平行卷5291123—【作业本】数学九年级下②1.2锐角三角函数的计算（2）
1． 等于（ ）
A． B． C． D．
2．用计算器求下列各锐角的三角函数值(精确到0.0001)，并按从小到大的顺序用“<”连接.
3．（2024·佛山模拟）“醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一．舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”．如图，舞狮者站在梅花桩AB上，AB与“生菜”放置点D的水平距离BC为1.1米，LD=53°．已知该舞狮者采摘距离为1.43米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．
（参考数据：sin53°~0.8，cos53°~0.6，tan53~1.3）
4．求下列三角函数的值（精确到0.0001)：
（1）.
（2）.
（3）.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，DE⊥AC，垂足为点E，连结DC．
（1）若∠A=36°，求∠BCD的度数．
（2）若∠A=30° ，DE+BC=6，求DE和EC的长．
6．如图， 在 处的正东方向有一港口 ． 某巡逻艇从 处沿着北偏东 方向巡逻，到达 处时接到命令， 立刻在 处沿东南方向以 20 海里/时的速度行驶 3 小时到达港口 ．求 间的距离．(结果保留根号)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：cos30°=，
故答案为：D.
【分析】利用特殊角的三角形函数值分析求解即可.
2．【答案】解：∵，
∴.
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】先用计算器求各锐角的三角函数值，并把结果精确到0.0001，然后按从小到大的顺序用“<”进行连接即可.
3．【答案】解：作，垂足为，易知四边形ABCE为矩形．
由题意得，，
在Rt△AED中，，
由于，
所以舞狮者能成功采青.
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】作AE⊥DC，垂足为，易知四边形ABCE为矩形，在Rt△AED中，根据∠D的正弦函数的定义列比例式，可以求出AD的值，与1.43作比较即可.
4．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】计算器—三角函数；近似数与准确数
【解析】【分析】(1)利用特殊锐角的三角函数值，再求近似值；
（2）（3）利用计算器计算，写出计算结果，再近似值.
5．【答案】（1）解：是AB边的中点，
，
，
.
（2）解：∵AD=CD， ∠A=30°
∴，
，
，
∴CD=2DE，
，
，
是等边三角形，
.
又，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD=CD=BD，由等边对等角得∠A=∠DCA=36°，进而根据∠BCD=∠ACB-∠ACD即可求出答案；
（2）由等边对等角得，由含30°角直角三角形的性质得CD=2DE，证明是等边三角形，得出CD=BC=2DE，再结合已知可求出DE、CD得长，最后根据勾股定理即可得解.
6．【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题易知
Rt△ACD中，∠CAD=90°-60°=30°，Rt△CBD中，∠DCB=45°，CB=20×3=60（海里），
∴，
解得CD=CB=，
∴AC=2CD=AD=，
∴AB=AD+DB=海里
答：A、B间距离为海里.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】方位角问题，添加辅助线CD垂直于AB，构造两直角三角形一个含30度锐角，一个是等腰直角三角形，利用两直角三角形的性质及勾股定理可求得AB长.
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1． 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：cos30°=，
故答案为：D.
【分析】利用特殊角的三角形函数值分析求解即可.
2．用计算器求下列各锐角的三角函数值(精确到0.0001)，并按从小到大的顺序用“<”连接.
【答案】解：∵，
∴.
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】先用计算器求各锐角的三角函数值，并把结果精确到0.0001，然后按从小到大的顺序用“<”进行连接即可.
3．（2024·佛山模拟）“醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一．舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”．如图，舞狮者站在梅花桩AB上，AB与“生菜”放置点D的水平距离BC为1.1米，LD=53°．已知该舞狮者采摘距离为1.43米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．
（参考数据：sin53°~0.8，cos53°~0.6，tan53~1.3）
【答案】解：作，垂足为，易知四边形ABCE为矩形．
由题意得，，
在Rt△AED中，，
由于，
所以舞狮者能成功采青.
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】作AE⊥DC，垂足为，易知四边形ABCE为矩形，在Rt△AED中，根据∠D的正弦函数的定义列比例式，可以求出AD的值，与1.43作比较即可.
4．求下列三角函数的值（精确到0.0001)：
（1）.
（2）.
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】计算器—三角函数；近似数与准确数
【解析】【分析】(1)利用特殊锐角的三角函数值，再求近似值；
（2）（3）利用计算器计算，写出计算结果，再近似值.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，DE⊥AC，垂足为点E，连结DC．
（1）若∠A=36°，求∠BCD的度数．
（2）若∠A=30° ，DE+BC=6，求DE和EC的长．
【答案】（1）解：是AB边的中点，
，
，
.
（2）解：∵AD=CD， ∠A=30°
∴，
，
，
∴CD=2DE，
，
，
是等边三角形，
.
又，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD=CD=BD，由等边对等角得∠A=∠DCA=36°，进而根据∠BCD=∠ACB-∠ACD即可求出答案；
（2）由等边对等角得，由含30°角直角三角形的性质得CD=2DE，证明是等边三角形，得出CD=BC=2DE，再结合已知可求出DE、CD得长，最后根据勾股定理即可得解.
6．如图， 在 处的正东方向有一港口 ． 某巡逻艇从 处沿着北偏东 方向巡逻，到达 处时接到命令， 立刻在 处沿东南方向以 20 海里/时的速度行驶 3 小时到达港口 ．求 间的距离．(结果保留根号)
【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，由题易知
Rt△ACD中，∠CAD=90°-60°=30°，Rt△CBD中，∠DCB=45°，CB=20×3=60（海里），
∴，
解得CD=CB=，
∴AC=2CD=AD=，
∴AB=AD+DB=海里
答：A、B间距离为海里.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】方位角问题，添加辅助线CD垂直于AB，构造两直角三角形一个含30度锐角，一个是等腰直角三角形，利用两直角三角形的性质及勾股定理可求得AB长.
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