【培优卷】浙教版（2024）七上 6.8 余角和补角 同步练习
一、选择题
1． 下列说法正确的是 ( )
A．一个角的补角一定大于这个角
B．锐角和钝角互补
C．若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互余
D．如果互补的两个角相等，那么这两个角都是 90°
2．如图，O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分∠AOB，OE 在∠BOC内，且 有下列结论：①∠BOD=30°；②射线OE 平分∠AOC；③图中与∠BOE 互余的角有2个；④图中互补的角有6对。其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知∠α+∠B=90°，∠A+∠B=90°，可得∠α=∠A，依据是（ ）.
A．同角的补角相等 B．同角的余角相等
C．同角的对顶角相等 D．同角的同位角相等
4．（2024七下·茂名期末）如图，点在直线上，，下列说法错误的是（ ）
A． B．与互余
C．与互补 D．与互补
5．两个长方形的位置如图所示． 若 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022七上·绵阳期末）在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2020七上·海曙期末）如图，已知A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A． B． C． D．∠2-∠1
8．（2023七上·石家庄期中）已知三条射线OA、OB、OC，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称OA、OB、OC组成的图形为“角分图形”.
如图（1），当OB平分时，图（1）为角分图形.
如图（2），点O是直线MN上一点，，射线OM绕点O以每秒的速度顺时针旋转至，设时间为，当t为何值时，图中存在角分图形.
小明认为 小亮认为
你认为正确的答案为（ ）
图（1） 图（2）
A．小明 B．小亮
C．两人合在一起才正确 D．两人合在一起也不正确
二、填空题
9．有下列说法：①角的两边是两条射线；②角的两边可以一样长，也可以一长一短；③延长射线OM；④平角是一条直线，周角是一条射线；⑤线段、射线都是直线的一部分；⑥锐角一定小于它的余角；⑦一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90°；⑧若∠A+∠B+∠C=180°，则这三个角互补；⑨若AB=BC，则B 是线段AC 的中点。其中正确的是 (填序号)。
10．如图，已知∠AOB=90°，OC是∠AOB 内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，有下列结论：①∠COD =∠BOE. ②∠COE =3∠BOD.③∠BOE=∠AOC.④∠AOC 与∠BOD 互余.其中正确的是 (填序号).
11．（2023七上·芙蓉期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①．②．③．④．其中正确的是 ．
三、解答题
12．（2020七上·乌鲁木齐期末）如图，点A、O、B在一条直线上， ， ，OD是 的平分线.
（1）求 和 的度数.
（2）OE是 的平分线吗？为什么？
（3）请直接写出 的余角为 ，补角为 .
13．（2024七上·敦化期末）已知点B、O、C在同一条直线上，∠AOB=α（0°＜α＜60°）.
（1）如图①，若∠AOD= 90°，∠COD = 65°，则α = ；
（2）如图②，若∠BOD = 90°，∠BOE = 50°，OA平分∠DOE，求α；
（3）如图③，若∠AOD与∠AOB互余，∠BOE也与∠AOB互余，请在图③中画出 符合条件的射线OE加以计算后，直接写出∠DOE的度数（用含α的式子表示）.
14．（2024七上·长沙期末）如图，已知点O为直线AB上一点，，，OE平分.
（1）求的度数；
（2）如图，若，求的度数.
15．（2024七上·杭州月考）已知∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝4∠BOC．射线OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，OE平分∠DOC．
（1）如图1，射线OD在∠AOC的内部．
①求∠BOC的度数；
②若∠EOC与∠DOB互余，求∠EOC的度数；
（2）若∠AOD＝n°（0＜n＜60），直接写出∠BOE的度数（用含n的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：A、90°角的补角等于这个角，故错误；
B、95°角没有余角，故错误；
C、虽然∠1+∠2+∠3=90°，但∠1，∠2，∠3是3 个角，故不能说∠1，∠2，∠3互余，故错误；
D、如果一个角有余角，那么这个角的补角与它的余角的差为 90°，正确.；
故答案选：D.
【分析】根据余角和补角的概念和性质解答即可.
2．【答案】D
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；余角；补角
【解析】【解答】解：由题意设∠BOE=x，∠EOC=3x，
∵∠DOE＝60°，OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD =60°-x，
根据题意得：2（60°-x）+4x=180°，解得x=30°，
∴∠EOC=∠AOE＝90°，∠BOE＝30°，
∴∠BOD=∠AOD＝30°，故①正确；
∵∠BOD＝∠AOD＝30°，
∴射线OE平分∠AOC，故②正确；
∵∠BOE＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠AOB+∠BOE＝90°，∠BOE+∠DOE＝90°，
∴图中与∠BOE互余的角有2个，故③正确；
∵∠AOE＝∠EOC＝90°，
∴∠AOE+∠EOC＝180°，
∵∠EOC＝90°，∠DOB＝30°，∠BOE＝30°，∠AOD＝30°，
∴∠COD+∠AOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOE＝180°，∠COB+∠AOB＝180°，∠COB+∠DOE＝180°，
∴图中互补的角有6对，故④正确，
正确的有4个，
故答案为：D
【分析】根据题意首先计算出∠AOD的度数，再计算出∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再分析即可．
3．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵ ∠α+∠B=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠α=∠A（同角的余角相等）
故答案为：B
【分析】根据两组角的和都是90°，可知∠α和∠A都是∠B的余角，从而可得依据。
4．【答案】D
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：∵∠COB=∠EOD=90°，
∴∠1+∠COD=∠2+∠COD=90°，
∴∠1=∠2，A选项正确；
∵∠AOE+∠1=90°，
∴∠AOE+∠2=90°，即∠AOE与∠2互余，B选项正确；
∵∠AOD+∠2=180°，
又∵∠1=∠2，
∴∠AOD+∠1=180°，即∠AOD与∠1互补，C选项正确；
无法判断∠AOD与∠COD是否互余，D选项错误；
故答案为：D．
【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得解。其中，两个角的和等于90°，则这两个角互余；两个角的和等于180°，则这两个角互补。
5．【答案】C
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1的邻补角+∠2的余角=90°，∠1=，
∴180°-+90°-∠2=90°，
∴∠2=180°-.
故答案为：C.
【分析】根据邻补角的定义可知：∠1的邻补角=180°-；由余角的定义可知：∠2的余角=90°-∠2。由已知：两个长方形的位置如图所示，可知：∠1的邻补角+∠2的余角=90°，所以180°-+90°-∠2=90°，所以可以得到：∠2=180°-.
6．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ 与 互补，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的平分线，
①当点B、O、C三点共线时，
则 ；
∵ ，
∴点B、O、C三点共线时，不符合题意；
②当点B、O、C三点不共线时， ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
③当点B、O、C三点不共线时， ，如下如：
则 ，
∵ ，
∴ ；
综上可得： .
故答案为：D.
【分析】此题分三种情况讨论：①当点B、O、C三点共线时，②当点B、O、C三点不共线时， 且∠AOC＜∠AOB，③当点B、O、C三点不共线时，且∠AOC＞∠AOB，分别结合补角的定义及角平分线的定义，由角的和差即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1的余角为90°-∠1，
∠1=180°-∠2，
∴90°-∠1=90°-（180°-∠2）
=∠2-90°
=∠2-（∠1+∠2）
=∠2-∠1
=（∠2-∠1），
故答案为：C .
【分析】根据余角的性质，先把∠1的余角表示出来，然后根据∠1和∠2互补的关系，把∠1用含∠2的代数式表示，再把90°转换成∠1和∠2之和的一半即可得出结果.
8．【答案】D
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵ ∠DON=70°
∴ ∠DOM=110°
设射线OM的运动时间为t秒，则射线OM运动的∠M1OM=5°t.
当OD平分∠NOM1时，
∴ ∠DOM1=∠DON=70°
∴ ∠M1OM=40°
∴ 5°t=40°
∴ t=8
当OM1平分∠DON时，
∴ ∠DOM1=35°
∴ ∠M1OM=145°
∴ 5°t=145°
∴ t=29
综上，当t=8秒或29秒时，图中存在角分图形。
故小明的答案不完全对，小亮的答案不对。
故答案为：D
【分析】本题考查角度的计算和角平分线的应用。根据角分图形的定义，可讨论当OD为角平分线、OM1为角平分线两种情况分别计算。
9．【答案】①⑤⑦
【知识点】角的概念及表示；线段的中点；余角；补角
【解析】【解答】解： ①角的两边是两条射线，正确；
②角的两边是射线，射线没有长度，没有办法比较大小，错误；
③射线向一方向无限延伸，不能延长，只能反向延长，错误；
④平角的两边成一条直线， 周角是一条射线 ，错误；
⑤线段、射线都是直线的一部分，正确；
⑥锐角不一定小于它的余角，比如80°的角的余角是10°角，错误；
⑦一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90°，正确；
⑧补角是两个角之间的关系，原说法错误；
⑨若AB=BC，则B 是线段AC 的中点，错误，因为A、B、C三点不一定在同一直线上.
故答案为：①⑤⑦
【分析】根据角的定义，性质，线段中点的定义等，对选项逐个判断即可.
10．【答案】①②④
【知识点】角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：∵OB，OD分别平分∠COD与∠BOE，
∴∠COB=∠BOD=∠DOE.
∴∠COD=∠BOE，即①正确；
∴∠COE=∠COB+∠BOD+∠DOE=3∠BOD，即②正确；
当∠BOC=30°，此时∠AOC=60°，∠BOE=2×30°=60°，才有∠AOC=∠BOE，但OC是∠AOB内任意一条射线，即∠AOC并非一定会等于∠BOE，即③不正确；
∵∠BOC与∠AOC互余，且∠BOC=∠BOD，
∴∠AOC与∠BOD互余，即④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据角平分线的定义依次判断即可求解.
11．【答案】①②④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，平分，平分，
，
，
，
②中，，，
，，，故②正确；
①中，由，故①正确；
③中，由，故③错误；
④中，设，则，，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】本题考查了角平分线的定义，余角和补角，几何图中角的计算，根据角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义逐个进行判断，最后得出答案．
12．【答案】（1） ， ，
；
是 的平分线，
，
；
（2）OE是 的平分线，理由如下：
，
，
是 的平分线；
（3） 和 ；
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；角平分线的概念
【解析】【解答】 的余角为 和 ，补角为 .
故答案为 和 ； .
【分析】（1）根据 代入数据进行计算即可得解；根据角平分线的定义可得 ，然后根据 代入数据进行计算即可得解；（2）根据邻补角求出 的度数，即可进行判断；（3）根据 的度数确定其余角和补角.
13．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
（3）或
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOD=90°，∠COD=65°，
∴∠AOB=180°-∠AOD-∠COD=25°，
故答案为：25°；
（3）①当在的上方时，如图，
∵与互余，也与互余，
∴，
∴；（射线画对1分，结果1分）
②当在的下方时，如图，
∵与互余，也与互余，
∴，
∴（射线画对1分，结果1分）
综上所述，的度数为：或.
【分析】（1）根据余角与补角的定义进行运算即可；
（2）由已知条件可求得∠DOE=140°，再由角平分线的定义可求得∠AOE=70°，从而可求∠AOB的大小；
（3）分两种情况进行讨论：①OE在OB的上方；②OE在OB的下方，结合图形进行求解即可.
14．【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，
（2）解：，OE平分，
，
又，，
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据余角的定义求出∠DOE=28°，在根据角平分线的定义求出∠BOD，再利用补角计算即可；
（2）先根据角平分线的定义以及，求出∠AOF=84°，再利用角的和差计算即可.
15．【答案】（1）解：①∵∠AOB=75°，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC=4∠BOC，
∴5∠BOC=∠AOB，
∴；
②∵OE平分∠DOC，
∴∠EOC=∠DOE，
∴∠DOB=2∠EOC+∠COB，
∵∠EOC与∠DOB互余，
∴∠DOB+∠EOC=90°，
∴2∠EOC+∠COB+∠EOC=90°，
∴3∠EOC+∠COB=90°，
∵由①得∠COB=15°，
∴3∠EOC+15°=90°，
∴∠EOC=25°.
（2）解：当射线OD在∠AOC的内部，
∵∠AOB=75°，∠AOD=n°（0＜n＜60），由（1）得∠BOC=15°，
∴∠DOC=∠AOB-∠AOD-∠BOC=75-n-15=（60-n）°，
∵OE平分∠DOC，
∴
∴；
当射线OD在∠AOC的外部，
∵∠AOB=75°，∠AOD=n°（0＜n＜60），由（1）得∠BOC=15°，
∴∠DOC=∠AOB+∠AOD-∠BOC=75+n-15=（60+n）°，
∵OE平分∠DOC，
∴
∴
综上所述，∠BOE的度数为或.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）①根据已知条件∠AOC=4∠BOC．可知5∠BOC=∠AOB，计算出∠BOC即可；
②根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠EOC=∠DOE，推得∠DOB=2∠EOC+∠COB，根据若两角之和满足90°，那么这两个角互为余角可得∠DOB+∠EOC=90°，推得3∠EOC+∠COB=90°，即可求解；
（2）分情况讨论：当射线OD在∠AOC的内部，求出∠EOC，根据∠BOE=∠EOC+∠COB即可求解；当射线OD在∠AOC的外部，求出∠EOC，根据∠BOE=∠EOC+∠COB即可求解.
1 / 1【培优卷】浙教版（2024）七上 6.8 余角和补角 同步练习
一、选择题
1． 下列说法正确的是 ( )
A．一个角的补角一定大于这个角
B．锐角和钝角互补
C．若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互余
D．如果互补的两个角相等，那么这两个角都是 90°
【答案】D
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：A、90°角的补角等于这个角，故错误；
B、95°角没有余角，故错误；
C、虽然∠1+∠2+∠3=90°，但∠1，∠2，∠3是3 个角，故不能说∠1，∠2，∠3互余，故错误；
D、如果一个角有余角，那么这个角的补角与它的余角的差为 90°，正确.；
故答案选：D.
【分析】根据余角和补角的概念和性质解答即可.
2．如图，O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分∠AOB，OE 在∠BOC内，且 有下列结论：①∠BOD=30°；②射线OE 平分∠AOC；③图中与∠BOE 互余的角有2个；④图中互补的角有6对。其中正确的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；余角；补角
【解析】【解答】解：由题意设∠BOE=x，∠EOC=3x，
∵∠DOE＝60°，OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD =60°-x，
根据题意得：2（60°-x）+4x=180°，解得x=30°，
∴∠EOC=∠AOE＝90°，∠BOE＝30°，
∴∠BOD=∠AOD＝30°，故①正确；
∵∠BOD＝∠AOD＝30°，
∴射线OE平分∠AOC，故②正确；
∵∠BOE＝30°，∠AOB＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠AOB+∠BOE＝90°，∠BOE+∠DOE＝90°，
∴图中与∠BOE互余的角有2个，故③正确；
∵∠AOE＝∠EOC＝90°，
∴∠AOE+∠EOC＝180°，
∵∠EOC＝90°，∠DOB＝30°，∠BOE＝30°，∠AOD＝30°，
∴∠COD+∠AOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOE＝180°，∠COB+∠AOB＝180°，∠COB+∠DOE＝180°，
∴图中互补的角有6对，故④正确，
正确的有4个，
故答案为：D
【分析】根据题意首先计算出∠AOD的度数，再计算出∠AOE、∠EOC、∠BOE、∠BOD的度数，然后再分析即可．
3．如图，已知∠α+∠B=90°，∠A+∠B=90°，可得∠α=∠A，依据是（ ）.
A．同角的补角相等 B．同角的余角相等
C．同角的对顶角相等 D．同角的同位角相等
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵ ∠α+∠B=90°，∠A+∠B=90°，
∴∠α=∠A（同角的余角相等）
故答案为：B
【分析】根据两组角的和都是90°，可知∠α和∠A都是∠B的余角，从而可得依据。
4．（2024七下·茂名期末）如图，点在直线上，，下列说法错误的是（ ）
A． B．与互余
C．与互补 D．与互补
【答案】D
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：∵∠COB=∠EOD=90°，
∴∠1+∠COD=∠2+∠COD=90°，
∴∠1=∠2，A选项正确；
∵∠AOE+∠1=90°，
∴∠AOE+∠2=90°，即∠AOE与∠2互余，B选项正确；
∵∠AOD+∠2=180°，
又∵∠1=∠2，
∴∠AOD+∠1=180°，即∠AOD与∠1互补，C选项正确；
无法判断∠AOD与∠COD是否互余，D选项错误；
故答案为：D．
【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得解。其中，两个角的和等于90°，则这两个角互余；两个角的和等于180°，则这两个角互补。
5．两个长方形的位置如图所示． 若 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1的邻补角+∠2的余角=90°，∠1=，
∴180°-+90°-∠2=90°，
∴∠2=180°-.
故答案为：C.
【分析】根据邻补角的定义可知：∠1的邻补角=180°-；由余角的定义可知：∠2的余角=90°-∠2。由已知：两个长方形的位置如图所示，可知：∠1的邻补角+∠2的余角=90°，所以180°-+90°-∠2=90°，所以可以得到：∠2=180°-.
6．（2022七上·绵阳期末）在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ 与 互补，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的平分线，
①当点B、O、C三点共线时，
则 ；
∵ ，
∴点B、O、C三点共线时，不符合题意；
②当点B、O、C三点不共线时， ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
③当点B、O、C三点不共线时， ，如下如：
则 ，
∵ ，
∴ ；
综上可得： .
故答案为：D.
【分析】此题分三种情况讨论：①当点B、O、C三点共线时，②当点B、O、C三点不共线时， 且∠AOC＜∠AOB，③当点B、O、C三点不共线时，且∠AOC＞∠AOB，分别结合补角的定义及角平分线的定义，由角的和差即可得出答案.
7．（2020七上·海曙期末）如图，已知A，O，B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）
A． B． C． D．∠2-∠1
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1的余角为90°-∠1，
∠1=180°-∠2，
∴90°-∠1=90°-（180°-∠2）
=∠2-90°
=∠2-（∠1+∠2）
=∠2-∠1
=（∠2-∠1），
故答案为：C .
【分析】根据余角的性质，先把∠1的余角表示出来，然后根据∠1和∠2互补的关系，把∠1用含∠2的代数式表示，再把90°转换成∠1和∠2之和的一半即可得出结果.
8．（2023七上·石家庄期中）已知三条射线OA、OB、OC，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称OA、OB、OC组成的图形为“角分图形”.
如图（1），当OB平分时，图（1）为角分图形.
如图（2），点O是直线MN上一点，，射线OM绕点O以每秒的速度顺时针旋转至，设时间为，当t为何值时，图中存在角分图形.
小明认为 小亮认为
你认为正确的答案为（ ）
图（1） 图（2）
A．小明 B．小亮
C．两人合在一起才正确 D．两人合在一起也不正确
【答案】D
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵ ∠DON=70°
∴ ∠DOM=110°
设射线OM的运动时间为t秒，则射线OM运动的∠M1OM=5°t.
当OD平分∠NOM1时，
∴ ∠DOM1=∠DON=70°
∴ ∠M1OM=40°
∴ 5°t=40°
∴ t=8
当OM1平分∠DON时，
∴ ∠DOM1=35°
∴ ∠M1OM=145°
∴ 5°t=145°
∴ t=29
综上，当t=8秒或29秒时，图中存在角分图形。
故小明的答案不完全对，小亮的答案不对。
故答案为：D
【分析】本题考查角度的计算和角平分线的应用。根据角分图形的定义，可讨论当OD为角平分线、OM1为角平分线两种情况分别计算。
二、填空题
9．有下列说法：①角的两边是两条射线；②角的两边可以一样长，也可以一长一短；③延长射线OM；④平角是一条直线，周角是一条射线；⑤线段、射线都是直线的一部分；⑥锐角一定小于它的余角；⑦一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90°；⑧若∠A+∠B+∠C=180°，则这三个角互补；⑨若AB=BC，则B 是线段AC 的中点。其中正确的是 (填序号)。
【答案】①⑤⑦
【知识点】角的概念及表示；线段的中点；余角；补角
【解析】【解答】解： ①角的两边是两条射线，正确；
②角的两边是射线，射线没有长度，没有办法比较大小，错误；
③射线向一方向无限延伸，不能延长，只能反向延长，错误；
④平角的两边成一条直线， 周角是一条射线 ，错误；
⑤线段、射线都是直线的一部分，正确；
⑥锐角不一定小于它的余角，比如80°的角的余角是10°角，错误；
⑦一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90°，正确；
⑧补角是两个角之间的关系，原说法错误；
⑨若AB=BC，则B 是线段AC 的中点，错误，因为A、B、C三点不一定在同一直线上.
故答案为：①⑤⑦
【分析】根据角的定义，性质，线段中点的定义等，对选项逐个判断即可.
10．如图，已知∠AOB=90°，OC是∠AOB 内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，有下列结论：①∠COD =∠BOE. ②∠COE =3∠BOD.③∠BOE=∠AOC.④∠AOC 与∠BOD 互余.其中正确的是 (填序号).
【答案】①②④
【知识点】角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：∵OB，OD分别平分∠COD与∠BOE，
∴∠COB=∠BOD=∠DOE.
∴∠COD=∠BOE，即①正确；
∴∠COE=∠COB+∠BOD+∠DOE=3∠BOD，即②正确；
当∠BOC=30°，此时∠AOC=60°，∠BOE=2×30°=60°，才有∠AOC=∠BOE，但OC是∠AOB内任意一条射线，即∠AOC并非一定会等于∠BOE，即③不正确；
∵∠BOC与∠AOC互余，且∠BOC=∠BOD，
∴∠AOC与∠BOD互余，即④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据角平分线的定义依次判断即可求解.
11．（2023七上·芙蓉期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①．②．③．④．其中正确的是 ．
【答案】①②④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，平分，平分，
，
，
，
②中，，，
，，，故②正确；
①中，由，故①正确；
③中，由，故③错误；
④中，设，则，，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】本题考查了角平分线的定义，余角和补角，几何图中角的计算，根据角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义逐个进行判断，最后得出答案．
三、解答题
12．（2020七上·乌鲁木齐期末）如图，点A、O、B在一条直线上， ， ，OD是 的平分线.
（1）求 和 的度数.
（2）OE是 的平分线吗？为什么？
（3）请直接写出 的余角为 ，补角为 .
【答案】（1） ， ，
；
是 的平分线，
，
；
（2）OE是 的平分线，理由如下：
，
，
是 的平分线；
（3） 和 ；
【知识点】余角、补角及其性质；角的大小比较；角平分线的概念
【解析】【解答】 的余角为 和 ，补角为 .
故答案为 和 ； .
【分析】（1）根据 代入数据进行计算即可得解；根据角平分线的定义可得 ，然后根据 代入数据进行计算即可得解；（2）根据邻补角求出 的度数，即可进行判断；（3）根据 的度数确定其余角和补角.
13．（2024七上·敦化期末）已知点B、O、C在同一条直线上，∠AOB=α（0°＜α＜60°）.
（1）如图①，若∠AOD= 90°，∠COD = 65°，则α = ；
（2）如图②，若∠BOD = 90°，∠BOE = 50°，OA平分∠DOE，求α；
（3）如图③，若∠AOD与∠AOB互余，∠BOE也与∠AOB互余，请在图③中画出 符合条件的射线OE加以计算后，直接写出∠DOE的度数（用含α的式子表示）.
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
（3）或
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOD=90°，∠COD=65°，
∴∠AOB=180°-∠AOD-∠COD=25°，
故答案为：25°；
（3）①当在的上方时，如图，
∵与互余，也与互余，
∴，
∴；（射线画对1分，结果1分）
②当在的下方时，如图，
∵与互余，也与互余，
∴，
∴（射线画对1分，结果1分）
综上所述，的度数为：或.
【分析】（1）根据余角与补角的定义进行运算即可；
（2）由已知条件可求得∠DOE=140°，再由角平分线的定义可求得∠AOE=70°，从而可求∠AOB的大小；
（3）分两种情况进行讨论：①OE在OB的上方；②OE在OB的下方，结合图形进行求解即可.
14．（2024七上·长沙期末）如图，已知点O为直线AB上一点，，，OE平分.
（1）求的度数；
（2）如图，若，求的度数.
【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，
（2）解：，OE平分，
，
又，，
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据余角的定义求出∠DOE=28°，在根据角平分线的定义求出∠BOD，再利用补角计算即可；
（2）先根据角平分线的定义以及，求出∠AOF=84°，再利用角的和差计算即可.
15．（2024七上·杭州月考）已知∠AOB＝75°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝4∠BOC．射线OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，OE平分∠DOC．
（1）如图1，射线OD在∠AOC的内部．
①求∠BOC的度数；
②若∠EOC与∠DOB互余，求∠EOC的度数；
（2）若∠AOD＝n°（0＜n＜60），直接写出∠BOE的度数（用含n的式子表示）．
【答案】（1）解：①∵∠AOB=75°，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC=4∠BOC，
∴5∠BOC=∠AOB，
∴；
②∵OE平分∠DOC，
∴∠EOC=∠DOE，
∴∠DOB=2∠EOC+∠COB，
∵∠EOC与∠DOB互余，
∴∠DOB+∠EOC=90°，
∴2∠EOC+∠COB+∠EOC=90°，
∴3∠EOC+∠COB=90°，
∵由①得∠COB=15°，
∴3∠EOC+15°=90°，
∴∠EOC=25°.
（2）解：当射线OD在∠AOC的内部，
∵∠AOB=75°，∠AOD=n°（0＜n＜60），由（1）得∠BOC=15°，
∴∠DOC=∠AOB-∠AOD-∠BOC=75-n-15=（60-n）°，
∵OE平分∠DOC，
∴
∴；
当射线OD在∠AOC的外部，
∵∠AOB=75°，∠AOD=n°（0＜n＜60），由（1）得∠BOC=15°，
∴∠DOC=∠AOB+∠AOD-∠BOC=75+n-15=（60+n）°，
∵OE平分∠DOC，
∴
∴
综上所述，∠BOE的度数为或.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）①根据已知条件∠AOC=4∠BOC．可知5∠BOC=∠AOB，计算出∠BOC即可；
②根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠EOC=∠DOE，推得∠DOB=2∠EOC+∠COB，根据若两角之和满足90°，那么这两个角互为余角可得∠DOB+∠EOC=90°，推得3∠EOC+∠COB=90°，即可求解；
（2）分情况讨论：当射线OD在∠AOC的内部，求出∠EOC，根据∠BOE=∠EOC+∠COB即可求解；当射线OD在∠AOC的外部，求出∠EOC，根据∠BOE=∠EOC+∠COB即可求解.
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