平行卷5291124—【作业本】数学九年级下②1.1锐角三角函数（2）
1．（2024九上·佛山期中）计算 ．
2．（2016·永州）下列式子错误的是（ ）
A．cos40°=sin50° B．tan15° tan75°=1
C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°
3．（2024九上·桂林期末）计算：．
4．（2024·佛山模拟）“醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一．舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”．如图，舞狮者站在梅花桩AB上，AB与“生菜”放置点D的水平距离BC为1.1米，LD=53°．已知该舞狮者采摘距离为1.43米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．
（参考数据：sin53°~0.8，cos53°~0.6，tan53~1.3）
5．在Rt中，.
（1）求的正弦、余弦值.
（2）求的正切值，你发现了什么
6．（2024九上·成都开学考）如图1，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，，．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，直线交直线于点C，D是上一点，过点D分别作x轴，y轴的垂线交直线于点E，F，求的值；
（3）在（2）条件下，P在直线上，且，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再求解即可.
2．【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；
B、tan15° tan75°=tan15° cot15°=1，式子正确；
C、sin225°+cos225°=1，正确；
D、sin60°= ，sin30°= ，则sin60°=2sin30°错误．
故选D．
【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键．
3．【答案】解：
．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式，进而根据有理数的加减乘除运算即可求解。
4．【答案】解：作，垂足为，易知四边形ABCE为矩形．
由题意得，，
在Rt△AED中，，
由于，
所以舞狮者能成功采青.
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】作AE⊥DC，垂足为，易知四边形ABCE为矩形，在Rt△AED中，根据∠D的正弦函数的定义列比例式，可以求出AD的值，与1.43作比较即可.
5．【答案】（1）解：在 Rt△ABC中，
∵∠C=90° ，AB=13， BC=5，
∴AC= =12．
∴sin A= ，cos A= ，sin B= ，cos B=
（2）解：在Rt△ABC中，
tan A= ，tanB= ．
∵=1
∴发现互余的两个角的正切的积等于1．
【知识点】勾股定理；求正弦值；求余弦值；求正切值
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出AC，进而根据正弦函数、余弦函数的定义即可求解；
（2）先根据正切函数的定义求出tan A= ，tanB= ，进而即可发现互余的两个角的正切的积等于1．
6．【答案】（1）解：，
∴，
∴
设直线解析式为：，
∴，
∴，
∴直线解析式为： ．
（2）解：设，
在中，当时，，当时，，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：过点作于H，过点作轴于T，
设点，
在中，，
在中，，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
解得：，
∵，
∴，
则
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）由勾股定理可求，即点点用待定系数法可求直线AB解析式；
（2）根据直线上点的坐标特点设，根据点的坐标与图形性质可得点E的横坐标为d，点F的纵坐标为-d+4，然后将x=d，与y=-d+4分别代入 算出对应的y与x的值，可求出，进而根据两点间的距离公式表示出DE、DF，据此可得答案；
（3）过点A作AH⊥OP，过点P作PT⊥x轴于点T，根据直线上点的坐标特点设点，在Rt△OTP中，由正切函数定义得∠POT=，由同角的同名三角函数值相等求得，设，则，在Rt△AOH中，用勾股定理建立方程求出x的值，进而求出的长，再利用勾股定理求出的值即可求解．
（1）解：解：，
∴，
∴
设直线解析式为：，
∴，
∴，
∴直线解析式为： ．
（2）解：设，
在中，当时，，当时，，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：过点作于H，过点作轴于T，
设点，
在中，，
在中，，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
解得：，
∵，
∴，
则
∴．
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1．（2024九上·佛山期中）计算 ．
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再求解即可.
2．（2016·永州）下列式子错误的是（ ）
A．cos40°=sin50° B．tan15° tan75°=1
C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°
【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；
B、tan15° tan75°=tan15° cot15°=1，式子正确；
C、sin225°+cos225°=1，正确；
D、sin60°= ，sin30°= ，则sin60°=2sin30°错误．
故选D．
【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键．
3．（2024九上·桂林期末）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式，进而根据有理数的加减乘除运算即可求解。
4．（2024·佛山模拟）“醒狮”是岭南文化名城佛山一块闪亮的招牌，是国家非物质文化遗产之一．舞狮者用狮嘴将悬于高处、寓意着吉祥的“生菜”采摘的过程称为“采青”．舞狮者脚站立的位置与狮嘴可触摸到的位置之间的距离称为“采摘距离”．如图，舞狮者站在梅花桩AB上，AB与“生菜”放置点D的水平距离BC为1.1米，LD=53°．已知该舞狮者采摘距离为1.43米，请利用所学知识判断该舞狮者能否“采青”成功，并说明理由．
（参考数据：sin53°~0.8，cos53°~0.6，tan53~1.3）
【答案】解：作，垂足为，易知四边形ABCE为矩形．
由题意得，，
在Rt△AED中，，
由于，
所以舞狮者能成功采青.
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】作AE⊥DC，垂足为，易知四边形ABCE为矩形，在Rt△AED中，根据∠D的正弦函数的定义列比例式，可以求出AD的值，与1.43作比较即可.
5．在Rt中，.
（1）求的正弦、余弦值.
（2）求的正切值，你发现了什么
【答案】（1）解：在 Rt△ABC中，
∵∠C=90° ，AB=13， BC=5，
∴AC= =12．
∴sin A= ，cos A= ，sin B= ，cos B=
（2）解：在Rt△ABC中，
tan A= ，tanB= ．
∵=1
∴发现互余的两个角的正切的积等于1．
【知识点】勾股定理；求正弦值；求余弦值；求正切值
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出AC，进而根据正弦函数、余弦函数的定义即可求解；
（2）先根据正切函数的定义求出tan A= ，tanB= ，进而即可发现互余的两个角的正切的积等于1．
6．（2024九上·成都开学考）如图1，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，，．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，直线交直线于点C，D是上一点，过点D分别作x轴，y轴的垂线交直线于点E，F，求的值；
（3）在（2）条件下，P在直线上，且，求点P的坐标．
【答案】（1）解：，
∴，
∴
设直线解析式为：，
∴，
∴，
∴直线解析式为： ．
（2）解：设，
在中，当时，，当时，，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：过点作于H，过点作轴于T，
设点，
在中，，
在中，，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
解得：，
∵，
∴，
则
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）由勾股定理可求，即点点用待定系数法可求直线AB解析式；
（2）根据直线上点的坐标特点设，根据点的坐标与图形性质可得点E的横坐标为d，点F的纵坐标为-d+4，然后将x=d，与y=-d+4分别代入 算出对应的y与x的值，可求出，进而根据两点间的距离公式表示出DE、DF，据此可得答案；
（3）过点A作AH⊥OP，过点P作PT⊥x轴于点T，根据直线上点的坐标特点设点，在Rt△OTP中，由正切函数定义得∠POT=，由同角的同名三角函数值相等求得，设，则，在Rt△AOH中，用勾股定理建立方程求出x的值，进而求出的长，再利用勾股定理求出的值即可求解．
（1）解：解：，
∴，
∴
设直线解析式为：，
∴，
∴，
∴直线解析式为： ．
（2）解：设，
在中，当时，，当时，，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：过点作于H，过点作轴于T，
设点，
在中，，
在中，，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
解得：，
∵，
∴，
则
∴．
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