1.3解直角三角形（1）——浙教版数学九年级下册同步作业
一、基础练习
1．（2023·西宁）在中，，，，则的长约为 .（结果精确到0.1.参考数据：，，）
2．（2024九上·滦州期中）如图，在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（沪科版九上数学23.2解直角三角形及其应用课时作业（1））如图，在△ABC中，BC=12，tanA= ，∠B=30°；求AC和AB的长．
4．（2024九上·河西期末）请你结合题意，分别画出示意图，并完成解答：
（1）在中，若，若，，求AB的长；
（2）在中，，，求的正弦．
二、综合运用
5．（2023九上·安岳月考）如图，在四边形中，的延长线与的延长线交于点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
6．（【深圳市中考数学备考指南】专题8三角函数实际应用（较难））随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，小区物业部门拟建造一个新的地下停车库．建筑设计师提供了该地下停车库设计图（如图）．按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否驶入．为标明限高，请你根据该图计算CD（精确到0.1m）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，cot20°≈2.75）
7．（2023·温州模拟）如图，在中，于点D，E，F分别为，的中点，G为边上一点，，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】8.0
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∠C=90°，AB=12，∠A=42°，
∴sinA=，
∵ ，
∴BC=≈8.0.
故答案为：8.0.
【分析】根据正弦定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
3．【答案】解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH= BC=6，BH= =6 ，
在Rt△ACH中，tanA= = ，
∴AH=8，
∴AC= =10，
∴AB=AH+BH=8+6 ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 如图作CH⊥AB于H.根据含30°角的直角三角形的性质可得CH= BC=6，利用勾股定理求出BH=6 ，在Rt△ACH中，利用tanA= = ，可求出AH=8，然后利用勾股定理求出AC的长，根据AB=AH+BH即可求出结论.
4．【答案】（1）解：如图，
，，
，
解得
（2）解：如图，过点A作垂足为H，
，
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】(1)先根据题意画出图形，结合已知条件利用代入数据即可求解；
（2）过点A作垂足为H，构造直角三角形，利用勾股定理求出AH的值，从而求解.
5．【答案】（1）解：，
又
，.
（2）解：，
，解得，
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】（1）据题意可知三角形ABE、三角形CDE是直角三角形，，在Rt中，根据即可求得BE=，
在Rt中，根据，可得CE=8，再利用线段的和差即可求得BC的长.
（2）在Rt中，根据 ，AB=6，可得AE=10，利用勾股定理可得BE=8，再根据即可求出DE的长，进而得到AD的长.
6．【答案】解：解：在△ABE中，∠ABE＝90°，∠BAE＝20°
，又，
∴BE＝AB tan∠BAE＝10tan20°≈3.6m，
∵BC＝0.6∴CE＝BE﹣BC＝3m
在△CED中，∵CD⊥AE，∠ECD＝∠BAE＝20°
∴CD＝CE cos∠ECD＝3cos20°≈3×0.94≈2.8m．
故解答为2.8m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据正切函数得到，进而即可求出BE，再根据题意求出CE，从而根据余弦函数结合已知条件即可求出CD.
7．【答案】（1）证明：∵F为边中点，，
∴为斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵E，F分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵，，，
∴设，则，，
∴，∴，
∴．
在中，∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得DF=CF，利用等边对等角可证得∠FDC=∠ACD，可推出∠ACD=∠EGB，利用平行线的判定定理可证得EG∥CF；再利用三角形的中位线定理可证得EF∥BC，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用已知条件设AD=4x，可表示出BD=5x，CD=2x，根据BC的长，可求出x的值，即可得到CD的长；利用平行四边形的性质可得到CG的长，根据GD=CG-CD，代入计算求出GD的长.
1 / 11.3解直角三角形（1）——浙教版数学九年级下册同步作业
一、基础练习
1．（2023·西宁）在中，，，，则的长约为 .（结果精确到0.1.参考数据：，，）
【答案】8.0
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∠C=90°，AB=12，∠A=42°，
∴sinA=，
∵ ，
∴BC=≈8.0.
故答案为：8.0.
【分析】根据正弦定义即可求解.
2．（2024九上·滦州期中）如图，在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
3．（沪科版九上数学23.2解直角三角形及其应用课时作业（1））如图，在△ABC中，BC=12，tanA= ，∠B=30°；求AC和AB的长．
【答案】解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH= BC=6，BH= =6 ，
在Rt△ACH中，tanA= = ，
∴AH=8，
∴AC= =10，
∴AB=AH+BH=8+6 ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 如图作CH⊥AB于H.根据含30°角的直角三角形的性质可得CH= BC=6，利用勾股定理求出BH=6 ，在Rt△ACH中，利用tanA= = ，可求出AH=8，然后利用勾股定理求出AC的长，根据AB=AH+BH即可求出结论.
4．（2024九上·河西期末）请你结合题意，分别画出示意图，并完成解答：
（1）在中，若，若，，求AB的长；
（2）在中，，，求的正弦．
【答案】（1）解：如图，
，，
，
解得
（2）解：如图，过点A作垂足为H，
，
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】(1)先根据题意画出图形，结合已知条件利用代入数据即可求解；
（2）过点A作垂足为H，构造直角三角形，利用勾股定理求出AH的值，从而求解.
二、综合运用
5．（2023九上·安岳月考）如图，在四边形中，的延长线与的延长线交于点．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【答案】（1）解：，
又
，.
（2）解：，
，解得，
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】（1）据题意可知三角形ABE、三角形CDE是直角三角形，，在Rt中，根据即可求得BE=，
在Rt中，根据，可得CE=8，再利用线段的和差即可求得BC的长.
（2）在Rt中，根据 ，AB=6，可得AE=10，利用勾股定理可得BE=8，再根据即可求出DE的长，进而得到AD的长.
6．（【深圳市中考数学备考指南】专题8三角函数实际应用（较难））随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，小区物业部门拟建造一个新的地下停车库．建筑设计师提供了该地下停车库设计图（如图）．按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否驶入．为标明限高，请你根据该图计算CD（精确到0.1m）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，cot20°≈2.75）
【答案】解：解：在△ABE中，∠ABE＝90°，∠BAE＝20°
，又，
∴BE＝AB tan∠BAE＝10tan20°≈3.6m，
∵BC＝0.6∴CE＝BE﹣BC＝3m
在△CED中，∵CD⊥AE，∠ECD＝∠BAE＝20°
∴CD＝CE cos∠ECD＝3cos20°≈3×0.94≈2.8m．
故解答为2.8m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据正切函数得到，进而即可求出BE，再根据题意求出CE，从而根据余弦函数结合已知条件即可求出CD.
7．（2023·温州模拟）如图，在中，于点D，E，F分别为，的中点，G为边上一点，，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵F为边中点，，
∴为斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵E，F分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵，，，
∴设，则，，
∴，∴，
∴．
在中，∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得DF=CF，利用等边对等角可证得∠FDC=∠ACD，可推出∠ACD=∠EGB，利用平行线的判定定理可证得EG∥CF；再利用三角形的中位线定理可证得EF∥BC，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用已知条件设AD=4x，可表示出BD=5x，CD=2x，根据BC的长，可求出x的值，即可得到CD的长；利用平行四边形的性质可得到CG的长，根据GD=CG-CD，代入计算求出GD的长.
1 / 1
