1.1锐角三角函数（1）——浙教版数学九年级下册同步作业
一、基础练习
1．如图 31-3，已知 ．
（1） 如图 ①， 在 中， ， ， 则 ， ， ，
（2） 如图②， 在 中， ， ， 则
（3） 如图③， 在 中， ， ， 则 边上的高为
【答案】（1）10；8；
（2）过点A作AD⊥BC于D
利用正弦的定义可得：
所以
根据正弦的定义可得：
所以
（3）延长BC至点E，过A作AE垂直于BE
设BC边上的高AE为h
利用正切的定义可得：
所以
利用正切的定义可得：
所以
再根据BE-CE=BC
所以
解得：h=
所以BC边上的高为：
【知识点】求正弦值；已知正弦值求边长；求余弦值；已知余弦值求边长；求正切值
【解析】【解答】解：(1)根据余弦的定义可得：
所以
利用勾股定理可得：
利用正弦的定义可得：
利用正切的定义可得：
故答案为：10；8；.
【分析】本题考查锐角三角函数的定义.
（1）根据余弦的定义可得，通过变形可得：，代入数据可求出AB，利用勾股定理可求出AC，利用正弦的定义可求出sinB，利用正切的定义可求出tanB；
（2）过点A作AD⊥BC于D，利用正弦的定义可得，通过变形可得：，代入数据进行计算可求出AD，利用正弦的定义可得：，变形可得：，代入数据进行计算可求出AB；
（3）延长BC至点E，过A作AE垂直于BE，设BC边上的高AE为h，利用正切的定义可求出BE，CE，利用线段的运算可得：BE-CE=BC，所以，解方程可求出h，据此可求出BC边上的高.
2．（2024九上·电白期末）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：因为∠C=90°，由勾股定理可知，
所以，
故选：B.
【分析】先由勾股定理求得AC的边长，再根据正切的定义求出tanB的值.
3．如图，在四边形中，，与全等．
（1）求的长．
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵△ABP≌△PCD，
∴AB=CP=6，BP=CD=2，AP=PD、∠APB=∠CDP．
∵∠PCD=90°，
∴∠CPD+∠CDP=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠APD=90°．
∵
（2）解：过点D作DH⊥AC于点H．
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCH
∵∠B=∠CHD=90°，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；求正切值
【解析】【分析】（1）利用三角形全等求出AP=PD和∠APB=∠CDP，结合∠B=∠DCB=90°，通过等量转化即可求出∠APD是直角，根据勾股定理求出PD=AP的长度，再利用勾股定理求出AD长度；
（2）根据勾股定理求出AC长度，过D作DH⊥AC，根据平行线的性质求出∠CAB=∠DCH，进而证明△ABC∽△CHD，通过相似线段成比例从而求出CH和DH长度，即可知道AH长度，从而求出tan∠DAC的值.
4．如图 31-9， 的顶点是边长为 1 的正方形网格的格点．
（1） 直接写出 和 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）；
（2）解：如图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；求正弦值；求余弦值；求正切值
【解析】【解答】（1）解：
如图，过点作于，于．
在直角中，；
在直角中，；
【分析】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理.
（1）过点作于，于，先利用余弦的定义可得：，代入数据可求出cosB，根据图形可得：，利用正切的定义可得：，代入数据可求出答案.
（2）过点作于，利用三角形的面积计算公式可得：，代入数据进行计算可求出CD，利用正弦的定义可得：，代入数据可求出sinA.
二、综合运用
5．在Rt中，.求.
【答案】解：∵ ∠C=90°，tanA=，
∴ 设BC=5x，则AC=12x，
∴ AB=13x，
∴.
【知识点】已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【分析】根据题意设BC为5x，进而得到AC为12x， AB为13x，再根据三角函数的定义直接计算即可.
6．在Rt中，的对边分别是a，b.
（1）取a=5，b=12，求的正切值.
（2）再取两组不同的a，b的值，求的正切值.
（3）观察(1)，(2)中的计算结果，你发现了什么
【答案】（1）解：∵ ∠C=90°，a=5，b=12，
∴；
（2）解：∵ a=3，b=4，
∴；
（3）解：∵
∴.
【知识点】互余两角三角函数的关系；求正切值
【解析】【分析】（1）根据正切函数直接计算即可；
（2）取不同的值，再计算正切值即可；
（3）两个正切值互为倒数，即可求得.
1 / 11.1锐角三角函数（1）——浙教版数学九年级下册同步作业
一、基础练习
1．如图 31-3，已知 ．
（1） 如图 ①， 在 中， ， ， 则 ， ， ，
（2） 如图②， 在 中， ， ， 则
（3） 如图③， 在 中， ， ， 则 边上的高为
2．（2024九上·电白期末）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，，与全等．
（1）求的长．
（2）求的值．
4．如图 31-9， 的顶点是边长为 1 的正方形网格的格点．
（1） 直接写出 和 的值；
（2）求 的值．
二、综合运用
5．在Rt中，.求.
6．在Rt中，的对边分别是a，b.
（1）取a=5，b=12，求的正切值.
（2）再取两组不同的a，b的值，求的正切值.
（3）观察(1)，(2)中的计算结果，你发现了什么
答案解析部分
1．【答案】（1）10；8；
（2）过点A作AD⊥BC于D
利用正弦的定义可得：
所以
根据正弦的定义可得：
所以
（3）延长BC至点E，过A作AE垂直于BE
设BC边上的高AE为h
利用正切的定义可得：
所以
利用正切的定义可得：
所以
再根据BE-CE=BC
所以
解得：h=
所以BC边上的高为：
【知识点】求正弦值；已知正弦值求边长；求余弦值；已知余弦值求边长；求正切值
【解析】【解答】解：(1)根据余弦的定义可得：
所以
利用勾股定理可得：
利用正弦的定义可得：
利用正切的定义可得：
故答案为：10；8；.
【分析】本题考查锐角三角函数的定义.
（1）根据余弦的定义可得，通过变形可得：，代入数据可求出AB，利用勾股定理可求出AC，利用正弦的定义可求出sinB，利用正切的定义可求出tanB；
（2）过点A作AD⊥BC于D，利用正弦的定义可得，通过变形可得：，代入数据进行计算可求出AD，利用正弦的定义可得：，变形可得：，代入数据进行计算可求出AB；
（3）延长BC至点E，过A作AE垂直于BE，设BC边上的高AE为h，利用正切的定义可求出BE，CE，利用线段的运算可得：BE-CE=BC，所以，解方程可求出h，据此可求出BC边上的高.
2．【答案】B
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：因为∠C=90°，由勾股定理可知，
所以，
故选：B.
【分析】先由勾股定理求得AC的边长，再根据正切的定义求出tanB的值.
3．【答案】（1）解：∵△ABP≌△PCD，
∴AB=CP=6，BP=CD=2，AP=PD、∠APB=∠CDP．
∵∠PCD=90°，
∴∠CPD+∠CDP=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠APD=90°．
∵
（2）解：过点D作DH⊥AC于点H．
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCH
∵∠B=∠CHD=90°，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；求正切值
【解析】【分析】（1）利用三角形全等求出AP=PD和∠APB=∠CDP，结合∠B=∠DCB=90°，通过等量转化即可求出∠APD是直角，根据勾股定理求出PD=AP的长度，再利用勾股定理求出AD长度；
（2）根据勾股定理求出AC长度，过D作DH⊥AC，根据平行线的性质求出∠CAB=∠DCH，进而证明△ABC∽△CHD，通过相似线段成比例从而求出CH和DH长度，即可知道AH长度，从而求出tan∠DAC的值.
4．【答案】（1）；
（2）解：如图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，．
【知识点】勾股定理；求正弦值；求余弦值；求正切值
【解析】【解答】（1）解：
如图，过点作于，于．
在直角中，；
在直角中，；
【分析】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理.
（1）过点作于，于，先利用余弦的定义可得：，代入数据可求出cosB，根据图形可得：，利用正切的定义可得：，代入数据可求出答案.
（2）过点作于，利用三角形的面积计算公式可得：，代入数据进行计算可求出CD，利用正弦的定义可得：，代入数据可求出sinA.
5．【答案】解：∵ ∠C=90°，tanA=，
∴ 设BC=5x，则AC=12x，
∴ AB=13x，
∴.
【知识点】已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【分析】根据题意设BC为5x，进而得到AC为12x， AB为13x，再根据三角函数的定义直接计算即可.
6．【答案】（1）解：∵ ∠C=90°，a=5，b=12，
∴；
（2）解：∵ a=3，b=4，
∴；
（3）解：∵
∴.
【知识点】互余两角三角函数的关系；求正切值
【解析】【分析】（1）根据正切函数直接计算即可；
（2）取不同的值，再计算正切值即可；
（3）两个正切值互为倒数，即可求得.
1 / 1
