；
（2）根据题意得：，
即，
解得：，
又∵墙可利用的最大长度为，
∴，
∴a的范围为．
故答案为：．
17．（本题3分）（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形和一元二次方程结合．熟练掌握三角形三边关系，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式与根和关系是解决问题的关键．
根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到，把两根之积与两根之和代入的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围．
【详解】解：由根与系数的关系可得：，，
又由三角形的三边关系可得：，
∴，
即，
解得：；
∵方程有两个实根，
∴，
解得．
∴．
故答案为：．
18．（本题3分）（23-24八年级下·浙江宁波·期末）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，解题的关键是求出．
根据一元二次方程有两个不同的实数根，可得，从而得出，则，即可求出，再根据即可求出的取值范围．
【详解】解：由题意可知：，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三 、解答题(本题共6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤等过程)
19．（本题8分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，
（1）采用因式分解法作答即可；
（2）两边同时开方转化为一元一次方程，即可作答．
【详解】（1），
方程左边分解因式，得
所以或，
解得，；
（2），
开平方，得，或，
解得，．
20．（本题6分）（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根；
(2)当时，判断方程两根是否都在与0之间，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，方程的两根都在与0之间，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程．
（1）计算判别式得到 ，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）利用因式分解法求出方程的两个根，，根据得出，进而得出当时，方程的两根都在与0之间，．
【详解】（1）证明：
无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根
（2），
，
∴，
，
当时，方程的两根都在与0之间．
21．（本题6分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程．
【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根，
，
∴
解得：．
（2）解：原式
∴
∴
∴
∴（与相矛盾，故舍去），
22．（本题8分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x的一元二次方程，其中m为常数．
(1)若是方程的一个根，求m的值；
(2)当时，求该方程的根；
(3)若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【答案】(1)
(2)，；
(3)；．
【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）将代入原方程即可求出的值；
（2）根据公式法即可求出方程的根；
（3）根据根的判别式求求出的取值范围，再代入方程求解即可．
【详解】（1）解：是该方程的一个根，
，
解得：；
（2）当时，原方程为，
，
或，
，；
（3）方程有实数根，
，
解得，
为正整数，
，
原方程为，
，
．
23．（本题8分）（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．
(1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长．
(2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)矩形种植园一边的长15米
(2)不能围成面积为的矩形种植园
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和一元二次方程的应用，根据题意，列出等量关系式，然后再求解即可得出结果，理解题意是解题关键．
（1）方案1：设的长为x米，根据题意得出面积的等量关系式，然后求解即可；
（2）方案2：设的长为x米，然后确定相应面积关系式求解即可；
【详解】（1）解：设的长为x米，
则，
解得： ．
∵ ，
∴，
∴舍去， ．
答：矩形种植园一边的长15米．
（2）解：设的长为x米，
则 ， 化简得，
，
∴不能围成 ，
答：不能围成面积为的矩形种植园．
24．（本题10分）（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）根据以下销售情况，解决任务：
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲，乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
销售情况 甲店：每天可售出25件，每件盈利40元； 乙店：每天可售出40件，每件盈利30元．
市场调查 经过调查发现，每件衬衫每降价1元，甲，乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元．
任务解决
任务1 甲店每天的销售量______（用含有a的代数式表示） 乙店每天的销售量______（用含有b的代数式表示）
任务2 若总公司规定两家分店下降的价格必须相等，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元．
【答案】任务1：件，件 任务2：元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
任务1：由每件衬衫每降价元，甲、乙两家店一天都可多售出件，即可得出结论；
任务2：设每件衬衫下降x元时，两家分店一天的盈利和为元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：任务1：甲店每天的销售量为：件，
乙店每天的销售量为件，
任务2：设两家分店下降的价格为元，列方程得：
，
解得：，（不符合实际，舍去），
答：两家分店下降的价格为元．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2024-2025学年浙江八年级数学下第二章《一元二次方程》常考题
请同学们注意：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分，考试时间为100分钟。
2.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
3.考试结束后，只需上交答题卷。
祝同学们取得成功！
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题3分）（24-25八年级上·浙江·假期作业）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）若一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）关于的一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）（23-24九年级上·浙江台州·期末）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（ ）
A．6， B．， C．6，4 D．，4
7．（本题3分）（23-24八年级下·浙江台州·期末）对于一元二次方程，下列说法不正确的是（ ）
A．若是方程的解，则
B．若，则方程必有两个不相等的实数根
C．若，则方程必有两个不相等的实根
D．若，则方程必有两个不相等的实数根
8．（本题3分）（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x的一元二次方程，下列说法：
①若，则方程一定有两个不相等的实数根；
②若，则方程没有实数根；
③若n是方程的一个根，则；
④若是方程的一个根，则是方程
的一个根．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②④
9．（本题3分）（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两个根分别为（ ）
A．，4 B．，1 C．，4 D．，1
10．（本题3分）（23-24八年级下·浙江温州·期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程，按照图1，构造图2，在中，，连接，若，则m的值为（ ）
A．8 B．5 C．2.5 D．
二、填空题( 本题有8小题，每小题3分，共24分)
11．（本题3分）（24-25九年级上·湖南娄底·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是 ．
12．（本题3分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为 ．
13．（本题3分）（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是 ．
14．（本题3分）（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）如果，那么 ．
15．（本题3分）（24-25九年级上·河北廊坊·期中）定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ．
16．（本题3分）（24-25九年级上·浙江台州·期中）小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形．
（1）当围成的菜园面积为时，的长为 ；
（2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为 ．
17．（本题3分）（23-24八年级下·浙江衢州·期末）的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ．
18．（本题3分）（23-24八年级下·浙江宁波·期末）关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是
三 、解答题(本题共6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤等过程)
19．（本题8分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）解方程：
(1)； (2)．
20．（本题6分）（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等实数根；
(2)当时，判断方程两根是否都在与0之间，并说明理由．
21．（本题6分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值．
22．（本题8分）（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x的一元二次方程，其中m为常数．
(1)若是方程的一个根，求m的值；
(2)当时，求该方程的根；
(3)若方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
23．（本题8分）（23-24八年级下·浙江衢州·期末）实验基地有一长为10米的墙，研究小组想利用墙和长37米的篱笆，在前面的空地围出一个矩形种植园，且在墙对面的篱笆上开一个宽为1米的门．
(1)小徐按图1的方案围成矩形种植园（为墙的一部分），当矩形种植园的面积为时，求出矩形种植园一边 的长．
(2)小祝按照图2的方案围成矩形种植园（墙为边 的一部分），能否围成面积为 的矩形种植园，若能，请求出矩形种植园的一组邻边长；若不能，请说明理由．
24．（本题10分）（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）根据以下销售情况，解决任务：
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲，乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
销售情况 甲店：每天可售出25件，每件盈利40元； 乙店：每天可售出40件，每件盈利30元．
市场调查 经过调查发现，每件衬衫每降价1元，甲，乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元．
任务解决
任务1 甲店每天的销售量______（用含有a的代数式表示） 乙店每天的销售量______（用含有b的代数式表示）
任务2 若总公司规定两家分店下降的价格必须相等，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元．
试卷第1页，共3页
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