【基础版】浙教版（2024）七上第五章 一元一次方程 单元测试
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020七上·江汉期末）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A．＋y＝2 B．x＋2y＝4 C．x2＝2x D．y－3＝0
2．（2016七上·嵊州期末）方程2x=6的解是（ ）
A．4 B． C．3 D．﹣3
3．（2024七上·苍南期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有个人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七上·金沙期末）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．（2024七上·红花岗期末）对等式进行变形，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025七上·宝安期末）如图，天平两边托盘中相同形状的物体的质量相同，且处于平衡状态，每个砝码的质量为10g，设每个球体的质量为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（【奔跑吧期末】假期提升攻略浙教版数学七（上）巩固训练4一元一次方程的应用）垃圾分类，人人有责。某次“垃圾分类”活动共有120名学生参与，将这些学生分成宣传组和劳动组，并要求宣传组的人数是劳动组人数的一半。小马同学利用一元一次方程解决这个问题，设宣传组有x人，依题意列式为 ，将方程补充完整，“____”处应填( )
A． B． C． D．
8．（【奔跑吧期末】假期提升攻略浙教版数学七（上）巩固训练4一元一次方程的应用）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三级阶梯。阶梯电费计价方式如下：
阶梯档次 年用电量 电价(元/千瓦时)
第一阶梯 2760千瓦时及以下部分 0.538
第二阶梯 2760千瓦时至4800千瓦时部分 0.588
第三阶梯 4800千瓦时及以上部分 0.838
已知小聪家去年12月的用电量为500千瓦时，电费为319元，则他家去年全年的用电量为 ( )
A．5250千瓦时 B．5100千瓦时 C．4900千瓦时 D．4850千瓦时
9．下列四幅图中，能表示 的是 ( )
A． B．
C． D．
10．（2024七上·贵州期末）如图是解一元一次方程的过程，“”所代表的内容是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11． 若关于x的方程是一元一次方程，则k= .
12．（2024七上·吴兴期末）已知x=2是一元一次方程4-ax=x的解，则a的值为 ．
13．（2024七上·铁东期末）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为 ．
14．（2025七上·三台期末）若关于x的方程mx﹣＝（x﹣）的解是正整数，则整数m为 ．
15．（2025七上·镇海区期末）一块长方形的瓷砖标准尺寸为，出于美观和保护瓷砖等原因，需要在瓷砖周边以及瓷砖之间的缝隙（缝隙宽度忽略不计）中填入美缝剂，例如图1是由两块瓷砖铺设而成，需要在、、、、处共填入的美缝剂．如果地面按图2所示的方式铺设瓷砖，当铺设5块瓷砖时，需填入 的美缝剂．现在按照相同的方式给一条宽为的走廊地面铺设瓷砖后，共填入了的美缝剂，则该走廊的面积是 ．
16．（广西壮族自治区玉林市北流市2024-2025学年上学期七年级期末考试数学试题）如图，表中给出的是某月的日历表，在该表中任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能是①70；②84；③105；④140，其中正确的可能有 ．（填写序号）
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题10分，第19题7分，第20题10分，第21题10分，第22题7分，第23题8分，第24题8分，共66分）
17．（2025七上·镇海区期末）解下列方程：
（1） ；
（2） ．
18．（2024七上·深圳期末）行列式是一个重要的数学工具，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也经常遇到．行列式运算定义如下：，例如，，解答下列问题．
（1）计算：________；
（2）若，求x的值；
（3）解方程：．
19．（2024七上·浙江期末）综合与探究：
某新建的交通环岛的简化模型如图，试通车前环岛上没有车辆，试通车期间进出该交通环岛的机动车数量如图所示，箭头方向表示车辆的行驶方向，路口的整式表示驶人或驶出的车辆数，如路口AH在此期间驶人辆机动车，驶出2b辆机动车。图中分别表示在试通车期间通过路段EH，AB，CD的所有机动车数量。
（1）若，则：
①当时，求的值；
②用含a，b的代数式表示。
（2）若试通车期间，通过路段AB，EH的车辆数相同，且通过路段CD的车辆比通过路段EH的车辆少10辆，分别求a，b的值。
20．（2024七上·浙江期末）学校一年一度的校园艺术节又来了，七年级的红歌比赛要在12月31日举行，七（1）班和七（2）班共有91名学生（其中七（1）班的人数多于七（2）班，且七（1）班的人数不到50人），他们准备购买统一的演出服装参加比赛，下面是某服装厂给出的服装价格表：
购买服装的套数 1~45套 46~90套 91套及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两个班分别单独购买服装，一共应付5000元，设七（1）班有学生x人
（1）用含x的代数式分别表示七（2）班的人数以及两班各自需要付的钱数
（2）求两班各有多少名学生。
（3）请你为这两个班设计一种更省钱的购买服装的方案，通过计算说明共节省多少元。
21．（【奔跑吧期末】假期提升攻略浙教版数学七（上）巩固训练4一元一次方程的应用）如图，现有 A，B两个圆柱形容器，B容器的底面积为S(cm2)，高为18cm， A 容器的底面积是B容器底面积的2倍，容器内水的高度为10cm。
（1）若把A容器内的水全部倒入B容器中，水 (填“会”或“不会”)溢出。
（2）若(1)中的水会溢出，则当B容器中的水倒满时，求A容器中剩余水的高度；若(1)中的水不会溢出，求此时B器内水面的高度。
（3）在倒水的过程中，当两个容器中水面的高度相同时，求此时容器内水面的高度。
22．（2023七上·凤凰月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．
（1）该车间有男生、女生各多少人？
（2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？
23．（2024七上·义乌月考）根据以下素材，探索完成任务
如何设计宣传牌
素材1 如图1是长方形宣传牌，长330cm，宽220cm，拟在上面书写24个字 （1）中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍 （2）四周空白部分的宽度相等
素材2 如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等
素材3 如图3，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为1：2.
问题解决
任务1 分析数量关系 （1）设四周宽度为xcm，用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽.
任务2 确定四周宽度 （2）求出四周宽度x的值
任务3 确定栏目大小 （3）求每个栏目的水平宽度， （4）求长方形栏目与栏目之间中缝的间距
24．（2024七上·义乌月考）根据以下素材，探索完成任务．
时钟里的数学问题
素材1 时钟是我们口常生活中常用的生活用品。钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图．表盘中1-12匀分布，分针60分钟转动一周是360°，时针60分钟移动一周的是30°，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．
素材2 当时钟显示10：10时（如图）．时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑10：00时，时针与分针所成角度为60°；从10：00到10：10．分针转动的角度为．时针转动的角度为，．因此10点10分时，时针与分针所成角度是115°．
素材3 当时针和分针所成角度180°时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”。如图．当时钟显示6：00时，此时，时针和分针所成角度180°，因此6：00就是一个美妙时刻．
解决问题
任务1 当时钟显示11：10分时，求时针与分针所成角度．
任务2 时钟显示1：00时，时针与分针所成角度为30°，在1：00到1：30的30分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻。
任务3 6：00之后的下一个美妙时刻是 ▲ ，一天24个小时内，共有 ▲ 个美妙时刻。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、
不是整式方程，不是一元一次方程，故选项A与题意不符；
B、x＋2y＝4含有两个未知数，不是一元一次方程，故选项B与题意不符；
C、x2=2x最高次数是二次，不是一元一次方程，故选项C与题意不符；
D、
含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，是一元一次方程，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一元一次方程的定义“含有1个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作一元一次方程”并结合各选项即可判断求解.
2．【答案】C
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：方程2x=6，
解得：x=3，
故选C
【分析】方程两边除以2，将x系数化为1，即可求出解．
3．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元， 设共有个人，
∴可列方程为，
故答案为：A．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据物品的价格是定值，结合" 每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元"列出方程即可．
4．【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由题意，得：且，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据一元一次方程的定义得到且，求出m的值即可解题．
5．【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：由可知：，
．与不同，故该选项不符合题意；
．与相同，故该选项符合题意；
．由得，与不同，故该选项不符合题意；
．得，与不同，故该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据等式基本性质逐项判断即可．
6．【答案】A
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：由题意可列方程：3x+10=40+x
故答案为：A.
【分析】根据题目条件确定球体与砝码的重量，根据天平平衡的条件建立等量关系即可.
7．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设宣传组有x人，
根据题意得，
故选：B.
【分析】设宣传组有x人，根据宣传组人数是劳动组人数的一半列方程即可得到答案.
8．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：0.588x500=294(元)，500x0.838=419(元)
又.294<319<419，
：.小聪家去年前11个月用电量超过2760度，不足4800度，
设小聪家去年12月份用电量超过4800度的部分为x度，则不足4800度的部分为（500-x）度，
根据题意得：0.588(500-x)+0.838x=319，
解得：x=100，
4800+100=4900(度)
即小聪家去年全年用电量为4900度
故答案为：C.
【分析】由题意小聪家去年前11个月用电量超过2760度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程
0.588(500-x)+0.838x=319，解方程即可.
9．【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：，
，
，
A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】把已知方程化简为，对应选项的图形即可得出答案．
10．【答案】A
【知识点】移项的概念及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∴“”所代表的内容是，
故答案为：A．
【分析】利用移项“两边同时加上或者同时减去一个数，结果仍相等”解题即可．
11．【答案】1
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得
解之，得
所以k=1
故答案为：1.
【分析】根据一元一次方程的概念可得，解之可得k=1.
12．【答案】1
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解： x=2是一元一次方程4-ax=x的解，代入得4-2a=2，
解得 a=1.
故答案为：1.
【分析】把x=2代入方程得到关于a的方程，求解即可.
13．【答案】16
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设左下角方格中的数是x，
∵每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，列出关于的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案.
14．【答案】2或3．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以6，消去分数，得到：3mx 10=3x 4，
移项，得到：3mx 3x=6，
提取x的系数，得到：3(m 1)x=6，
由于方程有解，且为正整数，所以：m 1≠0，
然后可以得到：，
因为方程的解是正整数，所以：m 1=1或m 1=2
求解m的值，得到：m =2或3.
故答案为：2或3．
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，先用m的代数式表示x的值，再根据方程的解是正整数解答，解题过程中，首先通过消去分数简化方程，然后通过提取系数、移项等步骤整理方程，最后通过分析解的性质确定m的可能值，这种解题思路和方法在解决类似的一元一次方程问题时具有普遍适用性.
15．【答案】13.2；14.4
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：按图2所示的方式铺设瓷砖，当铺设5块瓷砖时，需填入美缝剂，
观察图形的变化，可知第一块瓷砖需要美缝剂，每增加一块瓷砖，需要美缝剂，
所以当铺设n块瓷砖时，需填入美缝剂，
当，得，
则该走廊的长为，
所以该走廊的面积是，
故答案为：13.2，14.4．
【分析】先得到当铺设5块瓷砖时，需填入美缝剂的数量，然后得到规律，再令求出n的值，即可求出走廊的面积．
16．【答案】①②③
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设框形中间数为，
∴可得到框形的其他值为：，，，，，，
，
当时，解得，能求得这7个数；
当时，解得，能求得这7个数；
当时，解得，能求得这7个数；
当时，解得，20位于第六列，故④不符合条件；
∴正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
【分析】设框形中间数为，可得到框形的其他值为：，，，，，，得出七个数之和为，由此逐个判断即可得到答案．
17．【答案】（1）解：4-x=6-3x
2x=2
x=1
（2）解：2=6-（4x-1）
=7-4x
=9
x
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）运用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解题即可；
（2）运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解题即可.
18．【答案】（1）
（2）解：依题意得，
，
，
；
（3）解：依题意得，
，
，
，
．
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：-10
【分析】（1）根据定义运算结合题意列示计算即可求解；
（2）根据题意列出一元一次方程，进而解方程即可求解；
（3）根据新定义列出一元一次方程，进而解方程即可求解。
（1）解：；
（2）解：依题意得，
，
，
；
（3）解：依题意得，
，
，
，
．
19．【答案】（1）解：)①当x1=10，a=3，b=2时，
x2=10-2×2+(3-2)=7，
x3=7-(3+2)+2×2=6。
②x2=x1-2b+(a-b)
=x1-3b+a=10-3b+a。
x3=x2-(a+b)+2b
=x1-3b+a-(a+b)+2b
=x1-2b
=10-2b。
（2）解：通过路段AB，EH的车辆数相同，
∴x1=x2，
∴由x2=x1-3b+a得-3b+a=0，
∴a=3b。
∵通过路段CD的车辆比通过路段EH的车辆少10辆，
∴x3=x1-10，
∴由x3=x1-2b得x1-10=x1-2b，
∴2b=10，
解得b=5，
∴a=3b=15。
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的其他应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】(1)①根据图分别将x2、x3用含a，b的代数式表示出 来即可；
②将 代入①中的x2、 x3并计算它们的值，再比较 的大小即可；
(2)分别将通过路段AB、EH、CD的车辆数用含 ，a，b的代数式表示出来，再根据题意写出它们之间的等量关系，从而求出a，b的值即可.
20．【答案】（1）解：七(2)班有(91-x)名学生。
∵七(1)班的人数多于七(2)班，且七(1)班的人数不到50人，
∴46≤x<50，91-x≤45。
∴七(1)班共需付50x元，
七(2)班共需付60(91-x)元。
（2）解：50x+60(91-x)=5000，
解得x=46，
则91-x=45。
答：七(1)班有46名学生，七(2)班有45名学生。
（3）解：两班一起买，需付91×40=3640(元)，
5000-3640=1360(元)。
答：共可以节省1360元。
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数混合运算的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）根据题意得到46≤x<50，91-x≤45，然后根据价格表列代数式即可；
（2）根据两班应付5000元，列方程解题即可；
（3）比较两个班级合买服装的总价钱以及按照单价元购买时的总价钱即可得到最省钱的方案.
21．【答案】（1）会
（2）解：设A容器中剩余水的高度为x(cm)。
由题意，得2Sx+18S=20S，
且S>0，
解得x=1。
答：A容器中剩余水的高度为1cm
（3）解：设此时容器内水面的高度为y(cm)。
由题意，得2Sy+ Sy=20S，
且S>0，
解得 。
答：此时容器内水面的高度为cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：(1)由题意可得：
A容器中水的体积为：10x2S=20S
B容器的容积为：18S，
20S>18S，
∴水会溢出.
故答案为：会
【分析】(1)分别计算出容积中水的体积和B容器的容积，比较即可得到答案；
(2)设A容器中剩余水的高度为x(cm)，由题意得2Sx+18S=20S， 解方程即可；
(3)设此时容器内水面的高度为y(cm)，根据两个容器中的水量之和为20S，列出方程，解方程即可.
22．【答案】（1）解：设该车间有男生x人，则女生人数是人，则
．
解得
则．
答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．
（2）解：设应分配y名工人生产螺丝， 该车间有工人44人 ，则名工人生产螺母，
因为每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个 ，
所以
解得：，
答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答；
（2）首先设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可．
（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则
．
解得
则．
答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．
（2）设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，由题意得：
解得：，
答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．
23．【答案】解：（1）设四周宽度为xcm，
∴设计部分长为：设计部分宽为：
（2）∵设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，
∴，
解得：
∴四周宽度为10cm，
（3）设每个栏目的水平宽度为ycm，每栏竖行两列中间间隔为acm，则横向中间间隔宽度为2acm，
∴
∴
∴每个栏目的水平宽度为100cm，
（4）∵
∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为5cm.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设四周宽度为xcm，进而根据题意表示即可；
（2）根据设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，列出方程：，解此方程即可求解；
（3）设每个栏目的水平宽度为ycm，每栏竖行两列中间间隔为acm，则横向中间间隔宽度为2acm，根据正方形边长相等得到方程：解此方程即可求解；
（4）列出算式，将数值代入计算即可.
24．【答案】解：任务一：
∴当时钟显示11：10分时，时针与分针所成角度为85°.
任务二：设1点x分时，时针与分针垂直，
∴
∴
∴此刻时刻为
任务三：22.
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】
任务三：设再经过y分钟，时针和分针所成角度第一次为180°，
∴
∴
∴6：00之后的下一个美妙时刻是：
设从0：00开始经过m分钟，时针和分针所成角度为180°，
∴
∴
∵
∴
∴
∴n最大为22，
∴一天24个小时内，共有22个美妙时刻，
故答案为：22.
【分析】任务一：利用时针与分针所成角度=30°+分针转过的角度-时针转过的角度，据此即可求解；
任务二：设1点x分时，时针与分针垂直，得到方程解此方程即可求解；
任务三：设再经过y分钟，时针和分针所成角度第一次为180°，则进而可得到6：00之后的下一个美妙时刻，设从0：00开始经过m分钟，时针和分针所成角度为180°，则得到：进而得到据此求出n的取值范围，进而即可求解.
1 / 1【基础版】浙教版（2024）七上第五章 一元一次方程 单元测试
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020七上·江汉期末）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A．＋y＝2 B．x＋2y＝4 C．x2＝2x D．y－3＝0
【答案】D
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、
不是整式方程，不是一元一次方程，故选项A与题意不符；
B、x＋2y＝4含有两个未知数，不是一元一次方程，故选项B与题意不符；
C、x2=2x最高次数是二次，不是一元一次方程，故选项C与题意不符；
D、
含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，是一元一次方程，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一元一次方程的定义“含有1个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作一元一次方程”并结合各选项即可判断求解.
2．（2016七上·嵊州期末）方程2x=6的解是（ ）
A．4 B． C．3 D．﹣3
【答案】C
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：方程2x=6，
解得：x=3，
故选C
【分析】方程两边除以2，将x系数化为1，即可求出解．
3．（2024七上·苍南期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有个人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ 每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元， 设共有个人，
∴可列方程为，
故答案为：A．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据物品的价格是定值，结合" 每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元"列出方程即可．
4．（2024七上·金沙期末）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由题意，得：且，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据一元一次方程的定义得到且，求出m的值即可解题．
5．（2024七上·红花岗期末）对等式进行变形，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：由可知：，
．与不同，故该选项不符合题意；
．与相同，故该选项符合题意；
．由得，与不同，故该选项不符合题意；
．得，与不同，故该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据等式基本性质逐项判断即可．
6．（2025七上·宝安期末）如图，天平两边托盘中相同形状的物体的质量相同，且处于平衡状态，每个砝码的质量为10g，设每个球体的质量为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：由题意可列方程：3x+10=40+x
故答案为：A.
【分析】根据题目条件确定球体与砝码的重量，根据天平平衡的条件建立等量关系即可.
7．（【奔跑吧期末】假期提升攻略浙教版数学七（上）巩固训练4一元一次方程的应用）垃圾分类，人人有责。某次“垃圾分类”活动共有120名学生参与，将这些学生分成宣传组和劳动组，并要求宣传组的人数是劳动组人数的一半。小马同学利用一元一次方程解决这个问题，设宣传组有x人，依题意列式为 ，将方程补充完整，“____”处应填( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设宣传组有x人，
根据题意得，
故选：B.
【分析】设宣传组有x人，根据宣传组人数是劳动组人数的一半列方程即可得到答案.
8．（【奔跑吧期末】假期提升攻略浙教版数学七（上）巩固训练4一元一次方程的应用）某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三级阶梯。阶梯电费计价方式如下：
阶梯档次 年用电量 电价(元/千瓦时)
第一阶梯 2760千瓦时及以下部分 0.538
第二阶梯 2760千瓦时至4800千瓦时部分 0.588
第三阶梯 4800千瓦时及以上部分 0.838
已知小聪家去年12月的用电量为500千瓦时，电费为319元，则他家去年全年的用电量为 ( )
A．5250千瓦时 B．5100千瓦时 C．4900千瓦时 D．4850千瓦时
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：0.588x500=294(元)，500x0.838=419(元)
又.294<319<419，
：.小聪家去年前11个月用电量超过2760度，不足4800度，
设小聪家去年12月份用电量超过4800度的部分为x度，则不足4800度的部分为（500-x）度，
根据题意得：0.588(500-x)+0.838x=319，
解得：x=100，
4800+100=4900(度)
即小聪家去年全年用电量为4900度
故答案为：C.
【分析】由题意小聪家去年前11个月用电量超过2760度，不足4800度，设小聪家去年12月份用电量超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程
0.588(500-x)+0.838x=319，解方程即可.
9．下列四幅图中，能表示 的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：，
，
，
A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】把已知方程化简为，对应选项的图形即可得出答案．
10．（2024七上·贵州期末）如图是解一元一次方程的过程，“”所代表的内容是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】移项的概念及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∴“”所代表的内容是，
故答案为：A．
【分析】利用移项“两边同时加上或者同时减去一个数，结果仍相等”解题即可．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11． 若关于x的方程是一元一次方程，则k= .
【答案】1
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得
解之，得
所以k=1
故答案为：1.
【分析】根据一元一次方程的概念可得，解之可得k=1.
12．（2024七上·吴兴期末）已知x=2是一元一次方程4-ax=x的解，则a的值为 ．
【答案】1
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解： x=2是一元一次方程4-ax=x的解，代入得4-2a=2，
解得 a=1.
故答案为：1.
【分析】把x=2代入方程得到关于a的方程，求解即可.
13．（2024七上·铁东期末）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为 ．
【答案】16
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设左下角方格中的数是x，
∵每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，列出关于的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案.
14．（2025七上·三台期末）若关于x的方程mx﹣＝（x﹣）的解是正整数，则整数m为 ．
【答案】2或3．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以6，消去分数，得到：3mx 10=3x 4，
移项，得到：3mx 3x=6，
提取x的系数，得到：3(m 1)x=6，
由于方程有解，且为正整数，所以：m 1≠0，
然后可以得到：，
因为方程的解是正整数，所以：m 1=1或m 1=2
求解m的值，得到：m =2或3.
故答案为：2或3．
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，先用m的代数式表示x的值，再根据方程的解是正整数解答，解题过程中，首先通过消去分数简化方程，然后通过提取系数、移项等步骤整理方程，最后通过分析解的性质确定m的可能值，这种解题思路和方法在解决类似的一元一次方程问题时具有普遍适用性.
15．（2025七上·镇海区期末）一块长方形的瓷砖标准尺寸为，出于美观和保护瓷砖等原因，需要在瓷砖周边以及瓷砖之间的缝隙（缝隙宽度忽略不计）中填入美缝剂，例如图1是由两块瓷砖铺设而成，需要在、、、、处共填入的美缝剂．如果地面按图2所示的方式铺设瓷砖，当铺设5块瓷砖时，需填入 的美缝剂．现在按照相同的方式给一条宽为的走廊地面铺设瓷砖后，共填入了的美缝剂，则该走廊的面积是 ．
【答案】13.2；14.4
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：按图2所示的方式铺设瓷砖，当铺设5块瓷砖时，需填入美缝剂，
观察图形的变化，可知第一块瓷砖需要美缝剂，每增加一块瓷砖，需要美缝剂，
所以当铺设n块瓷砖时，需填入美缝剂，
当，得，
则该走廊的长为，
所以该走廊的面积是，
故答案为：13.2，14.4．
【分析】先得到当铺设5块瓷砖时，需填入美缝剂的数量，然后得到规律，再令求出n的值，即可求出走廊的面积．
16．（广西壮族自治区玉林市北流市2024-2025学年上学期七年级期末考试数学试题）如图，表中给出的是某月的日历表，在该表中任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能是①70；②84；③105；④140，其中正确的可能有 ．（填写序号）
【答案】①②③
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设框形中间数为，
∴可得到框形的其他值为：，，，，，，
，
当时，解得，能求得这7个数；
当时，解得，能求得这7个数；
当时，解得，能求得这7个数；
当时，解得，20位于第六列，故④不符合条件；
∴正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
【分析】设框形中间数为，可得到框形的其他值为：，，，，，，得出七个数之和为，由此逐个判断即可得到答案．
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题10分，第19题7分，第20题10分，第21题10分，第22题7分，第23题8分，第24题8分，共66分）
17．（2025七上·镇海区期末）解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：4-x=6-3x
2x=2
x=1
（2）解：2=6-（4x-1）
=7-4x
=9
x
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）运用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解题即可；
（2）运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解题即可.
18．（2024七上·深圳期末）行列式是一个重要的数学工具，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也经常遇到．行列式运算定义如下：，例如，，解答下列问题．
（1）计算：________；
（2）若，求x的值；
（3）解方程：．
【答案】（1）
（2）解：依题意得，
，
，
；
（3）解：依题意得，
，
，
，
．
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：-10
【分析】（1）根据定义运算结合题意列示计算即可求解；
（2）根据题意列出一元一次方程，进而解方程即可求解；
（3）根据新定义列出一元一次方程，进而解方程即可求解。
（1）解：；
（2）解：依题意得，
，
，
；
（3）解：依题意得，
，
，
，
．
19．（2024七上·浙江期末）综合与探究：
某新建的交通环岛的简化模型如图，试通车前环岛上没有车辆，试通车期间进出该交通环岛的机动车数量如图所示，箭头方向表示车辆的行驶方向，路口的整式表示驶人或驶出的车辆数，如路口AH在此期间驶人辆机动车，驶出2b辆机动车。图中分别表示在试通车期间通过路段EH，AB，CD的所有机动车数量。
（1）若，则：
①当时，求的值；
②用含a，b的代数式表示。
（2）若试通车期间，通过路段AB，EH的车辆数相同，且通过路段CD的车辆比通过路段EH的车辆少10辆，分别求a，b的值。
【答案】（1）解：)①当x1=10，a=3，b=2时，
x2=10-2×2+(3-2)=7，
x3=7-(3+2)+2×2=6。
②x2=x1-2b+(a-b)
=x1-3b+a=10-3b+a。
x3=x2-(a+b)+2b
=x1-3b+a-(a+b)+2b
=x1-2b
=10-2b。
（2）解：通过路段AB，EH的车辆数相同，
∴x1=x2，
∴由x2=x1-3b+a得-3b+a=0，
∴a=3b。
∵通过路段CD的车辆比通过路段EH的车辆少10辆，
∴x3=x1-10，
∴由x3=x1-2b得x1-10=x1-2b，
∴2b=10，
解得b=5，
∴a=3b=15。
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的其他应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】(1)①根据图分别将x2、x3用含a，b的代数式表示出 来即可；
②将 代入①中的x2、 x3并计算它们的值，再比较 的大小即可；
(2)分别将通过路段AB、EH、CD的车辆数用含 ，a，b的代数式表示出来，再根据题意写出它们之间的等量关系，从而求出a，b的值即可.
20．（2024七上·浙江期末）学校一年一度的校园艺术节又来了，七年级的红歌比赛要在12月31日举行，七（1）班和七（2）班共有91名学生（其中七（1）班的人数多于七（2）班，且七（1）班的人数不到50人），他们准备购买统一的演出服装参加比赛，下面是某服装厂给出的服装价格表：
购买服装的套数 1~45套 46~90套 91套及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两个班分别单独购买服装，一共应付5000元，设七（1）班有学生x人
（1）用含x的代数式分别表示七（2）班的人数以及两班各自需要付的钱数
（2）求两班各有多少名学生。
（3）请你为这两个班设计一种更省钱的购买服装的方案，通过计算说明共节省多少元。
【答案】（1）解：七(2)班有(91-x)名学生。
∵七(1)班的人数多于七(2)班，且七(1)班的人数不到50人，
∴46≤x<50，91-x≤45。
∴七(1)班共需付50x元，
七(2)班共需付60(91-x)元。
（2）解：50x+60(91-x)=5000，
解得x=46，
则91-x=45。
答：七(1)班有46名学生，七(2)班有45名学生。
（3）解：两班一起买，需付91×40=3640(元)，
5000-3640=1360(元)。
答：共可以节省1360元。
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数混合运算的实际应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】（1）根据题意得到46≤x<50，91-x≤45，然后根据价格表列代数式即可；
（2）根据两班应付5000元，列方程解题即可；
（3）比较两个班级合买服装的总价钱以及按照单价元购买时的总价钱即可得到最省钱的方案.
21．（【奔跑吧期末】假期提升攻略浙教版数学七（上）巩固训练4一元一次方程的应用）如图，现有 A，B两个圆柱形容器，B容器的底面积为S(cm2)，高为18cm， A 容器的底面积是B容器底面积的2倍，容器内水的高度为10cm。
（1）若把A容器内的水全部倒入B容器中，水 (填“会”或“不会”)溢出。
（2）若(1)中的水会溢出，则当B容器中的水倒满时，求A容器中剩余水的高度；若(1)中的水不会溢出，求此时B器内水面的高度。
（3）在倒水的过程中，当两个容器中水面的高度相同时，求此时容器内水面的高度。
【答案】（1）会
（2）解：设A容器中剩余水的高度为x(cm)。
由题意，得2Sx+18S=20S，
且S>0，
解得x=1。
答：A容器中剩余水的高度为1cm
（3）解：设此时容器内水面的高度为y(cm)。
由题意，得2Sy+ Sy=20S，
且S>0，
解得 。
答：此时容器内水面的高度为cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：(1)由题意可得：
A容器中水的体积为：10x2S=20S
B容器的容积为：18S，
20S>18S，
∴水会溢出.
故答案为：会
【分析】(1)分别计算出容积中水的体积和B容器的容积，比较即可得到答案；
(2)设A容器中剩余水的高度为x(cm)，由题意得2Sx+18S=20S， 解方程即可；
(3)设此时容器内水面的高度为y(cm)，根据两个容器中的水量之和为20S，列出方程，解方程即可.
22．（2023七上·凤凰月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．
（1）该车间有男生、女生各多少人？
（2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？
【答案】（1）解：设该车间有男生x人，则女生人数是人，则
．
解得
则．
答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．
（2）解：设应分配y名工人生产螺丝， 该车间有工人44人 ，则名工人生产螺母，
因为每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个 ，
所以
解得：，
答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答；
（2）首先设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可．
（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则
．
解得
则．
答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．
（2）设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，由题意得：
解得：，
答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．
23．（2024七上·义乌月考）根据以下素材，探索完成任务
如何设计宣传牌
素材1 如图1是长方形宣传牌，长330cm，宽220cm，拟在上面书写24个字 （1）中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍 （2）四周空白部分的宽度相等
素材2 如图2，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左、中、右三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等
素材3 如图3，每栏划出正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为1：2.
问题解决
任务1 分析数量关系 （1）设四周宽度为xcm，用含x的代数式分别表示设计部分的长和宽.
任务2 确定四周宽度 （2）求出四周宽度x的值
任务3 确定栏目大小 （3）求每个栏目的水平宽度， （4）求长方形栏目与栏目之间中缝的间距
【答案】解：（1）设四周宽度为xcm，
∴设计部分长为：设计部分宽为：
（2）∵设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，
∴，
解得：
∴四周宽度为10cm，
（3）设每个栏目的水平宽度为ycm，每栏竖行两列中间间隔为acm，则横向中间间隔宽度为2acm，
∴
∴
∴每个栏目的水平宽度为100cm，
（4）∵
∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为5cm.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设四周宽度为xcm，进而根据题意表示即可；
（2）根据设计的部分也是长方形，且长是宽的1.55倍，列出方程：，解此方程即可求解；
（3）设每个栏目的水平宽度为ycm，每栏竖行两列中间间隔为acm，则横向中间间隔宽度为2acm，根据正方形边长相等得到方程：解此方程即可求解；
（4）列出算式，将数值代入计算即可.
24．（2024七上·义乌月考）根据以下素材，探索完成任务．
时钟里的数学问题
素材1 时钟是我们口常生活中常用的生活用品。钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图．表盘中1-12匀分布，分针60分钟转动一周是360°，时针60分钟移动一周的是30°，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．
素材2 当时钟显示10：10时（如图）．时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑10：00时，时针与分针所成角度为60°；从10：00到10：10．分针转动的角度为．时针转动的角度为，．因此10点10分时，时针与分针所成角度是115°．
素材3 当时针和分针所成角度180°时，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”。如图．当时钟显示6：00时，此时，时针和分针所成角度180°，因此6：00就是一个美妙时刻．
解决问题
任务1 当时钟显示11：10分时，求时针与分针所成角度．
任务2 时钟显示1：00时，时针与分针所成角度为30°，在1：00到1：30的30分钟内，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出此时的时刻。
任务3 6：00之后的下一个美妙时刻是 ▲ ，一天24个小时内，共有 ▲ 个美妙时刻。
【答案】解：任务一：
∴当时钟显示11：10分时，时针与分针所成角度为85°.
任务二：设1点x分时，时针与分针垂直，
∴
∴
∴此刻时刻为
任务三：22.
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】
任务三：设再经过y分钟，时针和分针所成角度第一次为180°，
∴
∴
∴6：00之后的下一个美妙时刻是：
设从0：00开始经过m分钟，时针和分针所成角度为180°，
∴
∴
∵
∴
∴
∴n最大为22，
∴一天24个小时内，共有22个美妙时刻，
故答案为：22.
【分析】任务一：利用时针与分针所成角度=30°+分针转过的角度-时针转过的角度，据此即可求解；
任务二：设1点x分时，时针与分针垂直，得到方程解此方程即可求解；
任务三：设再经过y分钟，时针和分针所成角度第一次为180°，则进而可得到6：00之后的下一个美妙时刻，设从0：00开始经过m分钟，时针和分针所成角度为180°，则得到：进而得到据此求出n的取值范围，进而即可求解.
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