第1章 解直角三角形 复习题——浙教版数学九年级下册同步作业
一、A组
1．（2024九上·阜平期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6m，则旗杆AC的高度为 m．
3．（2024九上·岳阳期末） 某滑雪运动员沿坡比为1∶的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为 米.
4．（2024九上·兰溪期中）计算：
（1）；
（2）若α是锐角，且，求的值．
5．为了方便行人推车过天桥，某相关部门在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道(如图).求斜道的坡角(精确到).
6．求下列三角函数的值（精确到0.0001)：
（1）.
（2）.
（3）.
7． 如图 ， 锐角三角形 内接于 是劣弧 上一点， 与 相交于点 ， 且 ．
（1）求证： 是等腰三角形．
（2）若 ， 求 的半径长和劣弧 的长．
二、B组
8．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F处，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内，请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到1m，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73).
9．（2024·上城模拟）光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知∠1＝53°，液面高度CF为12 cm，正方形ABCD的边长为30 cm．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求PE的长；
（2）求该液体（介质）的折射率n．
三、C组
10．（【深圳市中考数学备考指南】专题8三角函数实际应用（较难））如图，海岛A为物资供应处，海上事务处理中心B在海岛A的南偏西63.4° 方向．一艘渔船在行驶到B岛正东方向30海里的点C处时发生故障，同时向A、B发出求助信号，此时渔船在A岛南偏东53.1° 位置．（参考数据，
（1）求C点到岛的距离；
（2）在收到求助信号后，A、B两岛同时派人员出发增援，由于A岛所派快艇装运物资较多，速度比B岛所派快艇慢25海里/小时，若两岛派出的快艇同时到达C处，求A处所派快艇的速度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由正弦的定义得：sinB=，
故答案为：C.
【分析】正弦就是对边与斜边的比值，据此求解。
2．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，BC=6，
∴m，
故答案为：.
【分析】解直角三角形求出的值即可.
3．【答案】15
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡度比为，
∴，
∴ ，
由题意的运动员沿斜坡滑下30米，
∴其下降的高度米．
故答案为：15
【分析】根据题意解直角三角形即可求解。
4．【答案】（1）解：
；
（2）解：如图，中，，，
∵，
∴令，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）由特殊角的三角函数值可得tan45°=1，sin60°=，cos30°=，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）由，令，，由勾股定理可将AC用含x的代数式表示出来，然后根据锐角三角函数的定义“cosα=”计算即可求出的值．
（1）解：
；
（2）解：如图，中，，，
∵，
∴令，
∴，
∴．
5．【答案】解：∵AB⊥BC，AC=40m，BC=10m，
∴，
∴.
【知识点】计算器—三角函数；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】先利用正弦的定义式，求出，再利用计算器求出.
6．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】计算器—三角函数；近似数与准确数
【解析】【分析】(1)利用特殊锐角的三角函数值，再求近似值；
（2）（3）利用计算器计算，写出计算结果，再近似值.
7．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∴，即，
∴∠ACB=∠CBD.
∴ 是等腰三角形．
（2）解：连接AO并延长，交于点F，连接BF，如图所示：
∴∠C=∠F.
∵AF是直径，
∴∠ABF=90°.
∴，
∴∠F=∠C=30°.
∴AF=2AB=8.
∴AO=FO=4.
∵，
∴.
的半径长是 4 ， 劣弧 的长是 .
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据“圆心角，弧，弦”的关系得，于是可得，根据圆周角定理推论得∠ACB=∠CBD，结论可证.
（2）连接AO并延长，交于点F，连接BF，根据圆周角定理推论可得∠C=∠F，求出∠F=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边长的一半可求出直径，从而得半径长，再求出弧AB对应的圆心角度数，即可利用弧长公式求长，从而得劣弧的长．
8．【答案】解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，如图：
则AG=60m，GH=AC，∠AGO=∠EHO=90°，
在Rt△AGO中，∠AOG=70°，
∴（m），
∵∠HFE=∠OEF+∠FOE，
∴∠OEF=∠HFE-∠FOE=30°；
∴∠FOE=∠OEF=30°，
∴OF=EF=24m，
在Rt△EFH中，∠HFE=60°，
∴（m），
∴AC=GH=OG+OF+FH=21.8+24+12≈58（m），
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，根据∠AOG的正切三角函数的定义求出OG的长，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠OEF=30°，根据等角对等边可得OF=EF=24m，根据∠HFE的余弦三角函数的定义求出FH的长，根据AC=GH=OG+OF+FH进行计算即可.
9．【答案】（1）解：∵正方形ABCD，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB//CD，
由题意可知EF//BC，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴□BCFE为矩形，
∴∠AEF＝∠EFC＝90°，BE＝CF=12，BC＝EF＝30，
∴AE＝AB－BE＝18，
∵GH为法线，
∴AB//GH//AC，
∴∠1＝∠EAB，
∴tan∠EAB＝＝，
∴PE＝24 cm．
（2）解：由（1）知PE＝24，EF＝30，
∴PF＝6，
∴在Rt△PFC中有PC＝，
∵GH//AC，
∴sin∠2＝sin∠PCF＝，
∴n＝．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到：进而可证明：四边形BCFE为平行四边形，且四边形BCFE为矩形，则据此求出AE的长度，根据GH为法线，则进而得到：最后利用锐角的三角函数的定义即可求出PE的长度；
（2）结合（1）可知：即可求出PF的长度，然后根据题意和三角函数的定义得到：最后根据折射率的计算公式计算即可.
10．【答案】（1）解：过点A作AD⊥ BC于D，
设AD为x海里，
在Rt中，，
则（海里），（海里），
在Rt中，，
则，
由题意得，，
解得，，
（海里），
则点到岛的距离AC约为15海里；
（2）解：设处所派快艇的速度为海里／小时，则处所派快艇的速度为海里／小时，由题意得，，
解得，，
经检验，是原方程的根，
答：处所派快艇的速度为25海里／小时．
【知识点】分式方程的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥ BC于D，设AD为x海里，根据正切函数和余弦函数即可表示出CD和AC，进而即可得到BD，再根据题意求出x，从而即可求解；
（2）设处所派快艇的速度为海里／小时，则处所派快艇的速度为海里／小时，根据题意列出分式方程，进而解方程，最后检验即可求解。
1 / 1第1章 解直角三角形 复习题——浙教版数学九年级下册同步作业
一、A组
1．（2024九上·阜平期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由正弦的定义得：sinB=，
故答案为：C.
【分析】正弦就是对边与斜边的比值，据此求解。
2．（2024·南通）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6m，则旗杆AC的高度为 m．
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，BC=6，
∴m，
故答案为：.
【分析】解直角三角形求出的值即可.
3．（2024九上·岳阳期末） 某滑雪运动员沿坡比为1∶的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为 米.
【答案】15
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡度比为，
∴，
∴ ，
由题意的运动员沿斜坡滑下30米，
∴其下降的高度米．
故答案为：15
【分析】根据题意解直角三角形即可求解。
4．（2024九上·兰溪期中）计算：
（1）；
（2）若α是锐角，且，求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：如图，中，，，
∵，
∴令，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）由特殊角的三角函数值可得tan45°=1，sin60°=，cos30°=，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）由，令，，由勾股定理可将AC用含x的代数式表示出来，然后根据锐角三角函数的定义“cosα=”计算即可求出的值．
（1）解：
；
（2）解：如图，中，，，
∵，
∴令，
∴，
∴．
5．为了方便行人推车过天桥，某相关部门在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道(如图).求斜道的坡角(精确到).
【答案】解：∵AB⊥BC，AC=40m，BC=10m，
∴，
∴.
【知识点】计算器—三角函数；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】先利用正弦的定义式，求出，再利用计算器求出.
6．求下列三角函数的值（精确到0.0001)：
（1）.
（2）.
（3）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】计算器—三角函数；近似数与准确数
【解析】【分析】(1)利用特殊锐角的三角函数值，再求近似值；
（2）（3）利用计算器计算，写出计算结果，再近似值.
7． 如图 ， 锐角三角形 内接于 是劣弧 上一点， 与 相交于点 ， 且 ．
（1）求证： 是等腰三角形．
（2）若 ， 求 的半径长和劣弧 的长．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∴，即，
∴∠ACB=∠CBD.
∴ 是等腰三角形．
（2）解：连接AO并延长，交于点F，连接BF，如图所示：
∴∠C=∠F.
∵AF是直径，
∴∠ABF=90°.
∴，
∴∠F=∠C=30°.
∴AF=2AB=8.
∴AO=FO=4.
∵，
∴.
的半径长是 4 ， 劣弧 的长是 .
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据“圆心角，弧，弦”的关系得，于是可得，根据圆周角定理推论得∠ACB=∠CBD，结论可证.
（2）连接AO并延长，交于点F，连接BF，根据圆周角定理推论可得∠C=∠F，求出∠F=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边长的一半可求出直径，从而得半径长，再求出弧AB对应的圆心角度数，即可利用弧长公式求长，从而得劣弧的长．
二、B组
8．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F处，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内，请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到1m，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73).
【答案】解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，如图：
则AG=60m，GH=AC，∠AGO=∠EHO=90°，
在Rt△AGO中，∠AOG=70°，
∴（m），
∵∠HFE=∠OEF+∠FOE，
∴∠OEF=∠HFE-∠FOE=30°；
∴∠FOE=∠OEF=30°，
∴OF=EF=24m，
在Rt△EFH中，∠HFE=60°，
∴（m），
∴AC=GH=OG+OF+FH=21.8+24+12≈58（m），
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，根据∠AOG的正切三角函数的定义求出OG的长，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠OEF=30°，根据等角对等边可得OF=EF=24m，根据∠HFE的余弦三角函数的定义求出FH的长，根据AC=GH=OG+OF+FH进行计算即可.
9．（2024·上城模拟）光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知∠1＝53°，液面高度CF为12 cm，正方形ABCD的边长为30 cm．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求PE的长；
（2）求该液体（介质）的折射率n．
【答案】（1）解：∵正方形ABCD，
∴∠B＝∠BCD＝90°，AB//CD，
由题意可知EF//BC，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴□BCFE为矩形，
∴∠AEF＝∠EFC＝90°，BE＝CF=12，BC＝EF＝30，
∴AE＝AB－BE＝18，
∵GH为法线，
∴AB//GH//AC，
∴∠1＝∠EAB，
∴tan∠EAB＝＝，
∴PE＝24 cm．
（2）解：由（1）知PE＝24，EF＝30，
∴PF＝6，
∴在Rt△PFC中有PC＝，
∵GH//AC，
∴sin∠2＝sin∠PCF＝，
∴n＝．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到：进而可证明：四边形BCFE为平行四边形，且四边形BCFE为矩形，则据此求出AE的长度，根据GH为法线，则进而得到：最后利用锐角的三角函数的定义即可求出PE的长度；
（2）结合（1）可知：即可求出PF的长度，然后根据题意和三角函数的定义得到：最后根据折射率的计算公式计算即可.
三、C组
10．（【深圳市中考数学备考指南】专题8三角函数实际应用（较难））如图，海岛A为物资供应处，海上事务处理中心B在海岛A的南偏西63.4° 方向．一艘渔船在行驶到B岛正东方向30海里的点C处时发生故障，同时向A、B发出求助信号，此时渔船在A岛南偏东53.1° 位置．（参考数据，
（1）求C点到岛的距离；
（2）在收到求助信号后，A、B两岛同时派人员出发增援，由于A岛所派快艇装运物资较多，速度比B岛所派快艇慢25海里/小时，若两岛派出的快艇同时到达C处，求A处所派快艇的速度．
【答案】（1）解：过点A作AD⊥ BC于D，
设AD为x海里，
在Rt中，，
则（海里），（海里），
在Rt中，，
则，
由题意得，，
解得，，
（海里），
则点到岛的距离AC约为15海里；
（2）解：设处所派快艇的速度为海里／小时，则处所派快艇的速度为海里／小时，由题意得，，
解得，，
经检验，是原方程的根，
答：处所派快艇的速度为25海里／小时．
【知识点】分式方程的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥ BC于D，设AD为x海里，根据正切函数和余弦函数即可表示出CD和AC，进而即可得到BD，再根据题意求出x，从而即可求解；
（2）设处所派快艇的速度为海里／小时，则处所派快艇的速度为海里／小时，根据题意列出分式方程，进而解方程，最后检验即可求解。
1 / 1
