【培优版】浙教版（2024）七上第五章 一元一次方程 单元测试
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．方程的解是( )
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
2．（2010·华罗庚金杯竞赛）满足 || x-1 |-| x ||-| x-1 |+| x |=1的x的值是（ ）。
A．0 B．± C． D．±
3．满足方程|x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4的整数解有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
4．（2023七上·长安期末）若，且，以下结论：①；②关于x的方程的解为；③；④的所有可能取值为0和2；其中正确结论是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
5．（2017七下·江津期末）按下面的程序计算：
当输入 时，输出结果是299；当输入 时，输出结果是446；如果输入 的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的 的值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2021七下·高平期末）某超市为了回馈顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物付款合并一次性付款可节省（ ）
A．18元 B．16元 C．18或46.8元 D．46.8元
7．（2024七下·临海期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
两数的和 52 64 57 69 46
则写有最大数卡片的编号是（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
8．（2023七上·义乌月考）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C．1 D．2
9．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了100包茶叶，又在乙批发市场以每包n元(mA．盈利了 B．亏损了
C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
10．（【牵手重高 】培优教程 第五讲 实数的运算）已知a，b满足 则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）我们规定两种新运算“*”和“”，其规则为a*b= ab+a-b， ，则关于x的方程5(3*x)=3的解是 .
12．已知a，b为定值，关于x的方程 无论k为何值，它的解总是1，则a+b= .
13．某书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书超过200元一律打七折.
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，且第二次购书的原价是第一次购书原价的3倍，则小丽这两次购书原价的总和是 元.
14．下表为A市客运站行车时刻表，假设普通车和快车运行全程均保持匀速行驶，则当快车出发后，经过 h，两车相距25 km.
出发时间 到站时间 里程（km）
普通车 7：00 11：00 300
快车 7：30 10：30 300
15．（2025七上·镇海区期末）一块长方形的瓷砖标准尺寸为 ，出于美观和保护瓷砖等原因，需要在瓷砖周边以及瓷砖之间的缝隙（缝隙宽度忽略不计）中填入美缝剂，例如图 1 是由两块瓷砖铺设而成，需要在 处共填入 的美缝剂．如果地面按图 2 所示的方式铺设瓷砖，当铺设 5 块瓷砖时，需填入 的美缝剂．现在按照相同的方式给一条宽为 的走廊地面铺设瓷砖后，共填入了 的美缝剂，则该走廊的面积是 。
16．记f(x)=|x+1|+|x|-|x-2|，则方程f(f(x))+1=0所有解的和为 .
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题10分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题10分，共66分）
17．解方程：|x-2|+|x-3|=2.
18．若关于x的一元一次方程 有一个正整数解，则m可取的最小正数是多少 请求出相应的解.
19．已知关于x的方程 当 a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值.
20．某网上商城的年中促销活动规则如下：
①购物不超过200元不予优惠；
②购物超过200元但不足500元的部分打九折；
③购物超过500元的部分打七五折.
（1）购物200元实际付款 元，购物400元实际付款 元，购物 600 元实际付款 元.
（2）若实际付款 620 元，求所购物品的原价是多少元.
21．科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长 25 m的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为4s 。运动过程如下：第1次从起点出发以v(m/s)的速度运动到记录点 P1；第2次从P1出发以2v(m/s)的速度运动到记录点P2；第3次从P2出发以3v(m/s)的速度运动到记录点 P3；第 4 次从 P3出发以4v(m/s)的速度运动到记录点 P4，到达 P4后停止。
（1）当v=1 时，P2到起点的距离为 m。
（2）若机器人的运动速度不超过8m/s，①v的最大值为 。
②当点 P3到起点的距离为 8 m时，求 v的值。
③记录点能恰好为终点吗 若能，请求出v的值；若不能，请说明理由。
22．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的快车公司开展“打车计费”的实践活动。
【实践发现】司机介绍说：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间来计算；远途费的收取方式为行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元.收费标准如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里
【实践探究】根据以上信息，解答下列问题：
老师说：若乘客的行车里程为2公里，行车时间为4分钟，则付费计算为1.8×2+0.45×4=5.4（元）。
【问题解决】
（1）小东问：“照老师这么算，如果我行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元 ”
（2）小明问：“如果行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则我应付车费多少元 ”（用含a，b的代数式表示，并化简）
（3）司机又说：“如果小王与小张各自乘坐该快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，这两人下车时所付车费一样。”你赞同司机的说法吗 请同学们说明理由。
23．如图，数轴的原点表示学校的位置，小强家位于学校正西方向600 m的点 A处，超市位于学校正东方向200 m的点 B 处。一天下午小强与妈妈到超市去购物，购物后同时从超市出发，沿正西方向步行回家，两人的速度保持不变。小强先把部分物品送到家，当小强妈妈行至点C 处时，小强刚好到家并立即沿原路返回，帮妈妈拿余下的物品并立即回家。已知小强妈妈每分钟走60m。
（1）这天下午从超市出发后，小强每分钟走多少米
（2）这天下午小强从超市出发到第二次回到家，共走了多少米
（3）从超市出发到再次相遇，多少分钟时两人相距120 m
24．七年级的同学们对练习题进行了拓展性研究。现在，请你也一起来尝试着解决一些问题吧。
提出问题 如何测量水深
问题背景 如图①，一根竹竿插入水池底部的淤泥中，竹竿的入泥部分占全长的 ，淤泥以上的入水部分比入泥部分长 m，露出水面部分的长为 m，则可求得竹竿长度。
问题解决1 如图②，画一条线段AB 表示竹竿，AC= AB，CD-AC= m，BD= m，求AB 的长度。
问题解决2 若AB=kAC，其余条件不变，竹竿长度为整数，求整数k的值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得可化为
解得x=2009，
故答案为：D
【分析】先根据题意整理一元一次方程得到，即，再解方程即可求解。
2．【答案】C
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）当x＞1时，原式=x-x+1-x+1+x=2，
2=1显然不成立，故舍去．（2）当0＜x＜1时，
原式=|-（x-1）-x|-（1-x）+x，
=|-2x+1|-1+2x，
=2x-1-1+2x，
=4x-2，
又∵原式=1，
∴4x-2=1，
∴x= ．
故答案为：C．
【分析】根据绝对值的性质，讨论x的取值范围，（1）当x＞1时，原式=x-x+1-x+1+x；不成立舍去；（2）当0＜x＜1时，原式=4x-2，求出方程的解.
3．【答案】C
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】当x-1=0时，x=1；当x-2=0时，x=2；当x-3=0时，x=3，
分为4种情况讨论：
当x<1时，得 1-x-2(2-x)+3(3-x)=4，解之，得 x=1，（不合题意，舍去）；
当1x<2时，得 x-1-2(2-x)+3(3-x)=4，等式恒成立，方程的整数解为x=1；
当2x<3时，得 x-1-2(x-2)+3(3-x)=4，解之，得 x=2；
当x3时，得 x-1-2(x-2)+3(x-3)=4，解之，得 x=5；
综合上述， 满足方程|x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4的整数解有 3个。
故答案为：C。
【分析】当x-1=0时，x=1；当x-2=0时，x=2；当x-3=0时，x=3，分为4种情况讨论：当x<1时，可得方程1-x-2(2-x)+3(3-x)=4，解之可得 x=1，（不合题意，舍去）；当1x<2时可得方程x-1-2(2-x)+3(3-x)=4，等式恒成立，方程的整数解为x=1；当2x<3时可得方程x-1-2(x-2)+3(3-x)=4，解之可得 x=2；当x3时可得方程x-1-2(x-2)+3(x-3)=4，解之可得x=5；综合上述， 满足方程|x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4的整数解有 3个。
4．【答案】C
【知识点】估计方程的解；绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，故①正确；
将代入方程，可得，
∴是方程的解，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，无意义，
故④不正确；
∴①②③正确，
故选：C．
【分析】本题考查一元一次方程的解，以及绝对值的性质，由，且，得到，可判断①正确；由是方程的解，可判断②正确；由，可判断③正确；分和，四种情况讨论，分别求得的可能的值，可判断④不正确.
5．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】⑴由 解得： ；
⑵由 解得： ；
⑶由 解得： ；
⑷由 解得： .
∴满足条件的正整数 有3个，分别是：86、29和10.
故答案为：B.
【分析】根据得到x的值，并把得到的x的值重新输入计算，知道得出的x的值不是正整数为止。
6．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）若第二次购物超过300元，
设此时所购物品价值为x元，则
90%x=288，
解得x=320，
两次所购物价值为180+320=500>300，
所以享受9折优惠，因此应付
500×90%=450（元），
这两次购物付款合并一次性付款可节省：
180+288-450=18（元），
（2）若第二次购物没有超过300元，
两次所购物价值为180+288=468（元），
这两次购物付款合并一次性付款可节省：
468×10%=46.8（元），
故答案为：C．
【分析】此题的难度较大，原因在于第二次购物的钱数并未指明是否超过300元，故应分类讨论，所以答案有两种情况。
7．【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ，
得③①，得⑤③ ．
得⑤①．
得⑤，，得①．
⑤，①．
把⑤①的值代入、、、得②，③，④．
故答案为：A
【分析】先根据等式的性质得到得③①，得⑤③ ，进而得⑤①，再得⑤，，得①，从而即可得到⑤①的值，从而代回即可得到②③④，再比较即可求解。
8．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设，
∴变形为，
已知关于的一元一次方程的解为，
即的解为，
∴的解为，
∴，
∴，
∴关于的一元一次方程的解为，
故答案为：B.
【分析】设，则等价于，已知的解为，得到关于的一元一次方程，的解为，则，计算求解即可．
9．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：由题意得，进货成本=40m+60n，销售额，
故50(m+n)-(40m+60n)
=50m+50n-40m-60n
=10(m-n)，
∵m>n，
∴10(m-n)>0，
∴这家商店盈利.
故答案为：A.
【分析】先根据题意列出进货的成本与销售额，再作差比较即可.
10．【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；等式的基本性质；绝对值的非负性；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：∵a，b满足
又∵和|b|都是非负数，
同理
故答案为：B
【分析】先根据等式的变化得到，进而根据非负性得到同理 从而即可求出其最值。
11．【答案】x=-2
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：
先计算3*x的值：
根据新运算规则a*b=ab+a-b，当a=3，b=x时，3*x = 3x+3-x=2x+3，
再计算5(3*x) 的值：
由1可知3*x =2x+3，再根据新运算规则 ，当a = 5，b = 2x + 3时，，
求解方程 5(3*x)=3 ：
因为，所以方程 5(3*x)=3可转化为1-x= 3，得到x=1-3=-2。
故答案为：-2 .
【分析】这道题主要考查根据新定义运算来求解方程，解题的关键在于先按照新运算规则计算出3*x的值，再将其代入 5(3*x) 中，最后根据方程求解x。
12．【答案】0
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：把x=1代入方程
得
2(k+a)=6-(2+ bk)，
2k+2a=6-2-bk，
2k+ bk+2a-4=0，
(2+b)k+2a-4=0，
∵无论 k为何值，它的解总是1，
∴2+b=0，2a-4=0，
解得：b=-2，a=2.
∴a+b=0.
故答案为：0.
【分析】先将原方程转换为(2+b)k+2a-4=0，再结合“无论 k为何值，它的解总是1”可得2+b=0，2a-4=0，求出a、b的值，最后将其代入a+b计算即可.
13．【答案】248或296
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元.
分四种情况讨论：
①当3x≤100，即x≤时，x+3x＝229.4，解得：x＝57.35（舍去）；
②当 时， 解得x=62，
∴两次购书原价的总和是4×62=248（元）.
③当 时， 解得x=74，
∴两次购书原价的总和是4×74=296（元）.
④当x＞100时，0.9x+0.7×3x＝229.4，解得：x≈76.47（舍去）．
综上所述，小丽这两次购书原价的总和是248或296元.
故答案为：248或296.
【分析】设小丽第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，分、、及四种情况，找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
14．【答案】0.5或2.5或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设当快车出发后，经过x（h），两车相距25 km.
分两种情况讨论：
①普通车在前，快车在后，由题意，得 解得.
②快车在前，普通车在后，由题意，得 解得. 或 解得
综上所述，当快车出发后，经过0.5h或2.5h或 两车相距25 km.
故答案为：0.5或2.5或 .
【分析】因两种车的速度不同，而普通车先出发半小时，因而需要分情况讨论：①当快车还未追上普通车时，此种情况普通车走过的路程要大于快车走过的路程，则可用各自行驶的速度乘以行驶时间来表示二者行驶的路程，继而可根据条件列出等式求解；②当快车追上并超过普通车时，此种情况快车走过的路程要大于普通车走过的路程，则可用各自行驶的速度乘以行驶时间来表示二者行驶的路程，继而可根据条件列出等式求解；这里还有一种情况就是当快车已经到站，普通车还没到站时，也可能会满足题目要求。故需要分两大类共三种情况来逐一计算。
15．【答案】13.2；14.4
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解： 当铺设 5 块瓷砖时，需填入美缝剂为0.6×5×2+(5+1)×1.2=6+7.2=13.2m，
设有x块瓷砖时填入 的美缝剂，
则0.6×n×2+(n+1)×1.2=49.2，
解得：n=20，
∴ 该走廊的面积是0.6×1.2×20=14.4m2，
故答案为：13.2，14.4.
【分析】根据瓷砖的缝隙的数量计算美缝剂的数量即可，然后设有x块瓷砖时填入 的美缝剂，然后列方程求出瓷砖的块数，然后求面积即可.
16．【答案】
【知识点】解一元一次方程；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：解：
令t=f(x)，方程f(f(x))+1=0可化为f(t)=-1，
解得t=-2或t=0，
∴f(x)=-2或f(x)=0.
或
解得x=-1或x=-3或
故答案为：
【分析】先根据题意化简含绝对值的一元一次方程得到，通过换元法令t=f(x)，方程f(f(x))+1=0可化为f(t)=-1，进而得到，从而即可求出t，再分类即可求出x，从而将解相加即可求解。
17．【答案】解：①当x<2时，原方程可化为2-x+3-x=2，解得
②当2≤x≤3时，原方程可化为x-2+3-x=2无解；
③当x≥3时，原方程可化为x-2+x-3=2，解得
综上所述：方程的解是
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【分析】分类讨论：①当x<2时，②当2≤x≤3时，③当x≥3时，再利用绝对值的性质化简，再利用一元一次方程的计算方法及步骤分析求解即可.
18．【答案】解：由
得100x-12m=5x+216，
即95x=216+12m，
∴
要使x为正整数，m取最小的正数，
∴
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】先求出方程的解再结合“x为正整数，m取最小的正数”求出m、x的值即可.
19．【答案】解：由原方程可解得
∵a为自然数，
∵a最小，
∴x应取160，
∴a=2.
∴满足题设的自然数a的最小值为2.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】先求出，再结合“a为自然数”可得，再结合a最小，可得x应取160，再求出a的值即可.
20．【答案】（1）200；380；545
（2）解：设所购物品的原价是x元，x＞500，
200+（500-200）×0.9+（x-500）×0.75=620，
解得，x=700，
答：所购物品的原价是700元
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】（1）解：购物200体验实际付款200元；
购物400元实际付款200+（400-200）×0.9=380元；
购物600元实际付款200+（500-200）×0.9+（600-500）×0.75=545元；
故答案为：（1）200；380；545.
【分析】（1）根据促销活动分别计算即可；
（2）设所购物品的原价是x元，根据题意可知x＞500，列出一元一次方程，求解即可.
21．【答案】（1）12
（2）②当P3未到终点时，有4v+8v+12v=8，解得当 P3到终点并返回时，有4v+8v+12v=25×2-8，解得，综上所述，v的值为或-③能，若P1 恰好为终点，则4v=25，解得 v=舍去；若P2恰好为终点，则4v+8v=25，解得v=舍去；若 P3恰好为终点，则4v+8v+12v=25，解得或4v+8v+12v=25×3，解得舍去；若P4恰好为终点，则4v+8v+12v+16v=25，解得v或4v+8v+12v+16v=25×3，解得或4v+8v+12v+16v=25×5，解得舍去，综上所述，记录点恰好为终点时，v的值为或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）当v=1时，第1次从起点出发运动到记录点P1的距离为1×4=4(m)，
第2次从P1出发运动到记录点P2的距离为2×4=8(m)，
∴P2到起点的距离为4+8-12(m)，
故答案为：12.
(2)①∵第4次从P3出发以4vm/s的速度运动到记录点P4，机器人的运动速度不超过8m/s，
∴v的最大值为：2，
故答案为：2.
【分析】(1)根据题意，分别求出P1和P2到起点的距离即可；
(2)①根据题意，列出不等式，求解即可；
②根据题意，分两种情况讨论，列出方程，求解即可；
③根据题意，分两种情况讨论，列出方程，求解即可.
22．【答案】（1）解：由题意得，1.8×5+0.45×10=13.5(元)。
答：需付车费13.5元
（2）解：当a≤10时，小明应付费(1.8a+0.45b)元；
当a>10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4(a-10)=(2.2a+0.45b-4)元
（3）解：赞同。理由如下：
由题意，可设小王与小张乘坐该快车分别为a分钟、(a-24)分钟，
则小王应付车费1.8×9.5+0.45a=(17.1+0.45a)元。
小张应付车费1.8×14.5+0.45(a-24)+0.4×(14.5-10)=(17.1+0.45a)元。
因此，两人车费一样多，赞同司机的说法
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）依据题意，根据所给信息进行计算即可得解；
（3）根据a的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可；
（3）根据题意计算出相差的车费即可.
23．【答案】（1）解： 小强家到超市的距离为200-(-600)=800(m)，
小强家到C处的距离为-280-(-600)=320(m)，
超市到C处的距离为200-(-280)=480(m)，
∴800÷(480÷60)=100(m/ min)。
答：这天下午从超市出发后，小强每分钟走 100m
（2）解： ∵320÷(100+60)=2( min)，
∴800+2×100×2=1200(m)。
答：这天下午小强从超市出发到第二次回到家，共走了1200 m
（3）解：设从超市出发到再次相遇，分钟时两人相距，分两种情况：
①小强到家前，依题意得，．
解得；
②小强到家后，依题意得，
解得．
答：从超市出发到再次相遇，或分钟时两人相距．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)求小强从超市到家的路程除以妈妈走超市到C的时间即可得解；
(2)先求得小强第一次到家后原路返回到接到妈妈的时间，则小强走的距离就是超市到家的距离再加上接到妈妈的距离乘以2；
(3) 从超市出发到再次相遇，分钟时两人相距，分两种情况：小强到家前和小强到家后两种情况，列方程即可．
24．【答案】解：问题解决1：设 AB=5x(m)，则 AC=x(m)，CD=
则 解得
问题解决2：设AC=x(m)，则 AB= kx(m)。
∵AB=AC+CD+BD， kx=x+x+ +
∵AB 为整数，
∴k-2=1或2或4，
∴k=3或4或6
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】问题解决1：设 AB=5x(m)，则 AC=x(m)，CD= 根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
问题解决2：设AC=x(m)，则 AB= kx(m)，根据边之间的关系建立方程，解方程可得，则，再根据AB为整数即可求出答案.
1 / 1【培优版】浙教版（2024）七上第五章 一元一次方程 单元测试
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．方程的解是( )
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得可化为
解得x=2009，
故答案为：D
【分析】先根据题意整理一元一次方程得到，即，再解方程即可求解。
2．（2010·华罗庚金杯竞赛）满足 || x-1 |-| x ||-| x-1 |+| x |=1的x的值是（ ）。
A．0 B．± C． D．±
【答案】C
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）当x＞1时，原式=x-x+1-x+1+x=2，
2=1显然不成立，故舍去．（2）当0＜x＜1时，
原式=|-（x-1）-x|-（1-x）+x，
=|-2x+1|-1+2x，
=2x-1-1+2x，
=4x-2，
又∵原式=1，
∴4x-2=1，
∴x= ．
故答案为：C．
【分析】根据绝对值的性质，讨论x的取值范围，（1）当x＞1时，原式=x-x+1-x+1+x；不成立舍去；（2）当0＜x＜1时，原式=4x-2，求出方程的解.
3．满足方程|x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4的整数解有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】当x-1=0时，x=1；当x-2=0时，x=2；当x-3=0时，x=3，
分为4种情况讨论：
当x<1时，得 1-x-2(2-x)+3(3-x)=4，解之，得 x=1，（不合题意，舍去）；
当1x<2时，得 x-1-2(2-x)+3(3-x)=4，等式恒成立，方程的整数解为x=1；
当2x<3时，得 x-1-2(x-2)+3(3-x)=4，解之，得 x=2；
当x3时，得 x-1-2(x-2)+3(x-3)=4，解之，得 x=5；
综合上述， 满足方程|x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4的整数解有 3个。
故答案为：C。
【分析】当x-1=0时，x=1；当x-2=0时，x=2；当x-3=0时，x=3，分为4种情况讨论：当x<1时，可得方程1-x-2(2-x)+3(3-x)=4，解之可得 x=1，（不合题意，舍去）；当1x<2时可得方程x-1-2(2-x)+3(3-x)=4，等式恒成立，方程的整数解为x=1；当2x<3时可得方程x-1-2(x-2)+3(3-x)=4，解之可得 x=2；当x3时可得方程x-1-2(x-2)+3(x-3)=4，解之可得x=5；综合上述， 满足方程|x-1|-2|x-2|+3|x-3|=4的整数解有 3个。
4．（2023七上·长安期末）若，且，以下结论：①；②关于x的方程的解为；③；④的所有可能取值为0和2；其中正确结论是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】估计方程的解；绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，故①正确；
将代入方程，可得，
∴是方程的解，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
当时，无意义，
故④不正确；
∴①②③正确，
故选：C．
【分析】本题考查一元一次方程的解，以及绝对值的性质，由，且，得到，可判断①正确；由是方程的解，可判断②正确；由，可判断③正确；分和，四种情况讨论，分别求得的可能的值，可判断④不正确.
5．（2017七下·江津期末）按下面的程序计算：
当输入 时，输出结果是299；当输入 时，输出结果是446；如果输入 的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的 的值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】⑴由 解得： ；
⑵由 解得： ；
⑶由 解得： ；
⑷由 解得： .
∴满足条件的正整数 有3个，分别是：86、29和10.
故答案为：B.
【分析】根据得到x的值，并把得到的x的值重新输入计算，知道得出的x的值不是正整数为止。
6．（2021七下·高平期末）某超市为了回馈顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠．一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物付款合并一次性付款可节省（ ）
A．18元 B．16元 C．18或46.8元 D．46.8元
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）若第二次购物超过300元，
设此时所购物品价值为x元，则
90%x=288，
解得x=320，
两次所购物价值为180+320=500>300，
所以享受9折优惠，因此应付
500×90%=450（元），
这两次购物付款合并一次性付款可节省：
180+288-450=18（元），
（2）若第二次购物没有超过300元，
两次所购物价值为180+288=468（元），
这两次购物付款合并一次性付款可节省：
468×10%=46.8（元），
故答案为：C．
【分析】此题的难度较大，原因在于第二次购物的钱数并未指明是否超过300元，故应分类讨论，所以答案有两种情况。
7．（2024七下·临海期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号 ①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
两数的和 52 64 57 69 46
则写有最大数卡片的编号是（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：①②，②③，③④，④⑤，①⑤ ，
得③①，得⑤③ ．
得⑤①．
得⑤，，得①．
⑤，①．
把⑤①的值代入、、、得②，③，④．
故答案为：A
【分析】先根据等式的性质得到得③①，得⑤③ ，进而得⑤①，再得⑤，，得①，从而即可得到⑤①的值，从而代回即可得到②③④，再比较即可求解。
8．（2023七上·义乌月考）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设，
∴变形为，
已知关于的一元一次方程的解为，
即的解为，
∴的解为，
∴，
∴，
∴关于的一元一次方程的解为，
故答案为：B.
【分析】设，则等价于，已知的解为，得到关于的一元一次方程，的解为，则，计算求解即可．
9．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了100包茶叶，又在乙批发市场以每包n元(mA．盈利了 B．亏损了
C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：由题意得，进货成本=40m+60n，销售额，
故50(m+n)-(40m+60n)
=50m+50n-40m-60n
=10(m-n)，
∵m>n，
∴10(m-n)>0，
∴这家商店盈利.
故答案为：A.
【分析】先根据题意列出进货的成本与销售额，再作差比较即可.
10．（【牵手重高 】培优教程 第五讲 实数的运算）已知a，b满足 则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；等式的基本性质；绝对值的非负性；无理数的混合运算
【解析】【解答】解：∵a，b满足
又∵和|b|都是非负数，
同理
故答案为：B
【分析】先根据等式的变化得到，进而根据非负性得到同理 从而即可求出其最值。
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）我们规定两种新运算“*”和“”，其规则为a*b= ab+a-b， ，则关于x的方程5(3*x)=3的解是 .
【答案】x=-2
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：
先计算3*x的值：
根据新运算规则a*b=ab+a-b，当a=3，b=x时，3*x = 3x+3-x=2x+3，
再计算5(3*x) 的值：
由1可知3*x =2x+3，再根据新运算规则 ，当a = 5，b = 2x + 3时，，
求解方程 5(3*x)=3 ：
因为，所以方程 5(3*x)=3可转化为1-x= 3，得到x=1-3=-2。
故答案为：-2 .
【分析】这道题主要考查根据新定义运算来求解方程，解题的关键在于先按照新运算规则计算出3*x的值，再将其代入 5(3*x) 中，最后根据方程求解x。
12．已知a，b为定值，关于x的方程 无论k为何值，它的解总是1，则a+b= .
【答案】0
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：把x=1代入方程
得
2(k+a)=6-(2+ bk)，
2k+2a=6-2-bk，
2k+ bk+2a-4=0，
(2+b)k+2a-4=0，
∵无论 k为何值，它的解总是1，
∴2+b=0，2a-4=0，
解得：b=-2，a=2.
∴a+b=0.
故答案为：0.
【分析】先将原方程转换为(2+b)k+2a-4=0，再结合“无论 k为何值，它的解总是1”可得2+b=0，2a-4=0，求出a、b的值，最后将其代入a+b计算即可.
13．某书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书超过200元一律打七折.
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，且第二次购书的原价是第一次购书原价的3倍，则小丽这两次购书原价的总和是 元.
【答案】248或296
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元.
分四种情况讨论：
①当3x≤100，即x≤时，x+3x＝229.4，解得：x＝57.35（舍去）；
②当 时， 解得x=62，
∴两次购书原价的总和是4×62=248（元）.
③当 时， 解得x=74，
∴两次购书原价的总和是4×74=296（元）.
④当x＞100时，0.9x+0.7×3x＝229.4，解得：x≈76.47（舍去）．
综上所述，小丽这两次购书原价的总和是248或296元.
故答案为：248或296.
【分析】设小丽第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，分、、及四种情况，找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
14．下表为A市客运站行车时刻表，假设普通车和快车运行全程均保持匀速行驶，则当快车出发后，经过 h，两车相距25 km.
出发时间 到站时间 里程（km）
普通车 7：00 11：00 300
快车 7：30 10：30 300
【答案】0.5或2.5或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设当快车出发后，经过x（h），两车相距25 km.
分两种情况讨论：
①普通车在前，快车在后，由题意，得 解得.
②快车在前，普通车在后，由题意，得 解得. 或 解得
综上所述，当快车出发后，经过0.5h或2.5h或 两车相距25 km.
故答案为：0.5或2.5或 .
【分析】因两种车的速度不同，而普通车先出发半小时，因而需要分情况讨论：①当快车还未追上普通车时，此种情况普通车走过的路程要大于快车走过的路程，则可用各自行驶的速度乘以行驶时间来表示二者行驶的路程，继而可根据条件列出等式求解；②当快车追上并超过普通车时，此种情况快车走过的路程要大于普通车走过的路程，则可用各自行驶的速度乘以行驶时间来表示二者行驶的路程，继而可根据条件列出等式求解；这里还有一种情况就是当快车已经到站，普通车还没到站时，也可能会满足题目要求。故需要分两大类共三种情况来逐一计算。
15．（2025七上·镇海区期末）一块长方形的瓷砖标准尺寸为 ，出于美观和保护瓷砖等原因，需要在瓷砖周边以及瓷砖之间的缝隙（缝隙宽度忽略不计）中填入美缝剂，例如图 1 是由两块瓷砖铺设而成，需要在 处共填入 的美缝剂．如果地面按图 2 所示的方式铺设瓷砖，当铺设 5 块瓷砖时，需填入 的美缝剂．现在按照相同的方式给一条宽为 的走廊地面铺设瓷砖后，共填入了 的美缝剂，则该走廊的面积是 。
【答案】13.2；14.4
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解： 当铺设 5 块瓷砖时，需填入美缝剂为0.6×5×2+(5+1)×1.2=6+7.2=13.2m，
设有x块瓷砖时填入 的美缝剂，
则0.6×n×2+(n+1)×1.2=49.2，
解得：n=20，
∴ 该走廊的面积是0.6×1.2×20=14.4m2，
故答案为：13.2，14.4.
【分析】根据瓷砖的缝隙的数量计算美缝剂的数量即可，然后设有x块瓷砖时填入 的美缝剂，然后列方程求出瓷砖的块数，然后求面积即可.
16．记f(x)=|x+1|+|x|-|x-2|，则方程f(f(x))+1=0所有解的和为 .
【答案】
【知识点】解一元一次方程；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：解：
令t=f(x)，方程f(f(x))+1=0可化为f(t)=-1，
解得t=-2或t=0，
∴f(x)=-2或f(x)=0.
或
解得x=-1或x=-3或
故答案为：
【分析】先根据题意化简含绝对值的一元一次方程得到，通过换元法令t=f(x)，方程f(f(x))+1=0可化为f(t)=-1，进而得到，从而即可求出t，再分类即可求出x，从而将解相加即可求解。
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题6分，第20题10分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题10分，共66分）
17．解方程：|x-2|+|x-3|=2.
【答案】解：①当x<2时，原方程可化为2-x+3-x=2，解得
②当2≤x≤3时，原方程可化为x-2+3-x=2无解；
③当x≥3时，原方程可化为x-2+x-3=2，解得
综上所述：方程的解是
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【分析】分类讨论：①当x<2时，②当2≤x≤3时，③当x≥3时，再利用绝对值的性质化简，再利用一元一次方程的计算方法及步骤分析求解即可.
18．若关于x的一元一次方程 有一个正整数解，则m可取的最小正数是多少 请求出相应的解.
【答案】解：由
得100x-12m=5x+216，
即95x=216+12m，
∴
要使x为正整数，m取最小的正数，
∴
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】先求出方程的解再结合“x为正整数，m取最小的正数”求出m、x的值即可.
19．已知关于x的方程 当 a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值.
【答案】解：由原方程可解得
∵a为自然数，
∵a最小，
∴x应取160，
∴a=2.
∴满足题设的自然数a的最小值为2.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】先求出，再结合“a为自然数”可得，再结合a最小，可得x应取160，再求出a的值即可.
20．某网上商城的年中促销活动规则如下：
①购物不超过200元不予优惠；
②购物超过200元但不足500元的部分打九折；
③购物超过500元的部分打七五折.
（1）购物200元实际付款 元，购物400元实际付款 元，购物 600 元实际付款 元.
（2）若实际付款 620 元，求所购物品的原价是多少元.
【答案】（1）200；380；545
（2）解：设所购物品的原价是x元，x＞500，
200+（500-200）×0.9+（x-500）×0.75=620，
解得，x=700，
答：所购物品的原价是700元
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】（1）解：购物200体验实际付款200元；
购物400元实际付款200+（400-200）×0.9=380元；
购物600元实际付款200+（500-200）×0.9+（600-500）×0.75=545元；
故答案为：（1）200；380；545.
【分析】（1）根据促销活动分别计算即可；
（2）设所购物品的原价是x元，根据题意可知x＞500，列出一元一次方程，求解即可.
21．科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长 25 m的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为4s 。运动过程如下：第1次从起点出发以v(m/s)的速度运动到记录点 P1；第2次从P1出发以2v(m/s)的速度运动到记录点P2；第3次从P2出发以3v(m/s)的速度运动到记录点 P3；第 4 次从 P3出发以4v(m/s)的速度运动到记录点 P4，到达 P4后停止。
（1）当v=1 时，P2到起点的距离为 m。
（2）若机器人的运动速度不超过8m/s，①v的最大值为 。
②当点 P3到起点的距离为 8 m时，求 v的值。
③记录点能恰好为终点吗 若能，请求出v的值；若不能，请说明理由。
【答案】（1）12
（2）②当P3未到终点时，有4v+8v+12v=8，解得当 P3到终点并返回时，有4v+8v+12v=25×2-8，解得，综上所述，v的值为或-③能，若P1 恰好为终点，则4v=25，解得 v=舍去；若P2恰好为终点，则4v+8v=25，解得v=舍去；若 P3恰好为终点，则4v+8v+12v=25，解得或4v+8v+12v=25×3，解得舍去；若P4恰好为终点，则4v+8v+12v+16v=25，解得v或4v+8v+12v+16v=25×3，解得或4v+8v+12v+16v=25×5，解得舍去，综上所述，记录点恰好为终点时，v的值为或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）当v=1时，第1次从起点出发运动到记录点P1的距离为1×4=4(m)，
第2次从P1出发运动到记录点P2的距离为2×4=8(m)，
∴P2到起点的距离为4+8-12(m)，
故答案为：12.
(2)①∵第4次从P3出发以4vm/s的速度运动到记录点P4，机器人的运动速度不超过8m/s，
∴v的最大值为：2，
故答案为：2.
【分析】(1)根据题意，分别求出P1和P2到起点的距离即可；
(2)①根据题意，列出不等式，求解即可；
②根据题意，分两种情况讨论，列出方程，求解即可；
③根据题意，分两种情况讨论，列出方程，求解即可.
22．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的快车公司开展“打车计费”的实践活动。
【实践发现】司机介绍说：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间来计算；远途费的收取方式为行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元.收费标准如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里
【实践探究】根据以上信息，解答下列问题：
老师说：若乘客的行车里程为2公里，行车时间为4分钟，则付费计算为1.8×2+0.45×4=5.4（元）。
【问题解决】
（1）小东问：“照老师这么算，如果我行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元 ”
（2）小明问：“如果行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则我应付车费多少元 ”（用含a，b的代数式表示，并化简）
（3）司机又说：“如果小王与小张各自乘坐该快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，这两人下车时所付车费一样。”你赞同司机的说法吗 请同学们说明理由。
【答案】（1）解：由题意得，1.8×5+0.45×10=13.5(元)。
答：需付车费13.5元
（2）解：当a≤10时，小明应付费(1.8a+0.45b)元；
当a>10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4(a-10)=(2.2a+0.45b-4)元
（3）解：赞同。理由如下：
由题意，可设小王与小张乘坐该快车分别为a分钟、(a-24)分钟，
则小王应付车费1.8×9.5+0.45a=(17.1+0.45a)元。
小张应付车费1.8×14.5+0.45(a-24)+0.4×(14.5-10)=(17.1+0.45a)元。
因此，两人车费一样多，赞同司机的说法
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）依据题意，根据所给信息进行计算即可得解；
（3）根据a的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可；
（3）根据题意计算出相差的车费即可.
23．如图，数轴的原点表示学校的位置，小强家位于学校正西方向600 m的点 A处，超市位于学校正东方向200 m的点 B 处。一天下午小强与妈妈到超市去购物，购物后同时从超市出发，沿正西方向步行回家，两人的速度保持不变。小强先把部分物品送到家，当小强妈妈行至点C 处时，小强刚好到家并立即沿原路返回，帮妈妈拿余下的物品并立即回家。已知小强妈妈每分钟走60m。
（1）这天下午从超市出发后，小强每分钟走多少米
（2）这天下午小强从超市出发到第二次回到家，共走了多少米
（3）从超市出发到再次相遇，多少分钟时两人相距120 m
【答案】（1）解： 小强家到超市的距离为200-(-600)=800(m)，
小强家到C处的距离为-280-(-600)=320(m)，
超市到C处的距离为200-(-280)=480(m)，
∴800÷(480÷60)=100(m/ min)。
答：这天下午从超市出发后，小强每分钟走 100m
（2）解： ∵320÷(100+60)=2( min)，
∴800+2×100×2=1200(m)。
答：这天下午小强从超市出发到第二次回到家，共走了1200 m
（3）解：设从超市出发到再次相遇，分钟时两人相距，分两种情况：
①小强到家前，依题意得，．
解得；
②小强到家后，依题意得，
解得．
答：从超市出发到再次相遇，或分钟时两人相距．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)求小强从超市到家的路程除以妈妈走超市到C的时间即可得解；
(2)先求得小强第一次到家后原路返回到接到妈妈的时间，则小强走的距离就是超市到家的距离再加上接到妈妈的距离乘以2；
(3) 从超市出发到再次相遇，分钟时两人相距，分两种情况：小强到家前和小强到家后两种情况，列方程即可．
24．七年级的同学们对练习题进行了拓展性研究。现在，请你也一起来尝试着解决一些问题吧。
提出问题 如何测量水深
问题背景 如图①，一根竹竿插入水池底部的淤泥中，竹竿的入泥部分占全长的 ，淤泥以上的入水部分比入泥部分长 m，露出水面部分的长为 m，则可求得竹竿长度。
问题解决1 如图②，画一条线段AB 表示竹竿，AC= AB，CD-AC= m，BD= m，求AB 的长度。
问题解决2 若AB=kAC，其余条件不变，竹竿长度为整数，求整数k的值。
【答案】解：问题解决1：设 AB=5x(m)，则 AC=x(m)，CD=
则 解得
问题解决2：设AC=x(m)，则 AB= kx(m)。
∵AB=AC+CD+BD， kx=x+x+ +
∵AB 为整数，
∴k-2=1或2或4，
∴k=3或4或6
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】问题解决1：设 AB=5x(m)，则 AC=x(m)，CD= 根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
问题解决2：设AC=x(m)，则 AB= kx(m)，根据边之间的关系建立方程，解方程可得，则，再根据AB为整数即可求出答案.
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