【提升版】浙教版（2024）七上第五章 一元一次方程 单元测试
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．若4x-9=x，则x的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】
解：4x-9=x，
方程两边同时减x得：4x-9-x=0，
合并同类项得：3x-9=0，
移项得：3x=9，
方程两边同时除3得：x=3.
故选：C.
【分析】本题考查了移项，合并同类项解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握相关解题方法.
2．代数式2ax+5b的值会随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的代数式的值，则关于x的方程2ax+5b=4的解是( )
x -4 -3 -2 -1 0
2ax+5b 12 8 4 0 -4
A．x=12 B．x=4 C．x=-2 D．x=0
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】
解：由表可知，当2ax+5b=4时，x=-2.
故答案为：C.
【分析】将2ax+5b整体思想代入，观察表即可求出答案.
3．（2024七上·义乌月考）下列各题正确的是（ ）
A．由7x＝5x﹣3移项得7x﹣5x＝3
B．由1去分母得2（3x﹣1）＝1+3（x﹣3）
C．由2（2x﹣1）﹣5（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣5x﹣15＝1
D．由2（x+1）＝x+7去括号、移项、合并同类项得x＝5
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、由移项得，则本项不符合题意；
B、由1，去分母得：则本项不符合题意；
C、由，去括号得：，则本项不符合题意；
D、由，去括号、移项、合并同类项得：，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相应步骤逐项进行计算即可.
4．（2023七上·安新期末）解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得，小刚的解题过程如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵小刚的求解结果为，
∴，
∴，
正确过程如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
故答案为：D．
【分析】利用小刚解方程步骤解方程，然后把代入求出a的值，然后正确解方程即可．
5．（2018七上·彝良期末）如果方程2x+1=3的解也是方程 的解，那么a的值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．以上都不对
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】解 ：解方程2x+1=3得 ：x=1，
∵方程2x+1=3的解也是方程 2 = 0 的解，
∴把x=1代入 2 = 0得
2-=0 ，
解得 ：a=7 .
故应选 ：A.
【分析】首先解出方程2x+1=3得出x的值，然后根据方程解的定义把x的值代入 2 = 0得出一个关于a的方程，求解得出a的值。
6．（2025七上·三台期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题．大意为：今有墙高9尺， 瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺寸）若设经过x 天两蔓相遇，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知两种蔓的生长方向相反，相向而行，直到相遇，
墙高为9尺，转换成统一单位为90寸（因为1尺=10寸），瓜蔓每天长7寸，葫芦蔓每天长1尺（即10寸），设经过x天后两蔓相逢，
故可以列出等式：7x+10x=90，解出x的值，即两蔓相逢的天数，
根据题目要求，正确的等式为：7x +10x= 90，
故答案为：A.
【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用， 将实际问题转化为数学模型，在解答过程中，要注意单位的统一，将所有数据转换为同一单位进行计算，以便于列出正确的等式，通过列出并求解等式，能够直观地看到问题的数学本质，从而找到解决问题的方法.
7．（【奔跑吧期末】假期提升攻略浙教版数学七（上）巩固训练4一元一次方程的应用）如图所示为某超市的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮助算一算，该电子表的原价是（ ）
A．21元 B．22元 C．23元 D．24元
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设该电子表的原价为x元，
依题意，得：0.8x=19.2
解得：x=24.
即电子表的原价是24元.
故答案为：D.
【分析】设该电子表的原价为x元，根据现价=原价x折扣率，即可得方程0.8x=19.2，解方程即可.
8．（2024七上·金沙期末）在做科学实验时，老师将第一个量筒（圆柱）中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题知，第一个量筒（圆柱）中的水的体积为：，
第二个量筒中的水的体积为：，
根据表示同一个量的两个式子相等有，
故答案为：A．
【分析】根据“第一个量筒中水的体积第二个量筒中水的体积”列方程即可．
9．方程|x+5|-|3x-7|=1的解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】B
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：分三种情况考虑：
第一种：当 时，原方程可化简为x+5-3x+7=1，解得 符合题意；
第二种：当 时，原方程可化简为x+5+3x-7=1，解得 符合题意；
第三种：当x≤-5时，原方程可化简为-x-5+3x-7=1，解得 不符合题意.
∴x的值为：- 或.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：①当 时，②当 时，③当x≤-5时，再分别将原方程化简，最后求出x的值即可.
10．已知关于x的方程|x|=ax-a有正根且没有负根，则a的取值范围是（ ）
A．a>1 B．a≤-1 C．a>2或a≤-2 D．a>1或a≤-1
【答案】D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：①当 ax-a≥0，
a（x-1）≥0，
解得：x≥1且a≥0，或者x≤1且a≤0.
②正根条件：x>0，
x= ax-a，即
解得a>1或a<0，
由①，即得正根条件：a>1且x≥1，或者a<0，0
③负根条件：x<0，得-x= ax-a，
解得 即-1由①，即得负根条件-1根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a>1（此时x≥1，没负根），或者a≤-1（此时0综合可得，a>1或a≤-1.
故答案为：D.
【分析】先利用绝对值的非负性可得 ax-a≥0，求出x≥1且a≥0，或者x≤1且a≤0，再根据方程有正根和负根的条件求出a和x的取值范围，最后求出答案即可.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2019九上·利辛月考）若 ，则 = 。
【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴.
【分析】先利用等式性质用含b的代数式表示出a，然后代入求值即可。
12．（2023七上·镇海区期末）若x =3是关于x的方程ax -2b=3的解，则6a-4b+5的值为 .
【答案】11
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将 x =3代入方程ax -2b=3得，
3a-2b=3，
则 6a-4b+5=2（3a-2b）+5=2×3+5=11；
故答案为：11.
【分析】将x的值代入方程，得出a，b的等式，进而可求出代数式的值.
13．（2024七上·深圳期末）如图，有8个正方体，每个正方体的棱长为或者，它们的表面积和为，则它们的体积和为 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵每个正方体的棱长为或者，
∴每个正方体的表面积为或者，每个正方体的体积为或者，
设小正方体的个数为x，则大正方形的个数为，
由题意可得：，解得：，
则，
所以它们的体积和为．
故答案为：
【分析】根据正方体表面积得到每个正方体的表面积为或者，每个正方体的体积为或者，设小正方体的个数为x，则大正方形的个数为，进而即可列出一元一次方程，从而解方程即可求解。
14．（【奔跑吧期末】假期提升攻略浙教版数学七（上）巩固训练4一元一次方程的应用）某磁性飞镖打靶游戏，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则见下表。珍珍玩了一局，若投中 A区k次，B区3次，其余全部脱靶，本局得19分，则k的值为 。
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分(分) 3 1 -2
【答案】6
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解： 脱靶的次数为次，
由题意得：
解得：k=6.
故答案为：6.
【分析】根据题意可列出方程：，解方程即可.
15．（2025七上·镇海区期末）已知关于 的一元一次方程 的解为 ，则关于 的一元一次方程 的解为 ．
【答案】-2025
【知识点】解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∵关于x的一元一次方程 的解为
解得：
∴关于y的一元一次方程 的解为
故答案为： -2025
【分析】把关于y的的一元一次方程 化成 再根据关于x的一元一次方程 的解为 得到关于y的一元一次方程，解方程即可.
16．（非凡数学听课本 七年级上册 第四章 代数式 第16 节 图形的分割与拼接） 将①和②两张正方形纸片按图所示两种方式放置在同一个长方形中.图（1）中阴影部分的周长和为m，图（2）中阴影部分的周长和为n，且AM=ND.若AD=17，m--n=9，则正方形①的边长为 .
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设AB=x，正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，
∵AD=17，
∴图（1）中阴影部分的周长和m=2（17-a）+2（x-b）+2（17-b）+2（x-a）=4x+68-4a-4b.
∵AM=ND，
∴图（2）中阴影部分的周长和n=2（x+17-b）+2
∵m-n=9，
∴（4x+68-4a-4b）-（4x+51-a-4b）=9，
解得
∴正方形①的边长为 ，
故答案为：.
【分析】设AB=x，正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长和m及图（2）中阴影部分的周长和n，再根据“m-n=9”列出方程（4x+68-4a-4b）-（4x+51-a-4b）=9，最后求解即可.
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题6分，第21题8分，第22题11分，第23题7分，第24题12分，共66分）
17．（2024七上·广州月考）解下列方程：
（1）；
（2）；
【答案】（1）解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
解得：；
（2）解：去分母，得：．
去括号，得：．
移项，得：．
合并同类项，得：．
系数化为1，得：．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据题意去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进而即可求解；
（2）根据题意去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进而即可求解。
（1）解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
解得：；
（2）解：去分母，得：．
去括号，得：．
移项，得：．
合并同类项，得：．
系数化为1，得：．
18．（2024七上·浙江期末）定义：若，则称与是关于2的平衡数。
（1）若3与是关于2的平衡数，求的值。
（2）若，请判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由。
【答案】（1）解：∵3+n=2，
∴n=2-3=-1。
（2）解：a+b=(2x2-6x-1)+[x2-3(x2-2x-1)]
=2x2-6x-1+x2-3x2+6x+3=2，
∴a与b是关于2的平衡数。
【知识点】整式的加减运算；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据“平衡数”的定义得到3+n=2，解题即可；
（2）计算a+b，然后根据根据“平衡数”的定义判断即可.
19．（2024七上·红花岗期末）列方程解应用题：根据图中情景，解答下列问题：
她付的钱怎么比我还少？ 收银台 “元旦”大酬宾 跳绳每根25元，超过10根，享受八折优惠．
（1）购买8根跳绳需 元；购买12根跳绳需 元；
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由．
【答案】（1）200，240
（2）解：设小明购买x根，则小红购买根．
根据题意，得，
解方程，得
所以，小明购买了9根，共付 (元)，小红购买了11根，共付 (元)．
故这种情况有可能．
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】（1）解：购买8根跳绳需（元），
购买12根跳绳需（元）
故答案为：200，240．
【分析】（1）根据总价=单价×数量解题．
（2）设小明购买x根，则小红购买根．根据“ 小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元 ”列一元一次方程解题即可．
（1）解：购买8根跳绳需（元），
购买12根跳绳需（元）
故答案为：200，240．
（2）解：设小明购买x根，则小红购买根．
根据题意，得，
解方程，得
所以，小明购买了9根，共付 (元)，小红购买了11根，共付 (元)．
故这种情况有可能．
20．（人教版（新）数学教材习题七年级下册10.3 实际问题与二元一次方程组） 《算法统宗》里有这样一道题： “我问开店李三公，众客都来到店中. 一房七客多七客，一房九客一房空.”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客
【答案】解： 设该店有客房x间。
7x+7=9（x-1），解得x=8
7×8+7=63人
∴ 该店有客房8间，客人的数量为63人。
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【分析】本题首先理解题意，即：一间房住7人，还有7人没地方住；如果一间房住9人，还有1间房没人住。因此当每间客房住7人时，总人数为7x+7；当每间客房住9人时，总人数为9(x-1)。总人数一样，因此列示7x+7=9（x-1），求出x之后，代入任意一个式子中即可求出总人数。
21．（2024七上·义乌月考）从某个月的月历表中取一个2x2方框，
（1）已知这个方框所围成的4个日期之和为44，求这4个日期，
（2）这个方框所围成的4个日期之和可能为56吗
【答案】（1）解：设这个方块所围成的四个方格的日期分别为x、x＋1、x＋7、x＋8，根据题意得，
解得：
∴
则这四个方格中的日期分别是7、8、14、15
（2）解：设方块中最小的数为x，那么另外三个数分别是x+1（右边相邻的日期），x+7（下方相邻的日期），以及x+8（右下方的日期）。则这四个数的和为，
∴
解得：
这意味着最小的数是10，另外三个数分别是11、17和18，
这四个数的和是56
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【分析】（1）设这个方块所围成的四个方格的日期分别为x、x＋1、x＋7、x＋8，根据题意列出方程，求出x的值，即可得出这四个方格中的日期；
（2）设方块中最小的数为x，那么另外三个数分别是x+1（右边相邻的日期），x+7（下方相邻的日期），以及x+8（右下方的日期）。则这四个数的和为，进而得到方程：，解此方程即可求解.
22．（2024七上·红花岗期末）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）．
（1）你认为这个“有理数转换器”不可能输出的数是 ．（填“正数”、“0”、“负数”）
（2）当小华输入6时，输出的结果是 ；当小华输入时，输出的结果是 ；当小华输入2028时，输出的结果是 ．
（3）当输入以下 时，其输出结果是0．(填序号)
① 0，②，③ 7，④ 10，⑤ 21．
（4）有一次，小华在操作的时候，输入有理数n，输出的结果是2，且知道，你判断一下，小华可能输入的是什么数？请把它们都写出来，并说明理由．
【答案】（1）负数
（2）1，，
（3）①③⑤
（4）解：①当时，，
则的相反数为，且，
由于输出结果为2，
所以，；
②当时，其相反数为，且，
所以的绝对值为n，
由于输出的结果为2，所以此时；
③当时，其相反数为，且，
由于输出结果为2，所以，即．
综上所述，小华可能输入的数是6.5或2或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】（1）解：观察转化器可得：当取到相反数环节后，为正数时取倒数输出，非正数时取绝对值输出，
输出的结果一定是非负数，
即这个“有理数转换器”不可能输出负数．
故答案为：负；
（2）解：当输入6时，，
，，
的相反数为1，，
1的倒数为1，
输出的结果为1；
当输入时，，
的相反数为，，
的倒数为，
输出的结果为；
当输入2028时，，
，，
的相反数为2，，
2的倒数为，
输出的结果为．
故答案为：1；；；
（3）解：没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，
当输入的数小于等于4时，输入0时，输出的结果为0，
当输入的数大于4时，输入7的倍数时，输出结果为0，
综上，当输入0或为正整数）时，输出结果为0．
∴在① 0，②，③ 7，④ 10，⑤ 21．中，7和21为7的倍数，
故当输入①③⑤时，其输出结果是0．
故答案为：①③⑤；
【分析】（1）逆向观察转换器解题即可；
（2）将输入的三个数代入转化器中计算即可；
（3）根据绝对值和倒数的运算法则，根据转化器倒推解题即可；
（4）设输入的数为n，分为，和，三种情况，结合转换器中的运算程序解题即可．
（1）解：解：观察转化器可得：当取到相反数环节后，为正数时取倒数输出，非正数时取绝对值输出，
输出的结果一定是非负数，
即这个“有理数转换器”不可能输出负数．
故答案为：负；
（2）解：当输入6时，，
，，
的相反数为1，，
1的倒数为1，
输出的结果为1；
当输入时，，
的相反数为，，
的倒数为，
输出的结果为；
当输入2028时，，
，，
的相反数为2，，
2的倒数为，
输出的结果为．
故答案为：1；；；
（3）解：没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，
当输入的数小于等于4时，输入0时，输出的结果为0，
当输入的数大于4时，输入7的倍数时，输出结果为0，
综上，当输入0或为正整数）时，输出结果为0．
∴在① 0，②，③ 7，④ 10，⑤ 21．中，7和21为7的倍数，
故当输入①③⑤时，其输出结果是0．
（4）解：①当时，，
则的相反数为，且，
由于输出结果为2，
所以，；
②当时，其相反数为，且，
所以的绝对值为n，
由于输出的结果为2，所以此时；
③当时，其相反数为，且，
由于输出结果为2，所以，即．
综上所述，小华可能输入的数是6.5或2或．
23．某中学学生步行到距离学校20千米的军训基地.女学生组成前队，步行速度为4 千米/时，男学生组成后队，步行速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时.
（1）后队追上前队需要多长时间 这段时间联络员走的路程是多少
（2）两队何时相距2千米
【答案】（1）解：设后队追上前队需要x小时，
4（x+1）=6x，
解得，x=2，
10×2=20（千米），
答： 后队追上前队需要2小时， 这段时间联络员走的路程是20千米；
（2）解：设前队出发t小时后两队相距2千米，
①当后队未出发，2t=4，t=0.5；
②当后队已出发，，解得，t=2或4；
③当后队到达军训基地，4t=20-2，解得，t=4.5；
答：当前队出发0.5小时或2小时或4小时或4.5小时时，两队相距2千米.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设后队追上前队需要x小时，根据路程=速度×时间和甲乙的路程的相等列出一元一次方程，求解即可；
（2）设前队出发t小时后两队相距2千米，分三种情况：①当后队未出发；②当后队已出发；③当后队到达军训基地，分别列出一元一次方程，求解即可.
24．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如图1），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷85 度是什么意思 电费是如何计算的 第一档与第二档又有什么关系
【浙江电力】【电费通知】尊敬的客户，户号*，户名*，地址*.（2024.09.01-2024.09.30）电量227度（其中谷85度），电费105.14元，当前用电处于第一档，剩余581度.
通过互联网查询后获得该市居民生活用电标准（如下表，部分修改）.
电价等级 普通电价
（元/度） 峰谷电价（元/度）
峰时电价 谷时电价
第一档 年用电量不超过2 760度的部分 0.538 0.568 0.288
第二档 年 用 电 量 超 过2 760度但不超过4 800度的部分 0.588 0.618 0.338
第三档 年 用 电 量 超 过4 800度的部分 0.838 0.868 0.588
【解读信息】
小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为85度，那么峰时用电量就是227-85=142（度），由于小江家年用电量处在第一档，故9 月份电费为：0.568×142+0.288×85=105.136≈105.14（元）.
【解决问题】
（1）若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元（精确到0.01）.
（2）若采用峰谷电价计费，某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成 元（用含 m 的代数式表示）.
（3）如图2，12月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为0.2.请根据对话解答下列问题：
①通过计算判断：截至12月底，小江家的年用电量是否仍处于第一档
②12月份谁家的用电量多 多了多少
【答案】（1）122.13
（2）解：0.568-0.28m
（3）解：①超过第一档，小江家 谷时用电量与月用电量的比值为0.2，
则处在第一档的1度电的电费为0.568-0.28×0.2=0.512（元）；
0.512×281=143.872＜154.55，
即小江家的年用电量超过第一档；
②设小江家用电量为x度，
0.2×（x-281）×0.338+0.8×（x-281）×0.618=154.55-143.872，
解得，x=300，
300-275=25（度）
答：小江家用电量多，多了25度.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）0.538×227≈122.13（元）；
（2）用电量为1度，则谷时用电量为m，峰时用电量1-m，
；
故答案为：（1）122.13；
（2）0.568-0.28m；
【分析】（1）根据普通电费计费可得电费=单价×度数，即可求得；
（2）计算一度电中谷时电费与峰时电费之和即可；
（3）①m=0.2代入（2）中所求的代数式求出一度电的电费，再计算出剩余281度的电费，与电费154.55比较，即可判断；
②设小江家用电量为x度，根据处于二档的电费列出一元一次方程，求解后再与小北家的电量求差即可.
1 / 1【提升版】浙教版（2024）七上第五章 一元一次方程 单元测试
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．若4x-9=x，则x的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．代数式2ax+5b的值会随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的代数式的值，则关于x的方程2ax+5b=4的解是( )
x -4 -3 -2 -1 0
2ax+5b 12 8 4 0 -4
A．x=12 B．x=4 C．x=-2 D．x=0
3．（2024七上·义乌月考）下列各题正确的是（ ）
A．由7x＝5x﹣3移项得7x﹣5x＝3
B．由1去分母得2（3x﹣1）＝1+3（x﹣3）
C．由2（2x﹣1）﹣5（x﹣3）＝1去括号得4x﹣2﹣5x﹣15＝1
D．由2（x+1）＝x+7去括号、移项、合并同类项得x＝5
4．（2023七上·安新期末）解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018七上·彝良期末）如果方程2x+1=3的解也是方程 的解，那么a的值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．以上都不对
6．（2025七上·三台期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题．大意为：今有墙高9尺， 瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺寸）若设经过x 天两蔓相遇，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（【奔跑吧期末】假期提升攻略浙教版数学七（上）巩固训练4一元一次方程的应用）如图所示为某超市的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮助算一算，该电子表的原价是（ ）
A．21元 B．22元 C．23元 D．24元
8．（2024七上·金沙期末）在做科学实验时，老师将第一个量筒（圆柱）中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．方程|x+5|-|3x-7|=1的解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
10．已知关于x的方程|x|=ax-a有正根且没有负根，则a的取值范围是（ ）
A．a>1 B．a≤-1 C．a>2或a≤-2 D．a>1或a≤-1
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2019九上·利辛月考）若 ，则 = 。
12．（2023七上·镇海区期末）若x =3是关于x的方程ax -2b=3的解，则6a-4b+5的值为 .
13．（2024七上·深圳期末）如图，有8个正方体，每个正方体的棱长为或者，它们的表面积和为，则它们的体积和为 ．
14．（【奔跑吧期末】假期提升攻略浙教版数学七（上）巩固训练4一元一次方程的应用）某磁性飞镖打靶游戏，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则见下表。珍珍玩了一局，若投中 A区k次，B区3次，其余全部脱靶，本局得19分，则k的值为 。
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分(分) 3 1 -2
15．（2025七上·镇海区期末）已知关于 的一元一次方程 的解为 ，则关于 的一元一次方程 的解为 ．
16．（非凡数学听课本 七年级上册 第四章 代数式 第16 节 图形的分割与拼接） 将①和②两张正方形纸片按图所示两种方式放置在同一个长方形中.图（1）中阴影部分的周长和为m，图（2）中阴影部分的周长和为n，且AM=ND.若AD=17，m--n=9，则正方形①的边长为 .
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题6分，第21题8分，第22题11分，第23题7分，第24题12分，共66分）
17．（2024七上·广州月考）解下列方程：
（1）；
（2）；
18．（2024七上·浙江期末）定义：若，则称与是关于2的平衡数。
（1）若3与是关于2的平衡数，求的值。
（2）若，请判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由。
19．（2024七上·红花岗期末）列方程解应用题：根据图中情景，解答下列问题：
她付的钱怎么比我还少？ 收银台 “元旦”大酬宾 跳绳每根25元，超过10根，享受八折优惠．
（1）购买8根跳绳需 元；购买12根跳绳需 元；
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由．
20．（人教版（新）数学教材习题七年级下册10.3 实际问题与二元一次方程组） 《算法统宗》里有这样一道题： “我问开店李三公，众客都来到店中. 一房七客多七客，一房九客一房空.”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客
21．（2024七上·义乌月考）从某个月的月历表中取一个2x2方框，
（1）已知这个方框所围成的4个日期之和为44，求这4个日期，
（2）这个方框所围成的4个日期之和可能为56吗
22．（2024七上·红花岗期末）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）．
（1）你认为这个“有理数转换器”不可能输出的数是 ．（填“正数”、“0”、“负数”）
（2）当小华输入6时，输出的结果是 ；当小华输入时，输出的结果是 ；当小华输入2028时，输出的结果是 ．
（3）当输入以下 时，其输出结果是0．(填序号)
① 0，②，③ 7，④ 10，⑤ 21．
（4）有一次，小华在操作的时候，输入有理数n，输出的结果是2，且知道，你判断一下，小华可能输入的是什么数？请把它们都写出来，并说明理由．
23．某中学学生步行到距离学校20千米的军训基地.女学生组成前队，步行速度为4 千米/时，男学生组成后队，步行速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时.
（1）后队追上前队需要多长时间 这段时间联络员走的路程是多少
（2）两队何时相距2千米
24．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如图1），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷85 度是什么意思 电费是如何计算的 第一档与第二档又有什么关系
【浙江电力】【电费通知】尊敬的客户，户号*，户名*，地址*.（2024.09.01-2024.09.30）电量227度（其中谷85度），电费105.14元，当前用电处于第一档，剩余581度.
通过互联网查询后获得该市居民生活用电标准（如下表，部分修改）.
电价等级 普通电价
（元/度） 峰谷电价（元/度）
峰时电价 谷时电价
第一档 年用电量不超过2 760度的部分 0.538 0.568 0.288
第二档 年 用 电 量 超 过2 760度但不超过4 800度的部分 0.588 0.618 0.338
第三档 年 用 电 量 超 过4 800度的部分 0.838 0.868 0.588
【解读信息】
小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为85度，那么峰时用电量就是227-85=142（度），由于小江家年用电量处在第一档，故9 月份电费为：0.568×142+0.288×85=105.136≈105.14（元）.
【解决问题】
（1）若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元（精确到0.01）.
（2）若采用峰谷电价计费，某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成 元（用含 m 的代数式表示）.
（3）如图2，12月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为0.2.请根据对话解答下列问题：
①通过计算判断：截至12月底，小江家的年用电量是否仍处于第一档
②12月份谁家的用电量多 多了多少
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】
解：4x-9=x，
方程两边同时减x得：4x-9-x=0，
合并同类项得：3x-9=0，
移项得：3x=9，
方程两边同时除3得：x=3.
故选：C.
【分析】本题考查了移项，合并同类项解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握相关解题方法.
2．【答案】C
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】
解：由表可知，当2ax+5b=4时，x=-2.
故答案为：C.
【分析】将2ax+5b整体思想代入，观察表即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、由移项得，则本项不符合题意；
B、由1，去分母得：则本项不符合题意；
C、由，去括号得：，则本项不符合题意；
D、由，去括号、移项、合并同类项得：，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相应步骤逐项进行计算即可.
4．【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得，小刚的解题过程如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵小刚的求解结果为，
∴，
∴，
正确过程如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
故答案为：D．
【分析】利用小刚解方程步骤解方程，然后把代入求出a的值，然后正确解方程即可．
5．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】解 ：解方程2x+1=3得 ：x=1，
∵方程2x+1=3的解也是方程 2 = 0 的解，
∴把x=1代入 2 = 0得
2-=0 ，
解得 ：a=7 .
故应选 ：A.
【分析】首先解出方程2x+1=3得出x的值，然后根据方程解的定义把x的值代入 2 = 0得出一个关于a的方程，求解得出a的值。
6．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知两种蔓的生长方向相反，相向而行，直到相遇，
墙高为9尺，转换成统一单位为90寸（因为1尺=10寸），瓜蔓每天长7寸，葫芦蔓每天长1尺（即10寸），设经过x天后两蔓相逢，
故可以列出等式：7x+10x=90，解出x的值，即两蔓相逢的天数，
根据题目要求，正确的等式为：7x +10x= 90，
故答案为：A.
【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用， 将实际问题转化为数学模型，在解答过程中，要注意单位的统一，将所有数据转换为同一单位进行计算，以便于列出正确的等式，通过列出并求解等式，能够直观地看到问题的数学本质，从而找到解决问题的方法.
7．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设该电子表的原价为x元，
依题意，得：0.8x=19.2
解得：x=24.
即电子表的原价是24元.
故答案为：D.
【分析】设该电子表的原价为x元，根据现价=原价x折扣率，即可得方程0.8x=19.2，解方程即可.
8．【答案】A
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题知，第一个量筒（圆柱）中的水的体积为：，
第二个量筒中的水的体积为：，
根据表示同一个量的两个式子相等有，
故答案为：A．
【分析】根据“第一个量筒中水的体积第二个量筒中水的体积”列方程即可．
9．【答案】B
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：分三种情况考虑：
第一种：当 时，原方程可化简为x+5-3x+7=1，解得 符合题意；
第二种：当 时，原方程可化简为x+5+3x-7=1，解得 符合题意；
第三种：当x≤-5时，原方程可化简为-x-5+3x-7=1，解得 不符合题意.
∴x的值为：- 或.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：①当 时，②当 时，③当x≤-5时，再分别将原方程化简，最后求出x的值即可.
10．【答案】D
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：①当 ax-a≥0，
a（x-1）≥0，
解得：x≥1且a≥0，或者x≤1且a≤0.
②正根条件：x>0，
x= ax-a，即
解得a>1或a<0，
由①，即得正根条件：a>1且x≥1，或者a<0，0③负根条件：x<0，得-x= ax-a，
解得 即-1由①，即得负根条件-1根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a>1（此时x≥1，没负根），或者a≤-1（此时0综合可得，a>1或a≤-1.
故答案为：D.
【分析】先利用绝对值的非负性可得 ax-a≥0，求出x≥1且a≥0，或者x≤1且a≤0，再根据方程有正根和负根的条件求出a和x的取值范围，最后求出答案即可.
11．【答案】
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴.
【分析】先利用等式性质用含b的代数式表示出a，然后代入求值即可。
12．【答案】11
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将 x =3代入方程ax -2b=3得，
3a-2b=3，
则 6a-4b+5=2（3a-2b）+5=2×3+5=11；
故答案为：11.
【分析】将x的值代入方程，得出a，b的等式，进而可求出代数式的值.
13．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵每个正方体的棱长为或者，
∴每个正方体的表面积为或者，每个正方体的体积为或者，
设小正方体的个数为x，则大正方形的个数为，
由题意可得：，解得：，
则，
所以它们的体积和为．
故答案为：
【分析】根据正方体表面积得到每个正方体的表面积为或者，每个正方体的体积为或者，设小正方体的个数为x，则大正方形的个数为，进而即可列出一元一次方程，从而解方程即可求解。
14．【答案】6
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解： 脱靶的次数为次，
由题意得：
解得：k=6.
故答案为：6.
【分析】根据题意可列出方程：，解方程即可.
15．【答案】-2025
【知识点】解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∵关于x的一元一次方程 的解为
解得：
∴关于y的一元一次方程 的解为
故答案为： -2025
【分析】把关于y的的一元一次方程 化成 再根据关于x的一元一次方程 的解为 得到关于y的一元一次方程，解方程即可.
16．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设AB=x，正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，
∵AD=17，
∴图（1）中阴影部分的周长和m=2（17-a）+2（x-b）+2（17-b）+2（x-a）=4x+68-4a-4b.
∵AM=ND，
∴图（2）中阴影部分的周长和n=2（x+17-b）+2
∵m-n=9，
∴（4x+68-4a-4b）-（4x+51-a-4b）=9，
解得
∴正方形①的边长为 ，
故答案为：.
【分析】设AB=x，正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长和m及图（2）中阴影部分的周长和n，再根据“m-n=9”列出方程（4x+68-4a-4b）-（4x+51-a-4b）=9，最后求解即可.
17．【答案】（1）解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
解得：；
（2）解：去分母，得：．
去括号，得：．
移项，得：．
合并同类项，得：．
系数化为1，得：．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据题意去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进而即可求解；
（2）根据题意去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进而即可求解。
（1）解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
解得：；
（2）解：去分母，得：．
去括号，得：．
移项，得：．
合并同类项，得：．
系数化为1，得：．
18．【答案】（1）解：∵3+n=2，
∴n=2-3=-1。
（2）解：a+b=(2x2-6x-1)+[x2-3(x2-2x-1)]
=2x2-6x-1+x2-3x2+6x+3=2，
∴a与b是关于2的平衡数。
【知识点】整式的加减运算；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据“平衡数”的定义得到3+n=2，解题即可；
（2）计算a+b，然后根据根据“平衡数”的定义判断即可.
19．【答案】（1）200，240
（2）解：设小明购买x根，则小红购买根．
根据题意，得，
解方程，得
所以，小明购买了9根，共付 (元)，小红购买了11根，共付 (元)．
故这种情况有可能．
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】（1）解：购买8根跳绳需（元），
购买12根跳绳需（元）
故答案为：200，240．
【分析】（1）根据总价=单价×数量解题．
（2）设小明购买x根，则小红购买根．根据“ 小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元 ”列一元一次方程解题即可．
（1）解：购买8根跳绳需（元），
购买12根跳绳需（元）
故答案为：200，240．
（2）解：设小明购买x根，则小红购买根．
根据题意，得，
解方程，得
所以，小明购买了9根，共付 (元)，小红购买了11根，共付 (元)．
故这种情况有可能．
20．【答案】解： 设该店有客房x间。
7x+7=9（x-1），解得x=8
7×8+7=63人
∴ 该店有客房8间，客人的数量为63人。
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【分析】本题首先理解题意，即：一间房住7人，还有7人没地方住；如果一间房住9人，还有1间房没人住。因此当每间客房住7人时，总人数为7x+7；当每间客房住9人时，总人数为9(x-1)。总人数一样，因此列示7x+7=9（x-1），求出x之后，代入任意一个式子中即可求出总人数。
21．【答案】（1）解：设这个方块所围成的四个方格的日期分别为x、x＋1、x＋7、x＋8，根据题意得，
解得：
∴
则这四个方格中的日期分别是7、8、14、15
（2）解：设方块中最小的数为x，那么另外三个数分别是x+1（右边相邻的日期），x+7（下方相邻的日期），以及x+8（右下方的日期）。则这四个数的和为，
∴
解得：
这意味着最小的数是10，另外三个数分别是11、17和18，
这四个数的和是56
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【分析】（1）设这个方块所围成的四个方格的日期分别为x、x＋1、x＋7、x＋8，根据题意列出方程，求出x的值，即可得出这四个方格中的日期；
（2）设方块中最小的数为x，那么另外三个数分别是x+1（右边相邻的日期），x+7（下方相邻的日期），以及x+8（右下方的日期）。则这四个数的和为，进而得到方程：，解此方程即可求解.
22．【答案】（1）负数
（2）1，，
（3）①③⑤
（4）解：①当时，，
则的相反数为，且，
由于输出结果为2，
所以，；
②当时，其相反数为，且，
所以的绝对值为n，
由于输出的结果为2，所以此时；
③当时，其相反数为，且，
由于输出结果为2，所以，即．
综上所述，小华可能输入的数是6.5或2或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】（1）解：观察转化器可得：当取到相反数环节后，为正数时取倒数输出，非正数时取绝对值输出，
输出的结果一定是非负数，
即这个“有理数转换器”不可能输出负数．
故答案为：负；
（2）解：当输入6时，，
，，
的相反数为1，，
1的倒数为1，
输出的结果为1；
当输入时，，
的相反数为，，
的倒数为，
输出的结果为；
当输入2028时，，
，，
的相反数为2，，
2的倒数为，
输出的结果为．
故答案为：1；；；
（3）解：没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，
当输入的数小于等于4时，输入0时，输出的结果为0，
当输入的数大于4时，输入7的倍数时，输出结果为0，
综上，当输入0或为正整数）时，输出结果为0．
∴在① 0，②，③ 7，④ 10，⑤ 21．中，7和21为7的倍数，
故当输入①③⑤时，其输出结果是0．
故答案为：①③⑤；
【分析】（1）逆向观察转换器解题即可；
（2）将输入的三个数代入转化器中计算即可；
（3）根据绝对值和倒数的运算法则，根据转化器倒推解题即可；
（4）设输入的数为n，分为，和，三种情况，结合转换器中的运算程序解题即可．
（1）解：解：观察转化器可得：当取到相反数环节后，为正数时取倒数输出，非正数时取绝对值输出，
输出的结果一定是非负数，
即这个“有理数转换器”不可能输出负数．
故答案为：负；
（2）解：当输入6时，，
，，
的相反数为1，，
1的倒数为1，
输出的结果为1；
当输入时，，
的相反数为，，
的倒数为，
输出的结果为；
当输入2028时，，
，，
的相反数为2，，
2的倒数为，
输出的结果为．
故答案为：1；；；
（3）解：没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，
当输入的数小于等于4时，输入0时，输出的结果为0，
当输入的数大于4时，输入7的倍数时，输出结果为0，
综上，当输入0或为正整数）时，输出结果为0．
∴在① 0，②，③ 7，④ 10，⑤ 21．中，7和21为7的倍数，
故当输入①③⑤时，其输出结果是0．
（4）解：①当时，，
则的相反数为，且，
由于输出结果为2，
所以，；
②当时，其相反数为，且，
所以的绝对值为n，
由于输出的结果为2，所以此时；
③当时，其相反数为，且，
由于输出结果为2，所以，即．
综上所述，小华可能输入的数是6.5或2或．
23．【答案】（1）解：设后队追上前队需要x小时，
4（x+1）=6x，
解得，x=2，
10×2=20（千米），
答： 后队追上前队需要2小时， 这段时间联络员走的路程是20千米；
（2）解：设前队出发t小时后两队相距2千米，
①当后队未出发，2t=4，t=0.5；
②当后队已出发，，解得，t=2或4；
③当后队到达军训基地，4t=20-2，解得，t=4.5；
答：当前队出发0.5小时或2小时或4小时或4.5小时时，两队相距2千米.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设后队追上前队需要x小时，根据路程=速度×时间和甲乙的路程的相等列出一元一次方程，求解即可；
（2）设前队出发t小时后两队相距2千米，分三种情况：①当后队未出发；②当后队已出发；③当后队到达军训基地，分别列出一元一次方程，求解即可.
24．【答案】（1）122.13
（2）解：0.568-0.28m
（3）解：①超过第一档，小江家 谷时用电量与月用电量的比值为0.2，
则处在第一档的1度电的电费为0.568-0.28×0.2=0.512（元）；
0.512×281=143.872＜154.55，
即小江家的年用电量超过第一档；
②设小江家用电量为x度，
0.2×（x-281）×0.338+0.8×（x-281）×0.618=154.55-143.872，
解得，x=300，
300-275=25（度）
答：小江家用电量多，多了25度.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）0.538×227≈122.13（元）；
（2）用电量为1度，则谷时用电量为m，峰时用电量1-m，
；
故答案为：（1）122.13；
（2）0.568-0.28m；
【分析】（1）根据普通电费计费可得电费=单价×度数，即可求得；
（2）计算一度电中谷时电费与峰时电费之和即可；
（3）①m=0.2代入（2）中所求的代数式求出一度电的电费，再计算出剩余281度的电费，与电费154.55比较，即可判断；
②设小江家用电量为x度，根据处于二档的电费列出一元一次方程，求解后再与小北家的电量求差即可.
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