1.3解直角三角形（2）——浙教版数学九年级下册同步作业
一、基础练习
1．（2024九上·祁阳期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是 ．
【答案】20米
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图：AC⊥BC，AC=10
在Rt△ABC中，
∴∠B=30°
∴AB=2AC=20
故答案为：20
【分析】构造直角三角形，根据锐角三角形函数定义可求出∠B值，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
2．（2024九上·铜仁期末）小明看完“上刀山”表演后，被表演艺人精湛技艺所震撼，他发现，艺人在如图大刀的段表演时最精彩，他想利用所学知识测量一下B点的高度，已知点P、A、B在一条直线上，点P、C、D也在一条直线上，，，，大刀的坡度（即的坡度）为，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：大刀的坡度为，，
PC=4m，PD=PC+CD=4+2=6m，
，，∠APC=∠BPD，
，
，
即，
解得：BD=3m.
故答案为：B.
【分析】先根据大刀的坡度为， 求出PC、PD的长，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可.
3．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，已知上底CB=5m，迎水面CD的坡比为1：，背水面AB的坡比为1：1，坝高为4 m，求坝底宽AD的长和迎水面CD的长．
【答案】解：过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BCEF是长方形
∴EF-CB=5 m，CE= BF=4 m
∵迎水面CD的坡比为1：，
∴
∴DE=m
∴CD==8m
∵背水面AB的坡比为1：1，
∴．
∴AF=BF=4 m
∴AD= DE+EF+AF= (9+)m
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BCEF是长方形，根据迎水面CD的坡比为1：，可得DE=米，结合勾股定理可得CD=8m，由题意背水面AB的坡比为1：1，可得AF=4 m，即可得坝底宽AD的长.
4．图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为1m，∠ACD＝75°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）
【答案】解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，
∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+15°﹣75°＝30°，
∴∠CAF＝60°，
在Rt△ACF中，CF＝AC sin∠CAF＝m，
在Rt△CDG中，CG＝CD sin∠CDE＝1.5 sin15°m，
∴FG＝FC+CG＝+1.5 sin15°≈1.3m．
故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G，根据题意得到∠CDE为15°，∠ACD为75°，进而进行角的运算得到∠CAF＝60°，根据正弦函数结合题意求出CG和CF，从而相加即可求解。
二、综合运用
5．（2024九上·成都期中）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得，点，，在同一直线上，且直线与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）解：在中，
，
答：长．
（2）解：在中，
，
在中，
，
，
答：物体上升的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据解题即可；
（2）在中，利用三角函数求出，在利用三角函数求得，然后根据即可求解．
（1）解：在中，
答：长．
（2）在中，
在中，
，
答：物体上升的高度为．
6．（2024·浙江二模）小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动.如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图.现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为.
（1）在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）.
（2）如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得.求此时镜面上的点D到桌面的距离.（精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）解：∵直径，
.
∵A，B，O在同一水平面上，A到桌面的高为，
，
（2）解：过点D作交于点M（如图）
∵
∵
∵，
镜面上的点到桌面的最短距离
（即）
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
1 / 11.3解直角三角形（2）——浙教版数学九年级下册同步作业
一、基础练习
1．（2024九上·祁阳期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是 ．
2．（2024九上·铜仁期末）小明看完“上刀山”表演后，被表演艺人精湛技艺所震撼，他发现，艺人在如图大刀的段表演时最精彩，他想利用所学知识测量一下B点的高度，已知点P、A、B在一条直线上，点P、C、D也在一条直线上，，，，大刀的坡度（即的坡度）为，则为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，已知上底CB=5m，迎水面CD的坡比为1：，背水面AB的坡比为1：1，坝高为4 m，求坝底宽AD的长和迎水面CD的长．
4．图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为1m，∠ACD＝75°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）
二、综合运用
5．（2024九上·成都期中）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得，点，，在同一直线上，且直线与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果保留根号）．
6．（2024·浙江二模）小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动.如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图.现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为.
（1）在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）.
（2）如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得.求此时镜面上的点D到桌面的距离.（精确到，参考数据：，，）
答案解析部分
1．【答案】20米
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图：AC⊥BC，AC=10
在Rt△ABC中，
∴∠B=30°
∴AB=2AC=20
故答案为：20
【分析】构造直角三角形，根据锐角三角形函数定义可求出∠B值，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：大刀的坡度为，，
PC=4m，PD=PC+CD=4+2=6m，
，，∠APC=∠BPD，
，
，
即，
解得：BD=3m.
故答案为：B.
【分析】先根据大刀的坡度为， 求出PC、PD的长，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可.
3．【答案】解：过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BCEF是长方形
∴EF-CB=5 m，CE= BF=4 m
∵迎水面CD的坡比为1：，
∴
∴DE=m
∴CD==8m
∵背水面AB的坡比为1：1，
∴．
∴AF=BF=4 m
∴AD= DE+EF+AF= (9+)m
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BCEF是长方形，根据迎水面CD的坡比为1：，可得DE=米，结合勾股定理可得CD=8m，由题意背水面AB的坡比为1：1，可得AF=4 m，即可得坝底宽AD的长.
4．【答案】解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，
∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+15°﹣75°＝30°，
∴∠CAF＝60°，
在Rt△ACF中，CF＝AC sin∠CAF＝m，
在Rt△CDG中，CG＝CD sin∠CDE＝1.5 sin15°m，
∴FG＝FC+CG＝+1.5 sin15°≈1.3m．
故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G，根据题意得到∠CDE为15°，∠ACD为75°，进而进行角的运算得到∠CAF＝60°，根据正弦函数结合题意求出CG和CF，从而相加即可求解。
5．【答案】（1）解：在中，
，
答：长．
（2）解：在中，
，
在中，
，
，
答：物体上升的高度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据解题即可；
（2）在中，利用三角函数求出，在利用三角函数求得，然后根据即可求解．
（1）解：在中，
答：长．
（2）在中，
在中，
，
答：物体上升的高度为．
6．【答案】（1）解：∵直径，
.
∵A，B，O在同一水平面上，A到桌面的高为，
，
（2）解：过点D作交于点M（如图）
∵
∵
∵，
镜面上的点到桌面的最短距离
（即）
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
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