第2章 直线与圆的位置关系 复习题——浙教版数学九年级下册同步作业
一、A组
1．如图， 已知 的半径为 1 ， 点 是 外一点， 且 ． 若 是 的切线， 为切点， 连接 ， 则
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线， 为切点，
∴∠OTP=90°.
∵， 的半径为 1 ，
∴PT=
故答案为：.
【分析】先说明∠OTP=90°，再利用勾股定理求出PT.
2． 下图所示的网格由边长为 1 的小正方形组成， 点 在直角坐标系中的坐标分别为 ， 则 内心的坐标为 .
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，作的内角平分线交于点（2，3），
∴内心的坐标为（2，3），
故答案为：（2，3）.
【分析】根据三角形内切圆圆心是三角形内角平分线的交点作图，即可求解.
3．（2024九上·昌黎期末）在中，，，，则下列三角函数值不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；求正弦值；求余弦值；求正切值
【解析】【解答】解：，
，
，，，．
故答案为：C
【分析】根据勾股定理可得AB=13，再根据锐角三角函数定义即可求出答案.
4．（2018九上·海淀月考）如图，在直角坐标系中， 的圆心A的坐标为 ，半径为1，点P为直线 上的动点，过点P作 的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
【答案】2
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作 直线 ，垂足为P，作 的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，
的坐标为 ，
设直线与x轴，y轴分别交于C，B，
， ，
， ，
，
，
在 与 中， ，
≌ ，
，
．
，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为 ．
【分析】如图，作 直线 ，垂足为P，作 的切线PQ，切点为Q，在图中根据沟谷定理计算得到BC的长度，根据三角形全等的判定定理得到AP和OB的长度，根据勾股定理得到PQ的值，得到答案。
5．（2023九上·临洮月考） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE=AB．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若DE=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）解：如图，连接.
∵是的切线，
∴.
又∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
又∵在中，，
∴.∴.
∴.
∴.
（2）解：设的半径为，
在中，∵，∴.
∴.∴.
∴.
∴的半径是2．.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1） 连接. 由切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，再利用直角三角形两锐角互余求出∠E、∠AOB的度数，最后根据圆周角定理即可求解；
（2）设的半径为，再根据含30°角直角三角形的性质可得OE=2OA，据此列出关于r方程并解之即可.
6．（2024·瑞昌模拟）如图，AB是的直径，点E在上，连接AE和BE，BC平分交于点C，过点C作交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）判断直线CD与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长（结果保留）．
【答案】（1）解：CD是的切线．
理由：如图，连接OC．
∵，∴．
∴BC平分，∴．
∴．∴．
∵，∴．
∵OC是半径，
∴CD是的切线．
（2）解：在中，由，，
可知．∴．
由（1）知，，
∴．
如图，连接AC．
∵AB是的直径，∴．
在中，由，可知．
由勾股定理，得，即．
解得（负值舍去）．
∴的长
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，利用OC=OB得∠OCB=∠OBC，结合角平分线的定义可得∠OCB=∠CBE，根据平行线的判定可得OC∥BD，根据平行线的性质证明OC⊥CD即可；
（2）在直角三角形BCD中，利用三角函数可得∠CBD=30°，连接AC，根据直径的性质可得∠ACB=90°，根据30°直角三角形的性质可得AC与AB的关系，利用勾股定理求出AB的长，根据弧长公式即可得到结论．
二、B组
7．（2023九上·石家庄期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B，CE切⊙O于E，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是 cm．
【答案】24
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】 连接OA，则OA=5
PA，PB分别与⊙O相切于A，B，PO＝13
∴PA⊥OA
∴∠OAP=90°
∴
∵CE切⊙O于E
∴CD=AD，CE=BE
∴PD+DE+PE=PD+CD+CE+PE
=PD+AD+BE+PE
=PA+PB
=24
∴△PDE的周长为24
故答案为：24
【分析】连接OA，由切线性质可得∠OAP=90°，根据勾股定理可得，再根据切线长定理可得CD=AD，CE=BE，再进行边之间的转换即可求出答案.
8．（2024九上·广水期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图，筒车与水面分别交于点，，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒．接水槽所在的直线是的切线，且与直线交于点，当点恰好在所在的直线上时．解决下面的问题：
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
所在的直线是的切线，点恰好在所在的直线上，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，，，
，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用切线的性质可得，即，再利用角的运算和等量代换可得，再结合，证出即可；
（2）先证出，可得，再将数据代入求出，再利用线段的和差求出AP的长，最后求出即可.
三、C组
9．（2024九上·楚雄期末）如图，、是切线，切点为B、C，连接，若是等边三角形，弦所对的圆周角为 ．
【答案】60或120
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：在弦所对优弧和劣弧上取点和，连接，，，，，，
，分别与圆相切于和，
半径，半径，
，
是等边三角形，
，
，
，，
弦所对的圆周角为或．
故答案为：60或120．
【分析】在弦所对优弧和劣弧上取点和，连接，，，，，，由切线性质可得，再根据等边三角形的性质可得，由四边形内角和，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可求出答案.
10．（2024九上·馆陶期末）题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
【答案】D
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：，，
，
斜边上的高为：，
当时，图如图所示：
，
此时在圆内部，与只有一个交点，
当时，图如图所示：
，
此时与只有一个交点，
当时，如图所示：
，
此时与只有一个交点，
三人的答案合在一起才完整，
故答案为：D
【分析】结合题意并运用勾股定理可得，根据面积桥的方法可求得斜边上的高为，进而运用直线与圆的位置关系结合“甲答：．乙答：．丙答：”分别画出三种情况对应的图形，逐一进行判断即可求解。
11．（2020九上·金乡期末）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 .
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴ ，
∴①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴ ，∴②，
任务：
（1）观察发现： ， (用含R，d的代数式表示)；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.
【答案】（1）R-d
（2）解：BD=ID，理由如下：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=ID；
（3）解：由(2)知：BD=ID，
又 ， ，
∴DE·IF=IM·IN，
∴ ，
∴
∴ ；
（4）
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】(1)∵O、I、N三点共线，
∴OI+IN＝ON，
∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，
故答案为R﹣d；
(4)由(3)知： ，
把R=5，r=2代入得： ，
∵d>0，
∴ ，
故答案为 .
【分析】（1）观察得出等式，再变形即可；
（2）只要证明 ∠BID=∠DBI， 由三角形的内心性质即可得出结论；
（3）由式子 ①和式子② ，并利用任务（1）、（2）的结论，对等式适当变形即可；
（4）利用（3）中的距离，直接将数值代入计算即可。
1 / 1第2章 直线与圆的位置关系 复习题——浙教版数学九年级下册同步作业
一、A组
1．如图， 已知 的半径为 1 ， 点 是 外一点， 且 ． 若 是 的切线， 为切点， 连接 ， 则
2． 下图所示的网格由边长为 1 的小正方形组成， 点 在直角坐标系中的坐标分别为 ， 则 内心的坐标为 .
3．（2024九上·昌黎期末）在中，，，，则下列三角函数值不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2018九上·海淀月考）如图，在直角坐标系中， 的圆心A的坐标为 ，半径为1，点P为直线 上的动点，过点P作 的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
5．（2023九上·临洮月考） 如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE=AB．
（1）求∠ACB的度数；
（2）若DE=2，求⊙O的半径．
6．（2024·瑞昌模拟）如图，AB是的直径，点E在上，连接AE和BE，BC平分交于点C，过点C作交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）判断直线CD与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长（结果保留）．
二、B组
7．（2023九上·石家庄期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B，CE切⊙O于E，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是 cm．
8．（2024九上·广水期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图，筒车与水面分别交于点，，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒．接水槽所在的直线是的切线，且与直线交于点，当点恰好在所在的直线上时．解决下面的问题：
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
三、C组
9．（2024九上·楚雄期末）如图，、是切线，切点为B、C，连接，若是等边三角形，弦所对的圆周角为 ．
10．（2024九上·馆陶期末）题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
11．（2020九上·金乡期末）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 .
如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，
∴△MDI∽△ANI，
∴ ，
∴①，
如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，
∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，
∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA，
∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，
∴△AIF∽△EDB，
∴ ，∴②，
任务：
（1）观察发现： ， (用含R，d的代数式表示)；
（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；
（3）请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；
（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线， 为切点，
∴∠OTP=90°.
∵， 的半径为 1 ，
∴PT=
故答案为：.
【分析】先说明∠OTP=90°，再利用勾股定理求出PT.
2．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，作的内角平分线交于点（2，3），
∴内心的坐标为（2，3），
故答案为：（2，3）.
【分析】根据三角形内切圆圆心是三角形内角平分线的交点作图，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；求正弦值；求余弦值；求正切值
【解析】【解答】解：，
，
，，，．
故答案为：C
【分析】根据勾股定理可得AB=13，再根据锐角三角函数定义即可求出答案.
4．【答案】2
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作 直线 ，垂足为P，作 的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，
的坐标为 ，
设直线与x轴，y轴分别交于C，B，
， ，
， ，
，
，
在 与 中， ，
≌ ，
，
．
，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为 ．
【分析】如图，作 直线 ，垂足为P，作 的切线PQ，切点为Q，在图中根据沟谷定理计算得到BC的长度，根据三角形全等的判定定理得到AP和OB的长度，根据勾股定理得到PQ的值，得到答案。
5．【答案】（1）解：如图，连接.
∵是的切线，
∴.
又∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
又∵在中，，
∴.∴.
∴.
∴.
（2）解：设的半径为，
在中，∵，∴.
∴.∴.
∴.
∴的半径是2．.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1） 连接. 由切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，再利用直角三角形两锐角互余求出∠E、∠AOB的度数，最后根据圆周角定理即可求解；
（2）设的半径为，再根据含30°角直角三角形的性质可得OE=2OA，据此列出关于r方程并解之即可.
6．【答案】（1）解：CD是的切线．
理由：如图，连接OC．
∵，∴．
∴BC平分，∴．
∴．∴．
∵，∴．
∵OC是半径，
∴CD是的切线．
（2）解：在中，由，，
可知．∴．
由（1）知，，
∴．
如图，连接AC．
∵AB是的直径，∴．
在中，由，可知．
由勾股定理，得，即．
解得（负值舍去）．
∴的长
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，利用OC=OB得∠OCB=∠OBC，结合角平分线的定义可得∠OCB=∠CBE，根据平行线的判定可得OC∥BD，根据平行线的性质证明OC⊥CD即可；
（2）在直角三角形BCD中，利用三角函数可得∠CBD=30°，连接AC，根据直径的性质可得∠ACB=90°，根据30°直角三角形的性质可得AC与AB的关系，利用勾股定理求出AB的长，根据弧长公式即可得到结论．
7．【答案】24
【知识点】勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】 连接OA，则OA=5
PA，PB分别与⊙O相切于A，B，PO＝13
∴PA⊥OA
∴∠OAP=90°
∴
∵CE切⊙O于E
∴CD=AD，CE=BE
∴PD+DE+PE=PD+CD+CE+PE
=PD+AD+BE+PE
=PA+PB
=24
∴△PDE的周长为24
故答案为：24
【分析】连接OA，由切线性质可得∠OAP=90°，根据勾股定理可得，再根据切线长定理可得CD=AD，CE=BE，再进行边之间的转换即可求出答案.
8．【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
所在的直线是的切线，点恰好在所在的直线上，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，，，
，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）利用切线的性质可得，即，再利用角的运算和等量代换可得，再结合，证出即可；
（2）先证出，可得，再将数据代入求出，再利用线段的和差求出AP的长，最后求出即可.
9．【答案】60或120
【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：在弦所对优弧和劣弧上取点和，连接，，，，，，
，分别与圆相切于和，
半径，半径，
，
是等边三角形，
，
，
，，
弦所对的圆周角为或．
故答案为：60或120．
【分析】在弦所对优弧和劣弧上取点和，连接，，，，，，由切线性质可得，再根据等边三角形的性质可得，由四边形内角和，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：，，
，
斜边上的高为：，
当时，图如图所示：
，
此时在圆内部，与只有一个交点，
当时，图如图所示：
，
此时与只有一个交点，
当时，如图所示：
，
此时与只有一个交点，
三人的答案合在一起才完整，
故答案为：D
【分析】结合题意并运用勾股定理可得，根据面积桥的方法可求得斜边上的高为，进而运用直线与圆的位置关系结合“甲答：．乙答：．丙答：”分别画出三种情况对应的图形，逐一进行判断即可求解。
11．【答案】（1）R-d
（2）解：BD=ID，理由如下：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，
∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∴∠BID=∠DBI，
∴BD=ID；
（3）解：由(2)知：BD=ID，
又 ， ，
∴DE·IF=IM·IN，
∴ ，
∴
∴ ；
（4）
【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】(1)∵O、I、N三点共线，
∴OI+IN＝ON，
∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，
故答案为R﹣d；
(4)由(3)知： ，
把R=5，r=2代入得： ，
∵d>0，
∴ ，
故答案为 .
【分析】（1）观察得出等式，再变形即可；
（2）只要证明 ∠BID=∠DBI， 由三角形的内心性质即可得出结论；
（3）由式子 ①和式子② ，并利用任务（1）、（2）的结论，对等式适当变形即可；
（4）利用（3）中的距离，直接将数值代入计算即可。
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