【提升版】浙教版（2024）七上第六章 图形的初步认识 单元测试
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020七上·襄汾期末）在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要钉子的枚数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（【奔跑吧期末】假期提升攻略浙教版数学七（上）巩固训练5与线段有关的概念和计算）如图，已知线段AB 的长为4，C 为AB 的中点，则线段AC 的长为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.2.线段、射线和直线（浙教版））如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（ ）
A．点在直线外 B．点在直线外
C．直线不经过点 D．直线经过点
4．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.2.线段、射线和直线（浙教版））下列说法正确的有（ ）
①直线和直线是同一条直线；②射线和射线是同一条射线；③线段和线段是同一条线段；④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线.
A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②③
5．如图，∠AOB+∠BOC=90°，∠BOC与∠COD互余，那么∠AOB 与∠COD的关系是( )
A．∠AOB>∠COD B．∠AOB=∠COD
C．∠AOB<∠COD D．无法确定
6．已知∠α=37°49'40"，∠β=52°10'20"，则∠α+∠β和∠β-∠α的度数分别为
( )
A．90°，14°20'40" B．80°，14°20'40"
C．90°，13°20'40" D．80°，15°20'40"
7．（【教与学课程同步讲练】浙教版数学七年级上册6.6角的大小比较）在综合与实践课上，将∠A 与∠B 两个角的关系记为∠A=n∠B(n>0)，探索n的大小与两个角的类型之间的关系，下列说法中，正确的是 ( )
A．当n=2时，若∠A 为锐角，则∠B 为锐角
B．当n=2时，若∠A为钝角，则∠B为钝角
C．当 时，若∠A为锐角，则∠B为锐角
D．当 时，若∠A 为锐角，则∠B 为钝角
8．（2022七下·义乌开学考）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：
①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CD．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
9．（2020七上·重庆月考）已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD=3∠DOE，∠COE= 则∠BOE的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023七上·运城月考）如图，点O为线段AD外一点，点M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论不正确的是（ ）
A．以O为顶点的角共有15个
B．若，，则
C．若M为AB中点，N为CD中点，则
D．若OM平分，ON平分，，则
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2020七上·安丘月考）往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有 种不同的票价（来回票价一样），需准备 种车票．
12．（2023七上·镇海区期末） 已知线段 A B， 延长 A B 至点 ， 使得 ， 量得 ， 则线段 A B 的长是 .
13．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.8.余角和补角（浙教版））如图，已知点M，O，N在同一条直线上，，则 ．
14．（2025八上·龙岗期末）在探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题的项目式学习中，创新小组将两块平面镜AB，BC竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为α（0°＜α＜90°），在同一平面内，用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB，BC两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角度数为β（如图），请你利用数学和物理知识，得到β与α的数量关系为 。
15．（2019·青岛）如图，一个正方体由 27 个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 个小立方块．
16．（2020七上·武汉期末）已知点 都在直线 上， ， 分别为 中点，直线 上所有线段的长度之和为19，则 .
三、解答题（本题共8小题，第17题8分，第18题6分，第19题6分，第20题6分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2025七上·镇海区期末）如图，根据要求使用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）作线段 ，射线 ，直线 ；
（2）请在直线 上画出一点 ，使得 的和最小．
18．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.3~6.4（浙教版））如图，已知线段，，，利用尺规作图法作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
19．如图，已知线段CD，延长线段CD 到点B，使 ，延长DC到点A，使AC=2DB.若AB=8cm，求CD与AD的长.
20．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.8.余角和补角（浙教版））已知点O为直线上一点，，在内部作射线，且恰好平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
21．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.3~6.4（浙教版））在一条直线上有四点，已知点C在线段上，，且．求的长．
22．如图，直线AB，CD相交于点O，MO⊥AB 于点O，∠BOC：∠BON=4：1，OM平分∠NOC.求∠MON，∠BOD 的度数.
23．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.3~6.4（浙教版））如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，．
（1）若，求的长；
（2）若，为的中点，求的长．
24．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.11.角度中的动态模型（浙教版））点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上．
（1）在图1中， ；
（2）如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？
（3）将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】∵两点确定一条直线，
∴至少需要2枚钉子．
故答案为：B．
【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线解答．
2．【答案】B
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】解：因为点C为AB的中点，AB的长为4，
∴
故答案为：B.
【分析】根据中点的定义，AB的长为4，即可求得AC的长.
3．【答案】B
【知识点】平面图形的初步认识；直线、射线、线段
【解析】【解答】解：、∵点在直线外，正确，∴不符合题意；
、∵点在直线上，∴符合题意；
、∵直线不经过点，正确，∴不符合题意；
、∵直线经过点，正确，∴不符合题意．
故答案为：．
【分析】结合图形并利用点与直线的位置关系逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：①直线和直线是同一条直线，正确；
②射线和射线是同一条射线，不正确，二者端点不同；
③线段和线段是同一条线段，正确；
④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线，正确，
综上所述，正确的是①③④．
故答案为：A．
【分析】利用直线、射线和线段的定义及表示方法逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：∵∠BOC与∠COD互余即∠BOC+∠COD=90°，
又∵∠AOB+∠BOC =90°，
∴∠AOB=∠COD.
故答案选：B.
【分析】利用同角的余角相等，可知∠AOB=∠COD.
6．【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠α=37°49'40"，∠β=52°10'20"，
∴∠α+∠β=37°49'40"+52°10'20"
=89°59'60"
=89°60'
=90°，
∠β-∠α =52°10'20"-37°49'40'
=51°69'80"-37°49'40"
=14°20'40"，
故答案选：A.
【分析】根据度分秒的减法，相同单位相减，不够减时向上一单位借1当60再减，根据度分秒的加法，相同单位相加，满60时向上单位进1，可得答案.
7．【答案】A
【知识点】角的分类（直角、锐角和钝角）
【解析】【解答】解：A、∵n=2，∠A=n∠B，
∴∠A=2∠B，
∵∠A为锐角，即0°<∠A<90°，
∴0°<2∠B<90°，
∴0°<∠B<40°，
∴∠B为锐角，故A正确；
B、∵n=2，∠A=n∠B，
∴∠A=2∠B，
∵∠A为钝角，即90°<∠A<180°，
∴90°<2∠B<180°，
∴45°<∠B<90°，
∴∠B为锐角，故B不正确；
CD、∵，∠A=n∠B，
∴，
∵∠A为锐角，即0°<∠A<90°，
∴，
∴0°<∠B<180°，
∴∠B可能是钝角、直角、锐角，故C、D不正确；
故答案为：A.
【分析】根据∠A=n∠B，求出当n=2或，∠A为锐角或钝角时∠B的取值范围，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解： ∵M、N分别是线段AD，BC的中点，∴AM=MD，BN=CN，
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD，
∵AM=MD，
∴AM=MD=BD，
∴AB=AM+MD+BD=3BD，正确；
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN，
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN，正确；
③AC-BD=AM+MC- BN-DN
=(MC-DN)+(AM-BN)
=(MC-DN)+(MD-CN)
=(MC-DN)+(MC+CD-CD-DN)
=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD
=AM+MC+DN+NB
=MD+MC+DN+CN
=MD+DN+MC+CN
=MN+MN
= 2MN.
综上，正确的是 ①②③④ .
故答案为：D.
【分析】根据线段中点的定义得到AM=MD，BN=CN，再结合每项的条件，利用线段间的和差关系分别求解，即可判断.
9．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设∠DOE=x，则∠BOD=3x，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-3x.
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD= ∠AOD= （180°-3x）=90°- x.
∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°- x+x=90°- ，
由题意可得，90°- =m，
解得x=180°-2m，即∠DOE=180°-2m，
∴∠BOE=360°-4m，
故答案为：C.
【分析】设∠DOE=x，则∠BOD=3x，利用邻补角的定义，表示出∠AOD的度数，利用角平分线的定义表示出∠COD的度数，然后根据∠COE=m，建立方程即可求出∠BOE的度数.
10．【答案】B
【知识点】角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
A：以O为顶点的角的个数=×6×5=15，选项正确，不合题意；
B：∵，， ∴ ND=CN+MC ，则CD=CN+ND=CN+MN=CN+CN+MC
=2CN+BC，原选项错误，符合题意；
C：∵M为AB中点，
∴ MB=AB
∵N为CD中点，
∴CN=CD
∴
，则选项正确，不合题意；
D：∵
∴ ∠COB=∠AOD，∠AOC+∠BOD=∠AOD
∵ OM平分
∴ ∠MOC=∠AOC
∵ ON平分，
∴ ∠BON=∠BOD
∴ ∠MOC+∠BON=（∠AOC+∠BOD）=∠AOD，即∠AOM+∠NOD=∠AOD
∴ ∠MON=∠AOD-（∠AOM+∠NOD）=∠AOD
∴ ∠MON：（∠MOC+∠BON）=∠AOD：∠AOD=3：2
则，选项正确，不合题意；
故答案为B
【分析】本题考查角的个数，线段的计算，角平分线的性质，掌握角的个数=×边数×（边数-1），可判断A正确，计算CD，可得B错误，根据中点可得C正确，结合角平分线和比，可知D正确。
11．【答案】10；20
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】此题相当于一条线段上有5个点，①有多少种不同的票价即有多少条线段：4+3+2+1=10.②有多少种车票是要考虑顺序的，则有10×2=20.
答：有10种不同的票价.(来回单价一样)，需要准备20种车票.
故答案为10，20.
【分析】把三个站和甲乙两地看作线段上的5个点，先求出线段条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序，求解即可．
12．【答案】6cm
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，AC=9cm，
∴AB=2BC，
∵AC=AB+BC，
∴AC=AB+BC=2BC+BC=3BC=9cm，
解得：BC=3cm，
∴AB=2BC=6cm，
故答案为：6cm.
【分析】根据题意，线段的和差关系，得出BC的长度，进而得出AB的长度.
13．【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用角的单位换算及角的运算方法分析求解即可.
14．【答案】β+2α=180°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠2，∠5=180°-∠1-∠2
∴∠5=180°-2∠2
同理：∠6=180°-2∠3
∴∠5+∠6=360°-2(∠2+∠3)
∵∠5+∠6=180°-β，∠2+∠3=180°-α
∴180°-β=360°-2(180°-α)，即180°-β=2α
∴β+2α=180°
故答案为：β+2α=180°
【分析】根据角之间的关系即可求出答案.
15．【答案】16
【知识点】几何体的表面积
【解析】【解答】设小立方体的棱长为1，则该正方体的表面积为54；
组合图形中，每个小立方体最多可以露出5个面，
则剩下的小立方块：54÷5=10……4，即为11个，
∴27-11=16
故答案为：16
【分析】若新几何体与原正方体的表面积相等，保证每个小正方体可以露出的面最多，既可求出最多可以取走的小立方块。
16．【答案】 或4
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：若点C在点B左侧时，如下图所示：
∵
∴
∴BC= ，AB=
∵点 分别为 中点
∴AD=DC= ，CE=BE=
∴AE=AC＋CE= ，DE=DC＋CE= ，DB=DC＋CB=AC
∵直线 上所有线段的长度之和为19
∴AD＋AC＋AE＋AB＋DC＋DE＋DB＋CE＋CB＋EB=19
即 ＋AC＋ ＋ ＋ ＋ ＋AC＋ ＋ ＋ =19
解得：AC= ；
若点C在点B右侧时，如下图所示：
∵
∴
∴BC= ，AB=
∵点 分别为 中点
∴AD=DC= ，CE=BE=
∴AE=AC－CE= ，DE=DC－CE= ，DB=DC－CB=
∵直线 上所有线段的长度之和为19
∴AD＋AC＋AE＋AB＋DC＋DE＋DB＋CE＋CB＋EB=19
即 ＋AC＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ =19
解得：AC=
综上所述：AC= 或4.
故答案为： 或4.
【分析】根据点C与点B的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，推出各线段与AC的关系，根据直线 上所有线段的长度之和为19，列出关于AC的方程即可求出AC.
17．【答案】（1）解：如图
（2）解：如上图.
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据线段、直线和射线的定义作图即可；
（2）连接BC交AD与点N，则点N即为所作.
18．【答案】解：如图所示，线段即为所求；
【知识点】尺规作图-线段的和差
【解析】【分析】先作射线，再以A为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于C，再以C为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于D，再以点D为圆心，线段b的长为半径画弧交线段于E，最后以E为圆心，以线段a的长为半径画弧交射线于B，则线段即为所求．
19．【答案】解：因为
所以CD=DB.
又因为AC=2DB，
所以
又因为AB=8cm，
所以
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】由线段的和差运算证明出，，即可得到答案.
20．【答案】（1）解：如图：
，
，
平分，
，
.
（2）解：，平分，
，
，
，
，
，
.
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出∠MOC的度数，再利用角平分线的定义求出∠BOM的度数，最后利用角的运算求出∠AOM的度数即可；
（2）先利用角平分线的定义及等量代换求出，再求出，最后利用角的运算求出∠AOM的度数即可.
21．【答案】解：①当点D在线段上时，如图①．
因为，所以．
因为，所以，所以，所以．
②当点D在线段的延长线上时，如图②．
因为，所以．
因为，所以，所以，所以．
综上所述，的长为或
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】分为点D在线段上和点D在线段的延长线上两种情况画图，然后求出，，然后根据线段的和差用AB表示CD，利用CD=4cm求出AB长即可解题.
22．【答案】解：∵MO⊥AB，
∴∠AOM=∠BOM=90°，
∵OM平分∠NOC，
∴∠COM=∠NOM，
∴∠COA=∠NOB，
∵∠BOC：∠BON=4：1，
∴∠BOC：∠AOC=4：1，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴∠BOC=144°，∠AOC=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°，∠MON=∠BOM-∠BON=54°.
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用角平分线的定义求出∠COM=∠NOM，再结合∠BOC：∠BON=4：1，∠BOC+∠AOC=180°，求出∠BOC=144°，∠AOC=36°，最后利用角的运算求出∠MON，∠BOD的度数即可.
23．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴，
∴
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)根据 可求得 据此即可求得答案；
(2)先求得. 进而可求得. 根据线段中点的定义，可求得 长.
24．【答案】（1）
（2）解：由题意可得，
①当在之内时，由（1）得，，
∵，
∴，即：，
解得：，
②当旋转超过时，如图，
，
∵，
∴，即：，
解得：，
综上所述：或时与垂直；
（3）．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为：15°.
（3）解：由题意可得，如图所示，
设，
∵，
∴，，
∴．
【分析】（1）先利用角的运算求出∠AOC的度数，再利用角平分线的定义求出∠AOD的度数即可；
（2）分类讨论：①当在之内时，②当旋转超过时，先分别画出图形并利用角的运算列出方程求出t的值即可；
（3）设，先求出∠AOM和∠CON的度数，再利用角的运算求出即可．
1 / 1【提升版】浙教版（2024）七上第六章 图形的初步认识 单元测试
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020七上·襄汾期末）在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要钉子的枚数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】∵两点确定一条直线，
∴至少需要2枚钉子．
故答案为：B．
【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线解答．
2．（【奔跑吧期末】假期提升攻略浙教版数学七（上）巩固训练5与线段有关的概念和计算）如图，已知线段AB 的长为4，C 为AB 的中点，则线段AC 的长为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】解：因为点C为AB的中点，AB的长为4，
∴
故答案为：B.
【分析】根据中点的定义，AB的长为4，即可求得AC的长.
3．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.2.线段、射线和直线（浙教版））如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（ ）
A．点在直线外 B．点在直线外
C．直线不经过点 D．直线经过点
【答案】B
【知识点】平面图形的初步认识；直线、射线、线段
【解析】【解答】解：、∵点在直线外，正确，∴不符合题意；
、∵点在直线上，∴符合题意；
、∵直线不经过点，正确，∴不符合题意；
、∵直线经过点，正确，∴不符合题意．
故答案为：．
【分析】结合图形并利用点与直线的位置关系逐项分析判断即可.
4．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.2.线段、射线和直线（浙教版））下列说法正确的有（ ）
①直线和直线是同一条直线；②射线和射线是同一条射线；③线段和线段是同一条线段；④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线.
A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②③
【答案】A
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：①直线和直线是同一条直线，正确；
②射线和射线是同一条射线，不正确，二者端点不同；
③线段和线段是同一条线段，正确；
④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线，正确，
综上所述，正确的是①③④．
故答案为：A．
【分析】利用直线、射线和线段的定义及表示方法逐项分析判断即可.
5．如图，∠AOB+∠BOC=90°，∠BOC与∠COD互余，那么∠AOB 与∠COD的关系是( )
A．∠AOB>∠COD B．∠AOB=∠COD
C．∠AOB<∠COD D．无法确定
【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：∵∠BOC与∠COD互余即∠BOC+∠COD=90°，
又∵∠AOB+∠BOC =90°，
∴∠AOB=∠COD.
故答案选：B.
【分析】利用同角的余角相等，可知∠AOB=∠COD.
6．已知∠α=37°49'40"，∠β=52°10'20"，则∠α+∠β和∠β-∠α的度数分别为
( )
A．90°，14°20'40" B．80°，14°20'40"
C．90°，13°20'40" D．80°，15°20'40"
【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠α=37°49'40"，∠β=52°10'20"，
∴∠α+∠β=37°49'40"+52°10'20"
=89°59'60"
=89°60'
=90°，
∠β-∠α =52°10'20"-37°49'40'
=51°69'80"-37°49'40"
=14°20'40"，
故答案选：A.
【分析】根据度分秒的减法，相同单位相减，不够减时向上一单位借1当60再减，根据度分秒的加法，相同单位相加，满60时向上单位进1，可得答案.
7．（【教与学课程同步讲练】浙教版数学七年级上册6.6角的大小比较）在综合与实践课上，将∠A 与∠B 两个角的关系记为∠A=n∠B(n>0)，探索n的大小与两个角的类型之间的关系，下列说法中，正确的是 ( )
A．当n=2时，若∠A 为锐角，则∠B 为锐角
B．当n=2时，若∠A为钝角，则∠B为钝角
C．当 时，若∠A为锐角，则∠B为锐角
D．当 时，若∠A 为锐角，则∠B 为钝角
【答案】A
【知识点】角的分类（直角、锐角和钝角）
【解析】【解答】解：A、∵n=2，∠A=n∠B，
∴∠A=2∠B，
∵∠A为锐角，即0°<∠A<90°，
∴0°<2∠B<90°，
∴0°<∠B<40°，
∴∠B为锐角，故A正确；
B、∵n=2，∠A=n∠B，
∴∠A=2∠B，
∵∠A为钝角，即90°<∠A<180°，
∴90°<2∠B<180°，
∴45°<∠B<90°，
∴∠B为锐角，故B不正确；
CD、∵，∠A=n∠B，
∴，
∵∠A为锐角，即0°<∠A<90°，
∴，
∴0°<∠B<180°，
∴∠B可能是钝角、直角、锐角，故C、D不正确；
故答案为：A.
【分析】根据∠A=n∠B，求出当n=2或，∠A为锐角或钝角时∠B的取值范围，即可求解.
8．（2022七下·义乌开学考）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：
①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CD．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解： ∵M、N分别是线段AD，BC的中点，∴AM=MD，BN=CN，
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD，
∵AM=MD，
∴AM=MD=BD，
∴AB=AM+MD+BD=3BD，正确；
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN，
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN，正确；
③AC-BD=AM+MC- BN-DN
=(MC-DN)+(AM-BN)
=(MC-DN)+(MD-CN)
=(MC-DN)+(MC+CD-CD-DN)
=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD
=AM+MC+DN+NB
=MD+MC+DN+CN
=MD+DN+MC+CN
=MN+MN
= 2MN.
综上，正确的是 ①②③④ .
故答案为：D.
【分析】根据线段中点的定义得到AM=MD，BN=CN，再结合每项的条件，利用线段间的和差关系分别求解，即可判断.
9．（2020七上·重庆月考）已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD=3∠DOE，∠COE= 则∠BOE的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设∠DOE=x，则∠BOD=3x，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-3x.
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD= ∠AOD= （180°-3x）=90°- x.
∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°- x+x=90°- ，
由题意可得，90°- =m，
解得x=180°-2m，即∠DOE=180°-2m，
∴∠BOE=360°-4m，
故答案为：C.
【分析】设∠DOE=x，则∠BOD=3x，利用邻补角的定义，表示出∠AOD的度数，利用角平分线的定义表示出∠COD的度数，然后根据∠COE=m，建立方程即可求出∠BOE的度数.
10．（2023七上·运城月考）如图，点O为线段AD外一点，点M，C，B，N为AD上任意四点，连接OM，OC，OB，ON，下列结论不正确的是（ ）
A．以O为顶点的角共有15个
B．若，，则
C．若M为AB中点，N为CD中点，则
D．若OM平分，ON平分，，则
【答案】B
【知识点】角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】
A：以O为顶点的角的个数=×6×5=15，选项正确，不合题意；
B：∵，， ∴ ND=CN+MC ，则CD=CN+ND=CN+MN=CN+CN+MC
=2CN+BC，原选项错误，符合题意；
C：∵M为AB中点，
∴ MB=AB
∵N为CD中点，
∴CN=CD
∴
，则选项正确，不合题意；
D：∵
∴ ∠COB=∠AOD，∠AOC+∠BOD=∠AOD
∵ OM平分
∴ ∠MOC=∠AOC
∵ ON平分，
∴ ∠BON=∠BOD
∴ ∠MOC+∠BON=（∠AOC+∠BOD）=∠AOD，即∠AOM+∠NOD=∠AOD
∴ ∠MON=∠AOD-（∠AOM+∠NOD）=∠AOD
∴ ∠MON：（∠MOC+∠BON）=∠AOD：∠AOD=3：2
则，选项正确，不合题意；
故答案为B
【分析】本题考查角的个数，线段的计算，角平分线的性质，掌握角的个数=×边数×（边数-1），可判断A正确，计算CD，可得B错误，根据中点可得C正确，结合角平分线和比，可知D正确。
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2020七上·安丘月考）往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有 种不同的票价（来回票价一样），需准备 种车票．
【答案】10；20
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】此题相当于一条线段上有5个点，①有多少种不同的票价即有多少条线段：4+3+2+1=10.②有多少种车票是要考虑顺序的，则有10×2=20.
答：有10种不同的票价.(来回单价一样)，需要准备20种车票.
故答案为10，20.
【分析】把三个站和甲乙两地看作线段上的5个点，先求出线段条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序，求解即可．
12．（2023七上·镇海区期末） 已知线段 A B， 延长 A B 至点 ， 使得 ， 量得 ， 则线段 A B 的长是 .
【答案】6cm
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，AC=9cm，
∴AB=2BC，
∵AC=AB+BC，
∴AC=AB+BC=2BC+BC=3BC=9cm，
解得：BC=3cm，
∴AB=2BC=6cm，
故答案为：6cm.
【分析】根据题意，线段的和差关系，得出BC的长度，进而得出AB的长度.
13．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.8.余角和补角（浙教版））如图，已知点M，O，N在同一条直线上，，则 ．
【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用角的单位换算及角的运算方法分析求解即可.
14．（2025八上·龙岗期末）在探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题的项目式学习中，创新小组将两块平面镜AB，BC竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为α（0°＜α＜90°），在同一平面内，用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB，BC两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角度数为β（如图），请你利用数学和物理知识，得到β与α的数量关系为 。
【答案】β+2α=180°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠2，∠5=180°-∠1-∠2
∴∠5=180°-2∠2
同理：∠6=180°-2∠3
∴∠5+∠6=360°-2(∠2+∠3)
∵∠5+∠6=180°-β，∠2+∠3=180°-α
∴180°-β=360°-2(180°-α)，即180°-β=2α
∴β+2α=180°
故答案为：β+2α=180°
【分析】根据角之间的关系即可求出答案.
15．（2019·青岛）如图，一个正方体由 27 个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 个小立方块．
【答案】16
【知识点】几何体的表面积
【解析】【解答】设小立方体的棱长为1，则该正方体的表面积为54；
组合图形中，每个小立方体最多可以露出5个面，
则剩下的小立方块：54÷5=10……4，即为11个，
∴27-11=16
故答案为：16
【分析】若新几何体与原正方体的表面积相等，保证每个小正方体可以露出的面最多，既可求出最多可以取走的小立方块。
16．（2020七上·武汉期末）已知点 都在直线 上， ， 分别为 中点，直线 上所有线段的长度之和为19，则 .
【答案】 或4
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：若点C在点B左侧时，如下图所示：
∵
∴
∴BC= ，AB=
∵点 分别为 中点
∴AD=DC= ，CE=BE=
∴AE=AC＋CE= ，DE=DC＋CE= ，DB=DC＋CB=AC
∵直线 上所有线段的长度之和为19
∴AD＋AC＋AE＋AB＋DC＋DE＋DB＋CE＋CB＋EB=19
即 ＋AC＋ ＋ ＋ ＋ ＋AC＋ ＋ ＋ =19
解得：AC= ；
若点C在点B右侧时，如下图所示：
∵
∴
∴BC= ，AB=
∵点 分别为 中点
∴AD=DC= ，CE=BE=
∴AE=AC－CE= ，DE=DC－CE= ，DB=DC－CB=
∵直线 上所有线段的长度之和为19
∴AD＋AC＋AE＋AB＋DC＋DE＋DB＋CE＋CB＋EB=19
即 ＋AC＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ =19
解得：AC=
综上所述：AC= 或4.
故答案为： 或4.
【分析】根据点C与点B的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，推出各线段与AC的关系，根据直线 上所有线段的长度之和为19，列出关于AC的方程即可求出AC.
三、解答题（本题共8小题，第17题8分，第18题6分，第19题6分，第20题6分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2025七上·镇海区期末）如图，根据要求使用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）作线段 ，射线 ，直线 ；
（2）请在直线 上画出一点 ，使得 的和最小．
【答案】（1）解：如图
（2）解：如上图.
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据线段、直线和射线的定义作图即可；
（2）连接BC交AD与点N，则点N即为所作.
18．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.3~6.4（浙教版））如图，已知线段，，，利用尺规作图法作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图所示，线段即为所求；
【知识点】尺规作图-线段的和差
【解析】【分析】先作射线，再以A为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于C，再以C为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于D，再以点D为圆心，线段b的长为半径画弧交线段于E，最后以E为圆心，以线段a的长为半径画弧交射线于B，则线段即为所求．
19．如图，已知线段CD，延长线段CD 到点B，使 ，延长DC到点A，使AC=2DB.若AB=8cm，求CD与AD的长.
【答案】解：因为
所以CD=DB.
又因为AC=2DB，
所以
又因为AB=8cm，
所以
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】由线段的和差运算证明出，，即可得到答案.
20．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.8.余角和补角（浙教版））已知点O为直线上一点，，在内部作射线，且恰好平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：如图：
，
，
平分，
，
.
（2）解：，平分，
，
，
，
，
，
.
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出∠MOC的度数，再利用角平分线的定义求出∠BOM的度数，最后利用角的运算求出∠AOM的度数即可；
（2）先利用角平分线的定义及等量代换求出，再求出，最后利用角的运算求出∠AOM的度数即可.
21．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.3~6.4（浙教版））在一条直线上有四点，已知点C在线段上，，且．求的长．
【答案】解：①当点D在线段上时，如图①．
因为，所以．
因为，所以，所以，所以．
②当点D在线段的延长线上时，如图②．
因为，所以．
因为，所以，所以，所以．
综上所述，的长为或
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】分为点D在线段上和点D在线段的延长线上两种情况画图，然后求出，，然后根据线段的和差用AB表示CD，利用CD=4cm求出AB长即可解题.
22．如图，直线AB，CD相交于点O，MO⊥AB 于点O，∠BOC：∠BON=4：1，OM平分∠NOC.求∠MON，∠BOD 的度数.
【答案】解：∵MO⊥AB，
∴∠AOM=∠BOM=90°，
∵OM平分∠NOC，
∴∠COM=∠NOM，
∴∠COA=∠NOB，
∵∠BOC：∠BON=4：1，
∴∠BOC：∠AOC=4：1，
∵∠BOC+∠AOC=180°，
∴∠BOC=144°，∠AOC=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°，∠MON=∠BOM-∠BON=54°.
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用角平分线的定义求出∠COM=∠NOM，再结合∠BOC：∠BON=4：1，∠BOC+∠AOC=180°，求出∠BOC=144°，∠AOC=36°，最后利用角的运算求出∠MON，∠BOD的度数即可.
23．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.3~6.4（浙教版））如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，．
（1）若，求的长；
（2）若，为的中点，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴，
∴
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)根据 可求得 据此即可求得答案；
(2)先求得. 进而可求得. 根据线段中点的定义，可求得 长.
24．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.11.角度中的动态模型（浙教版））点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上．
（1）在图1中， ；
（2）如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？
（3）将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：由题意可得，
①当在之内时，由（1）得，，
∵，
∴，即：，
解得：，
②当旋转超过时，如图，
，
∵，
∴，即：，
解得：，
综上所述：或时与垂直；
（3）．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为：15°.
（3）解：由题意可得，如图所示，
设，
∵，
∴，，
∴．
【分析】（1）先利用角的运算求出∠AOC的度数，再利用角平分线的定义求出∠AOD的度数即可；
（2）分类讨论：①当在之内时，②当旋转超过时，先分别画出图形并利用角的运算列出方程求出t的值即可；
（3）设，先求出∠AOM和∠CON的度数，再利用角的运算求出即可．
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