1.3解直角三角形（3）——浙教版数学九年级下册同步作业
1．教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC=90°，黑板上投影图像的高度AB=120cm，CB与AB的夹角∠B=33.7°，则AC的长 cm（结果精确到1cm，参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）.
【答案】80
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠B=33.7° ， AB=120cm ，
∴AC=ABtan33.7°≈80cm，
故答案为：80.
【分析】利用正切三角函数的定义就可以求出AC的长度.
2．如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12'，点C的俯角为43°24'.求这两幢楼的高度(精确到0.1m，参考数据：≈0.576，tan35°12'≈0.705).
【答案】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠FAC=43°24'，
∴∠BAC=90°-∠FAC=90°-43°24'=46°36'，
∵∠B=90°，
∴AB=BC÷tan∠BAC=BC÷tan46°36'=32.6÷1.06≈30.8（m），
在Rt△ADE中，AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12'≈23.0（m），
∴BE=CD=AB-AE=30.8-23.0=7.8（m）；
故建筑物AB的高约为30.8m、CD的高约为7.8m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过D作DE⊥AB于E，根据题意构造直角三角形；求得∠BAC=46°36'，根据正切三角函数的定义可求出AB和AE的值，根据BE=CD=AB-AE即可求解.
3．（2024·义乌模拟）如图，道路旁的一处测速仪A到道路BC的距离为，检测角，线段BC为监测范围.已知AB与道路BC的夹角为.
（1）求监测范围BC的长.
（2）如果道路BC的限速为90千米/时，一辆汽车通过BC段的时间为1.8秒，请你判断该车是否超速，并说明理由.
(参考数据：)
【答案】（1）解：过点A作AD⊥BC于点D，如图：
由题意得：AD=8.8m，∠BAC=35°，∠ABC=10°.
∴∠ACD=∠ABC+∠BAC=45°.
∴DC=DA=8.8m.
∴，
∴
∴BC=BD-DC=50－8.8=41.2（m）
故监测范围BC的长为41.2m.
（2）解：没有超速，利用如下：
根据题意BC段限速为90km/h=25m/s.
汽车的速度为：41.2÷1.8≈22.9m/s<25m/s，
故汽车没有超速.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，证明AD=DC=8.8m，再解直角三角形求得BD的长，BD－DC即可得到结论.
（2）计算出汽车的行驶速度和给定的限速比较，即可得到结论.
4．（2023九上·河北月考）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上
（1）求的度数；
（2）已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【答案】（1）解：由题意得，，，
，
（2）解：由可知，
海里，
过点作于点，在中，
海里，
，
海监船继续向正东方向航行是安全的．
【知识点】三角形的外角性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB，∠PBA的度数，利用三角形的外角定理即可求解；
（2）过点P作 于点D，在 中，求出PD的值加以比较即可得出结论.
5．（2018九上·丰台期末）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.
（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
【答案】解：由题意得，四边形ACDB，ACEN为矩形，
∴EN=AC=1.5，AB=CD=15，
在 中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，
∴∠EMD＝∠MDE＝45°，∴ME＝DE，
设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，
在 中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意可知四边形ACDB，ACEN为矩形，根据矩形的性质得出EN、DC的长，再根据已知证明△MED是等腰直角三角形，得出ME＝DE＝x，从而表示出EC的长，然后在Rt△MEC中，根据ME=EC tan∠MCE ，求出ME的长，根据MN=ME+EN，计算即可得出答案。
6．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30° ，看这栋楼底部的俯角为60° ，热气球A处与高楼的水平距离为120m．
（1）求∠ABC的角度；
（2）这栋高楼有多高？（结果保留根号）
【答案】（1）解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
（2）解：在RtΔABD中，
在Rt中，
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意进行角的运算得到∠ABC的度数；
（2）根据正切函数即可得到BD，进而根据特殊角的三角函数值结合正切函数即可求出CD，再根据BC=BD+CD即可求解。
1 / 11.3解直角三角形（3）——浙教版数学九年级下册同步作业
1．教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC=90°，黑板上投影图像的高度AB=120cm，CB与AB的夹角∠B=33.7°，则AC的长 cm（结果精确到1cm，参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）.
2．如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12'，点C的俯角为43°24'.求这两幢楼的高度(精确到0.1m，参考数据：≈0.576，tan35°12'≈0.705).
3．（2024·义乌模拟）如图，道路旁的一处测速仪A到道路BC的距离为，检测角，线段BC为监测范围.已知AB与道路BC的夹角为.
（1）求监测范围BC的长.
（2）如果道路BC的限速为90千米/时，一辆汽车通过BC段的时间为1.8秒，请你判断该车是否超速，并说明理由.
(参考数据：)
4．（2023九上·河北月考）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上
（1）求的度数；
（2）已知在灯塔的周围海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
5．（2018九上·丰台期末）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.
（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
6．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30° ，看这栋楼底部的俯角为60° ，热气球A处与高楼的水平距离为120m．
（1）求∠ABC的角度；
（2）这栋高楼有多高？（结果保留根号）
答案解析部分
1．【答案】80
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠B=33.7° ， AB=120cm ，
∴AC=ABtan33.7°≈80cm，
故答案为：80.
【分析】利用正切三角函数的定义就可以求出AC的长度.
2．【答案】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠FAC=43°24'，
∴∠BAC=90°-∠FAC=90°-43°24'=46°36'，
∵∠B=90°，
∴AB=BC÷tan∠BAC=BC÷tan46°36'=32.6÷1.06≈30.8（m），
在Rt△ADE中，AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12'≈23.0（m），
∴BE=CD=AB-AE=30.8-23.0=7.8（m）；
故建筑物AB的高约为30.8m、CD的高约为7.8m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过D作DE⊥AB于E，根据题意构造直角三角形；求得∠BAC=46°36'，根据正切三角函数的定义可求出AB和AE的值，根据BE=CD=AB-AE即可求解.
3．【答案】（1）解：过点A作AD⊥BC于点D，如图：
由题意得：AD=8.8m，∠BAC=35°，∠ABC=10°.
∴∠ACD=∠ABC+∠BAC=45°.
∴DC=DA=8.8m.
∴，
∴
∴BC=BD-DC=50－8.8=41.2（m）
故监测范围BC的长为41.2m.
（2）解：没有超速，利用如下：
根据题意BC段限速为90km/h=25m/s.
汽车的速度为：41.2÷1.8≈22.9m/s<25m/s，
故汽车没有超速.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，证明AD=DC=8.8m，再解直角三角形求得BD的长，BD－DC即可得到结论.
（2）计算出汽车的行驶速度和给定的限速比较，即可得到结论.
4．【答案】（1）解：由题意得，，，
，
（2）解：由可知，
海里，
过点作于点，在中，
海里，
，
海监船继续向正东方向航行是安全的．
【知识点】三角形的外角性质；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）在△ABP中，求出∠PAB，∠PBA的度数，利用三角形的外角定理即可求解；
（2）过点P作 于点D，在 中，求出PD的值加以比较即可得出结论.
5．【答案】解：由题意得，四边形ACDB，ACEN为矩形，
∴EN=AC=1.5，AB=CD=15，
在 中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，
∴∠EMD＝∠MDE＝45°，∴ME＝DE，
设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，
在 中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意可知四边形ACDB，ACEN为矩形，根据矩形的性质得出EN、DC的长，再根据已知证明△MED是等腰直角三角形，得出ME＝DE＝x，从而表示出EC的长，然后在Rt△MEC中，根据ME=EC tan∠MCE ，求出ME的长，根据MN=ME+EN，计算即可得出答案。
6．【答案】（1）解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
（2）解：在RtΔABD中，
在Rt中，
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意进行角的运算得到∠ABC的度数；
（2）根据正切函数即可得到BD，进而根据特殊角的三角函数值结合正切函数即可求出CD，再根据BC=BD+CD即可求解。
1 / 1
