【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)
1．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）已知算式6□(-6)的值为0，则“□”内应填入的运算符号为( )
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：
A：根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，6 + (-6)=6 - 6 = 0，选项A正确；
B：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，6 - (-6)=6 + 6 = 12，选项B错误；
C：根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，6×(-6)= - 36，选项C错误；
D：根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，6÷(-6)= - 1，选项D错误；
故答案为：A .
【分析】这道题主要考查有理数的基本运算。解题的关键在于根据有理数加、减、乘、除的运算法则，分别计算出6与-6在不同运算符号下的结果，然后找出结果为0的运算符号。
2．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)） 2023年，我国云计算市场规模达6165 亿元，同比增长35.5%，AI原生带来的云技术革新和企业战略调整，正带动我国云计算开启新一轮增长，预计2027年我国云计算市场将突破2.1万亿元.数据2.1万亿用科学记数法表示为 ( )
A．0.21×1014 B．2.1×1011 C．2.1×1012 D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将2.1万亿转化为数字形式：
因为1万 = 10000 =，1亿 = 100000000 =，
所以1万亿 =，
故2.1万亿 =。
故答案为：C .
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中1≤＜10，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数绝对值小于1时，n是负数。
3．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）在-2，1，，0这四个数中，最大的是( )
A．-2 B．1 C． D．0
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
首先明确有理数大小比较的基本规则：
正数大于0，0大于负数，所以在-2，1，，0这四个数中，-2是负数，它小于0；1和是正数，它们都大于0，所以-2 < 0，1 > 0，> 0。
然后比较1和的大小：
因为=1、中2>1，根据被开方数越大，算术平方根越大，可得>，也就是>1。
综上所述：
四个数的大小关系为-2 < 0 < 1 <，所以四个数中最大的是。
故答案为：C .
【分析】这道题主要考查有理数和无理数的大小比较。解题的关键是要熟悉有理数大小比较的规则，以及对的大致取值范围有所了解。
4．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）在开会前，工作人员进行会场布置，如图所示为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是( )
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．直线比曲线短 D．过一点可以作无数条直线
【答案】B
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：
A：“两点之间线段最短”，强调的是连接两点的不同路径中线段的长度性质，而本题中用绳子摆放茶杯的目的并非是关于路径长度的问题，选项A错误；
B：“两点确定一条直线”，在题目情境中，两个人拉着绳子的两端，这两个端点就确定了一条直线，工作人员可以沿着绳子摆放整齐的茶杯，选项B正确；
C：“直线比曲线短”，直线和曲线长度的比较与用绳子摆放茶杯的操作没有直接关联，选项C错误；
D：“过一点可以作无数条直线”，这与题目中通过两个人拉绳子来确定一条直线摆放茶杯的行为不符，选项D错误；
故答案为：B 。
【分析】这道题主要考查的是基本几何原理在实际生活中的应用，解题关键在于理解每个选项所代表的几何原理，并判断哪个原理符合题目中用绳子摆放茶杯这一行为的理由。
5．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）根据等式的性质，下列变形中，正确的是( )
A．如果2x=3，那么 B．如果x=y，那么x-5=5-y
C．如果x=y，那么-2x=-2y D．如果 那么x=3
【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：
A：如果2x = 3，当a = 0时， 无意义，选项A错误；
B：如果x = y，根据等式性质1，等式两边同时减去5，应该得到x - 5 = y - 5，而不是x - 5 = 5 - y该选项B错误；
C：如果x = y，根据等式性质2，等式两边同时乘以-2，等式仍然成立，即-2x = -2y，选项C正确；
D：如果 ，根据等式性质2，等式两边同时乘以2，应该得到x = 12，选项D错误；
故答案为：C .
【分析】这道题主要考查等式的性质，等式有两个基本性质：
1、等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
2、等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的整式，等式仍然成立。
6．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）在 ，，，0，，中，非负数的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：
分别计算每个数的值：
，
，
0就是其本身，
，
，
由上述计算可知，1，0，5是非负数，一共有3个，
故答案为：B .
【分析】这道题主要考查有理数的乘方运算、绝对值运算以及非负数的概念，解题的关键在于分别计算出每个数的值，然后根据非负数（即正数和0）的定义来确定非负数的个数。
7．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）小美同学在校园“文化艺术节”活动中创作了一幅手工作品，这幅作品的形状为正方形，面积为60 dm2，则这幅手工作品的边长在 ( )
A．5d m和6 dm之间 B．6 dm和7 dm之间
C．7 dm和8 dm之间 D．8 dm和9 dm之间
【答案】C
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：
根据正方形面积公式求出边长：
已知正方形面积公式为（S表示面积，a表示边长），
因为这幅手工作品的面积，所以边长，
估算的范围：
计算一些整数的平方：，，，，，
可以看到49 < 60 < 64，根据算术平方根的性质，当m < n时（m、n为非负数），，所以，即，
这表明这幅手工作品的边长在7dm和8dm之间。
故答案为：C .
【分析】这道题主要考查正方形面积公式以及无理数大小的估算，解题的关键在于根据正方形面积公式求出边长，再通过与整数平方数比较大小来确定边长的范围。
8．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列选项中， 的图形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】角的运算；角的大小比较
【解析】【解答】解：第一个图形：因为平角是，在这个图形中，，，根据同角的补角相等，所以，
第二个图形：从图中可以直接看出，与都是由三角尺的角组成，所以，
第三个图形：由图可知，是三角尺的角，是三角尺的角，所以，
第四个图形：因为直角是，在这个图形中，，，根据同角的余角相等，所以，
综上所述的图形有3个，
故答案为：C .
【分析】这道题主要考查角的大小比较以及对三角尺角度的认识，解题的关键在于根据每个图形中三角尺的摆放位置，结合三角尺的角度（、、、）来判断与是否相等。
9．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件.结果比规定的时间提前3天且超额生产120个零件.若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 计算原计划完成任务的时间：已知原计划每天生产50个零件，设要完成的零件任务为x个，根据“工作时间 = 工作总量÷工作效率”，那么原计划完成任务的时间为天，
计算实际完成任务的时间：实际每天生产的零件数比计划多6个，所以实际每天生产(50 + 6)个零件；而实际生产的零件总数比任务x个超额了120个，即实际生产了(x + 120)个零件，
同样根据“工作时间 = 工作总量÷工作效率”，可得实际完成任务的时间为天，
找出等量关系并列出方程：题目中提到实际完成任务比规定时间（原计划时间）提前了3天，也就是原计划完成任务的时间比实际完成任务的时间多3天。
所以可列方程为：
故答案为：C .
【分析】这道题主要考查根据实际问题列方程，关键在于找出题目中的等量关系，即原计划完成任务的时间和实际完成任务的时间之间的关系。
10．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）在长方形ABCD 内，将一张边长为a 和两张边长为b(a>b)的正方形纸片按图①，图②两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分的周长与图①中阴影部分的周长的差为l.若要知道l的值，只要测量图中的一条线段的长，这条线段是( )
A．AB B．AD C．a D．b
【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：计算图①阴影部分周长：利用平移法，可得出图①阴影部分周长等于长方形ABCD的周长，设长方形长为AD，宽为AB，则周长C1 = 2(AB + AD)。
计算图②阴影部分周长：同样通过平移线段，水平方向边长总和为2AB，竖直方向边长总和为2(AD - b)+2b = 2AD，所以图②阴影部分周长C2 = 2AB + 2AD。
计算周长差l并分析：C1 = 2(AB + AD)不变，C2经分析可得C2 = 2AB + 2AD - 2b（因为有两条边长为b的边在计算过程中有变化），所以l = C2- C1=(2AB + 2AD - 2b)-2(AB + AD)= - 2b。
由此可知，要知道l的值，只需测量线段b的长度。
故答案为： D .
【分析】这道题主要考平面图形的初步认识、整式的加减运算，先将周长的差为l使用边长表达出来，化简表达式后可求出答案。
11．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）请写出一个含有字母a 和b，且系数为-2，次数为4的单项式： .
【答案】-2a3b(答案不唯一)
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：题目要求写出一个含有字母a和b，且系数为-2，次数为4的单项式，因为系数已经确定为-2，现在考虑字母a和b的指数。由于次数是4，也就是a与b的指数和为4。
例如-2a3b，其中a的指数是3，b的指数是1，3 + 1 = 4，满足次数为4的要求，同时系数-2也符合条件。
同样，-2a2b2（a的指数2加上b的指数2等于4）、-2ab3（a的指数1加上b的指数3等于4）等也都满足题目要求，所以答案不唯一。
故答案为：-2a3b(答案不唯一) .
【分析】这道题主要考查单项式的系数和次数的概念，单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。
12．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）已知 ，，则∠A ∠B(填“>”“<”或“=”).
【答案】>
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：
将的单位统一：
已知，因为，所以不需要进行换算；
将的单位换算：
已知，把的小数部分换算为分，，所以；
所以。
故答案为：> .
【分析】这道题主要考查角度大小的比较，关键在于将两个角的单位统一后再进行比较。
13．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是 .
【答案】±1
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：
设这个数为x，根据倒数的定义可得到方程，
当x = 1时，1的倒数是，满足倒数是它本身。
当x = -1时，-1的倒数是，也满足倒数是它本身。
而对于其他非零数，例如2，它的倒数是，，不满足条件；0没有倒数，因为0做分母无意义。
所以，如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是±1.
故答案为：±1 .
【分析】这道题考查倒数的概念。倒数的定义是：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数。
14．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）若代数式 ，那么代数式 .
【答案】-7
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】解：
对已知条件进行变形：
已知 ，等式两边同时减去7，得到 ，
分析所求代数式与变形后式子的关系：
观察所求代数式 ，发现可以变形为，
整体代入求值：
把代入中，即2×1-9=2-9=-7，
故答案为：-7 .
【分析】这道题主要考查代数式的整体代入求值。解题的关键在于通过对已知条件进行变形，找出与所求代数式之间的联系，然后利用整体代入的方法计算出结果。
15．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）我们规定两种新运算“*”和“”，其规则为a*b= ab+a-b， ，则关于x的方程5(3*x)=3的解是 .
【答案】x=-2
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：
先计算3*x的值：
根据新运算规则a*b=ab+a-b，当a=3，b=x时，3*x = 3x+3-x=2x+3，
再计算5(3*x) 的值：
由1可知3*x =2x+3，再根据新运算规则 ，当a = 5，b = 2x + 3时，，
求解方程 5(3*x)=3 ：
因为，所以方程 5(3*x)=3可转化为1-x= 3，得到x=1-3=-2。
故答案为：-2 .
【分析】这道题主要考查根据新定义运算来求解方程，解题的关键在于先按照新运算规则计算出3*x的值，再将其代入 5(3*x) 中，最后根据方程求解x。
16．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）如图①，在长方形ABCD中，点E在AD上，并且 ，分别以 BE，CE 为折痕进行折叠压平.如图②，若 n°，则∠DEC 的度数为 .
【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
根据长方形性质和已知条件求 ∠ AEB的度数：在长方形ABCD中， ∠ A = 90°。已知 ∠ ABE = 26°，在中，根据三角形内角和为180°，可得 ∠ AEB = 180°- ∠ A - ∠ ABE = 180°- 90° - 26° = 64°，
根据折叠性质得到角度关系：因为以BE，CE为折痕进行折叠压平，所以 ∠AEB = ∠A'EB， ∠DEC= ∠ D'EC。
那么 ∠AEB+∠A'EB +∠DEC +∠D'EC = 180° +∠A'ED（平角180°加上重叠部分∠A'ED）。
又因为∠A'ED = n°，且∠AEB =∠A'EB = 64°，
设∠DEC = x，则∠D'EC = x，可得到方程2×64°+2x = 180°+n°，
求解∠DEC的度数：
因为2×64°+2x = 180°+n°，所以128°+2x=180°+n°，移项可得2x=52°+n°，
两边同时除以2，解得，即
故答案为： .
【分析】这道题主要考查长方形的性质以及图形折叠的性质，通过这些性质找到角度之间的关系来求解 ∠DEC 的度数。
17．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）计算：
（1）.
（2）.
【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 这道题主要考察有理数的混合运算，
（1）根据有理数混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有绝对值的先算绝对值里面的
（2）同样先算乘方（这里包括根式运算，因为根式可以看作是指数为分数的乘方形式），再算加减。
18．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）解方程：
（1）4x+13=3x-1.
（2）.
【答案】（1）解：移项3x移到左边，13移到右边得到：4x-3x=-1-13，
合并同类项得x = -14
（2）解：方程两边同时乘以12（3和4的最小公倍数）去分母得：4(2y - 1) = 3(y + 2) - 12，
去括号得8y - 4 = 3y + 6 - 12，
移项得8y - 3y = 6 - 12 + 4，
合并同类项得5y = -2，
系数化为1，两边同时除以5，y=-0.4.
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】这道题主要考察一元一次方程的求解，
（1）解方程的基本思路是通过移项，将含有未知数x的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1来求解；
（2）首先要去分母，给方程两边同时乘以分母的最小公倍数，将分数方程化为整数方程，然后去括号，再进行移项、合并同类项，最后将未知数的系数化为1求解.
19．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）如图，已知A，B，C，D四点，请用尺规作图完成.(保留画图痕迹)
⑴画直线AB.
⑵画射线AC.
⑶连结BC并延长BC到E，使得.
⑷在线段BD上取点P，使 的值最小.
【答案】解：如解图.
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】本题是尺规作图题，解题关键在于依据直线、射线、线段的定义和性质，以及两点之间线段最短的原理来完成各个作图要求，
（1）画直线AB：根据直线的定义，用直尺将点A和点B连接起来，并向两端适当延长；
（2）画射线AC：射线有一个端点，可向一端无限延伸，以A为端点，用直尺经过点C向AC方向无限延长画出射线AC；
（3）连结BC并延长BC到E，使得CE = AB + BC：用直尺连接B、C两点得到线段BC，用圆规量取线段AB的长度，以C为圆心，AB长为半径画弧；用圆规量取线段BC的长度，以刚才画弧的端点为圆心，BC长为半径画弧，与BC延长线的交点即为E点，此时CE = AB + BC；
（4）在线段BD上取点P，使PA + PC的值最小：根据两点之间线段最短和轴对称的性质，作点A关于线段BD的对称点A'，连接A'C，与线段BD的交点即为所求的点P，此时PA + PC = A'C，值最小。
20．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）已知：，.
（1）计算M-2N 的值.
（2）若单项式 与 是同类项，求 M-2N的值.
【答案】（1）解：因为
所以M-
（2）解：因为单项式 6与 是同类项，
所以1-2x=2， 2-4y=6，
所以
所以M-2N=
【知识点】整式的加减运算；同类项的概念
【解析】【分析】这道题主要考查整式的运算以及同类项的性质，
（1）已知，，求M - 2N，需要将N的表达式代入M - 2N中，然后根据整式的运算法则，去括号并合并同类项。
（2）根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所以对于单项式 与 ，可得a的指数相等，b的指数也相等，从而列出关于x和y的方程，解出x和y的值，再代入(1)中求出的M - 2N的表达式中计算。
21．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）随着科技的发展，人工智能已经席卷多个行业.某商场销售甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高20%，乙型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高30%，甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号智能扫地机器人每台的进价高100元，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比乙型号智能扫地机器人每台的实际售价高70元，求甲型号智能扫地机器人和乙型号智能扫地机器人每台的进价分别是多少.
【答案】解：设乙型号智能扫地机器人每台的进价为x元，则甲型号智能扫地机器人每台的进价为(x+100)元.
根据题意，可得(1+20%)(x+100)-(1+30%)x=70，
解得x=500，
所以x+100=500+100=600.
答：甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题利用一元一次方程解决实际问题的题目，关键在于根据题目中给出的甲、乙两种智能扫地机器人进价和售价的关系来建立方程求解。
设出未知数，乙型号智能扫地机器人每台的进价为x元，因为甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号高100元，所以甲型号智能扫地机器人每台的进价为(x + 100)元，分析售价并建立方程：(1+20%)(x+100)-(1+30%)x=70，再对方程求解即可。
22．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）已知点 B 在线段AC上，点D 在线段AB上.
（1）如图①，若 ，，D为线段AC 的中点，求线段 DB 的长度.
（2）如图②，若 E 为线段AB 的中点， 12cm，求线段AC 的长度.
【答案】（1）解：因为AC=AB+BC， AB=6cm， BC=4cm，
所以AC=6+4=10cm.
又因为D为线段AC的中点，
所以DC
所以DB=DC-BC=5-4=1cm.
（2）解：设BD=x(cm).
因为
所以AB=4BD=4x(cm)，CD=3BD=3x(cm).
又因为DC=DB+BC，
所以BC=3x-x=2x.
又因为AC=AB+BC，
所以AC=4x+2x=6x(cm).
因为E 为线段AB的中点，
所以
又因为EC=BE+BC，
所以EC=2x+2x=4x(cm).
又因为EC=12cm.
所以4x=12， 解得x=3，
所以AC=6x=6×3=18(cm).
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】这道题主要考查线段的和差关系以及中点的性质，通过这些知识来求解线段的长度，
（1）首先根据线段的和的关系求出AC的长度，再利用中点的性质求出DC的长度，最后通过DB = DC - BC求出DB的长度。
（2）设BD的长度为x cm，根据BD与AB、CD的关系分别表示出AB和CD的长度，再根据E为AB中点求出BE的长度，最后利用EC = BE + BC以及BC = CD - BD的关系列出方程求解x，进而求出AC的长度。
23．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）如图，已知点O 为直线AB 上一点， ，OM 平分 ，.
（1）求 的度数.
（2）试说明：OP 平分 .
（3）若改变 的大小，其余条件不变，设 ，(2)中的结论是否依然成立 若成立，请说明理由；若不成立，请用含α的式子表示 .
【答案】（1）解：因为点O 为直线AB 上一点， ∠BOC=110°，
所以 ，
因为OC⊥OD，
所以∠COD=90°，
所以∠AOD=∠COD-∠AOC=90°-70°=20°
（2）解：因为∠AOC=70°， OM 平分∠AOC，
所以∠AOM=
由(1)可知， ∠AOD=20°，
所以∠DOM=
所以∠BOP=∠DOM=55°，
所以
所以∠BOP=∠COP=55°，
所以OP 平分∠BOC.
（3）解：(2)中的结论依然成立.
理由如下：
因为点O为直线AB上一点，
所以 ∠BOC=180°-α.
因为OC⊥OD，
所以∠COD=90°，
所以
因为 OM 平分∠AOC，
所以
所以∠DOM=∠AOD+∠AOM
所以
所以
所以 所以OP 平分∠BOC.
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
24．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B 表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离. .若 ，则可简化为 .线段AB 的中点表示的数为 .
【感受新知】
如图①，数轴上点A 表示的数为-2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为 求当t 为何值时，
解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离.
线段AB 的中点表示的数为
当点 P，Q 运动t(s)时，点 P 表示的数为 ，点Q 表示的数为8-2t，
所以
当 时，
所以10-5t=5或
解得t=1或
所以当t为1或3时，
.
【学以致用】
如图②，点M 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 N 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t(s)(t>0).
（1）求当t为何值时， .
（2）【综合运用】
求当t为何值时，线段MN 的中点C 与表示-3的点重合.
（3）【拓展提升】
若E为MA 的中点，F为MB 的中点，点 M 在运动过程中.线段EF 的长度是否发生变化 若变化，请说明理由；若不变.请求出线段EF 的长.
【答案】（1）解：当点 M， N 运动t(s)时，点 M 表示的数为-2+3t， 点N 表示的数为8-4t，
所以MN=|-2+3t-8+4t|=|-10+7t|.
又因为AB=|a-b|=|(-2)-8|=|-10|=10且
所以|-10+7t|=5， 解得 或 ，
所以当t为 或 时，
（2）解：当点M，N 运动t(s)时， 点M 表示的数为-2+3t， 点 N表示的数为8-4t，
所以线段 MN 的中点C 表示的数为
由题意，得
所以t=12， 所以当t为12时， 线段MN 的中点C 与表示-3的点重合.
（3）解：点M 在运动过程中，线段 EF 的长度不会发生变化，线段EF 的长为5.
因为当点M 运动t(s)时，点M 表示的数为-2+3t， 点A 表示的数为-2， 点 B 表示的数为8，
所以MA 的中点E 表示的数为 MB的中点F表示的数为
所以 |-5|=5，
所以点 M 在运动过程中，线段EF 的长度不会发生变化，线段EF的长为5.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；数轴的动态定值（无参型）模型；数轴的动点往返运动模型
【解析】【分析】这道题是关于数轴上点的运动以及线段长度和位置关系的数学问题，主要考查了利用数轴上两点间距离公式、中点公式来解决不同情境下的问题。
背景知识给出了数轴上两点间距离公式AB = |a - b|（a、b为两点表示的数）以及线段AB中点表示的数为 ，这是后续解题的基础。
【感受新知】 先求出AB的距离，再分别表示出t秒后点P、Q表示的数，进而得出PQ的表达式，根据，列方程求解。
【学以致用】分别表示出t秒后点M、N表示的数，得出MN的表达式，根据 列方程求解。
【综合运用】先求出线段MN中点C表示的数，再根据中点C与表示-3的点重合列方程求解。
【拓展提升】分别表示出点M、A、B的数，进而求出MA中点F表示的数，再计算EF的长度，看是否与t有关。
1 / 1【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)
1．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）已知算式6□(-6)的值为0，则“□”内应填入的运算符号为( )
A．+ B．- C．× D．÷
2．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)） 2023年，我国云计算市场规模达6165 亿元，同比增长35.5%，AI原生带来的云技术革新和企业战略调整，正带动我国云计算开启新一轮增长，预计2027年我国云计算市场将突破2.1万亿元.数据2.1万亿用科学记数法表示为 ( )
A．0.21×1014 B．2.1×1011 C．2.1×1012 D．
3．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）在-2，1，，0这四个数中，最大的是( )
A．-2 B．1 C． D．0
4．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）在开会前，工作人员进行会场布置，如图所示为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是( )
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．直线比曲线短 D．过一点可以作无数条直线
5．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）根据等式的性质，下列变形中，正确的是( )
A．如果2x=3，那么 B．如果x=y，那么x-5=5-y
C．如果x=y，那么-2x=-2y D．如果 那么x=3
6．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）在 ，，，0，，中，非负数的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）小美同学在校园“文化艺术节”活动中创作了一幅手工作品，这幅作品的形状为正方形，面积为60 dm2，则这幅手工作品的边长在 ( )
A．5d m和6 dm之间 B．6 dm和7 dm之间
C．7 dm和8 dm之间 D．8 dm和9 dm之间
8．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列选项中， 的图形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件.结果比规定的时间提前3天且超额生产120个零件.若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为( )
A． B．
C． D．
10．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）在长方形ABCD 内，将一张边长为a 和两张边长为b(a>b)的正方形纸片按图①，图②两种方式放置，长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分的周长与图①中阴影部分的周长的差为l.若要知道l的值，只要测量图中的一条线段的长，这条线段是( )
A．AB B．AD C．a D．b
11．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）请写出一个含有字母a 和b，且系数为-2，次数为4的单项式： .
12．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）已知 ，，则∠A ∠B(填“>”“<”或“=”).
13．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是 .
14．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）若代数式 ，那么代数式 .
15．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）我们规定两种新运算“*”和“”，其规则为a*b= ab+a-b， ，则关于x的方程5(3*x)=3的解是 .
16．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）如图①，在长方形ABCD中，点E在AD上，并且 ，分别以 BE，CE 为折痕进行折叠压平.如图②，若 n°，则∠DEC 的度数为 .
17．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）计算：
（1）.
（2）.
18．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）解方程：
（1）4x+13=3x-1.
（2）.
19．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）如图，已知A，B，C，D四点，请用尺规作图完成.(保留画图痕迹)
⑴画直线AB.
⑵画射线AC.
⑶连结BC并延长BC到E，使得.
⑷在线段BD上取点P，使 的值最小.
20．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）已知：，.
（1）计算M-2N 的值.
（2）若单项式 与 是同类项，求 M-2N的值.
21．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）随着科技的发展，人工智能已经席卷多个行业.某商场销售甲、乙两种不同型号的智能扫地机器人，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高20%，乙型号智能扫地机器人每台的实际售价比进价高30%，甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号智能扫地机器人每台的进价高100元，甲型号智能扫地机器人每台的实际售价比乙型号智能扫地机器人每台的实际售价高70元，求甲型号智能扫地机器人和乙型号智能扫地机器人每台的进价分别是多少.
22．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）已知点 B 在线段AC上，点D 在线段AB上.
（1）如图①，若 ，，D为线段AC 的中点，求线段 DB 的长度.
（2）如图②，若 E 为线段AB 的中点， 12cm，求线段AC 的长度.
23．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）如图，已知点O 为直线AB 上一点， ，OM 平分 ，.
（1）求 的度数.
（2）试说明：OP 平分 .
（3）若改变 的大小，其余条件不变，设 ，(2)中的结论是否依然成立 若成立，请说明理由；若不成立，请用含α的式子表示 .
24．（ 【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册期末学业水平检测卷(一)）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B 表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离. .若 ，则可简化为 .线段AB 的中点表示的数为 .
【感受新知】
如图①，数轴上点A 表示的数为-2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为 求当t 为何值时，
解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离.
线段AB 的中点表示的数为
当点 P，Q 运动t(s)时，点 P 表示的数为 ，点Q 表示的数为8-2t，
所以
当 时，
所以10-5t=5或
解得t=1或
所以当t为1或3时，
.
【学以致用】
如图②，点M 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 N 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t(s)(t>0).
（1）求当t为何值时， .
（2）【综合运用】
求当t为何值时，线段MN 的中点C 与表示-3的点重合.
（3）【拓展提升】
若E为MA 的中点，F为MB 的中点，点 M 在运动过程中.线段EF 的长度是否发生变化 若变化，请说明理由；若不变.请求出线段EF 的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：
A：根据有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，6 + (-6)=6 - 6 = 0，选项A正确；
B：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，6 - (-6)=6 + 6 = 12，选项B错误；
C：根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，6×(-6)= - 36，选项C错误；
D：根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，6÷(-6)= - 1，选项D错误；
故答案为：A .
【分析】这道题主要考查有理数的基本运算。解题的关键在于根据有理数加、减、乘、除的运算法则，分别计算出6与-6在不同运算符号下的结果，然后找出结果为0的运算符号。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将2.1万亿转化为数字形式：
因为1万 = 10000 =，1亿 = 100000000 =，
所以1万亿 =，
故2.1万亿 =。
故答案为：C .
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中1≤＜10，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数绝对值小于1时，n是负数。
3．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
首先明确有理数大小比较的基本规则：
正数大于0，0大于负数，所以在-2，1，，0这四个数中，-2是负数，它小于0；1和是正数，它们都大于0，所以-2 < 0，1 > 0，> 0。
然后比较1和的大小：
因为=1、中2>1，根据被开方数越大，算术平方根越大，可得>，也就是>1。
综上所述：
四个数的大小关系为-2 < 0 < 1 <，所以四个数中最大的是。
故答案为：C .
【分析】这道题主要考查有理数和无理数的大小比较。解题的关键是要熟悉有理数大小比较的规则，以及对的大致取值范围有所了解。
4．【答案】B
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：
A：“两点之间线段最短”，强调的是连接两点的不同路径中线段的长度性质，而本题中用绳子摆放茶杯的目的并非是关于路径长度的问题，选项A错误；
B：“两点确定一条直线”，在题目情境中，两个人拉着绳子的两端，这两个端点就确定了一条直线，工作人员可以沿着绳子摆放整齐的茶杯，选项B正确；
C：“直线比曲线短”，直线和曲线长度的比较与用绳子摆放茶杯的操作没有直接关联，选项C错误；
D：“过一点可以作无数条直线”，这与题目中通过两个人拉绳子来确定一条直线摆放茶杯的行为不符，选项D错误；
故答案为：B 。
【分析】这道题主要考查的是基本几何原理在实际生活中的应用，解题关键在于理解每个选项所代表的几何原理，并判断哪个原理符合题目中用绳子摆放茶杯这一行为的理由。
5．【答案】C
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：
A：如果2x = 3，当a = 0时， 无意义，选项A错误；
B：如果x = y，根据等式性质1，等式两边同时减去5，应该得到x - 5 = y - 5，而不是x - 5 = 5 - y该选项B错误；
C：如果x = y，根据等式性质2，等式两边同时乘以-2，等式仍然成立，即-2x = -2y，选项C正确；
D：如果 ，根据等式性质2，等式两边同时乘以2，应该得到x = 12，选项D错误；
故答案为：C .
【分析】这道题主要考查等式的性质，等式有两个基本性质：
1、等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
2、等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的整式，等式仍然成立。
6．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：
分别计算每个数的值：
，
，
0就是其本身，
，
，
由上述计算可知，1，0，5是非负数，一共有3个，
故答案为：B .
【分析】这道题主要考查有理数的乘方运算、绝对值运算以及非负数的概念，解题的关键在于分别计算出每个数的值，然后根据非负数（即正数和0）的定义来确定非负数的个数。
7．【答案】C
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：
根据正方形面积公式求出边长：
已知正方形面积公式为（S表示面积，a表示边长），
因为这幅手工作品的面积，所以边长，
估算的范围：
计算一些整数的平方：，，，，，
可以看到49 < 60 < 64，根据算术平方根的性质，当m < n时（m、n为非负数），，所以，即，
这表明这幅手工作品的边长在7dm和8dm之间。
故答案为：C .
【分析】这道题主要考查正方形面积公式以及无理数大小的估算，解题的关键在于根据正方形面积公式求出边长，再通过与整数平方数比较大小来确定边长的范围。
8．【答案】C
【知识点】角的运算；角的大小比较
【解析】【解答】解：第一个图形：因为平角是，在这个图形中，，，根据同角的补角相等，所以，
第二个图形：从图中可以直接看出，与都是由三角尺的角组成，所以，
第三个图形：由图可知，是三角尺的角，是三角尺的角，所以，
第四个图形：因为直角是，在这个图形中，，，根据同角的余角相等，所以，
综上所述的图形有3个，
故答案为：C .
【分析】这道题主要考查角的大小比较以及对三角尺角度的认识，解题的关键在于根据每个图形中三角尺的摆放位置，结合三角尺的角度（、、、）来判断与是否相等。
9．【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解： 计算原计划完成任务的时间：已知原计划每天生产50个零件，设要完成的零件任务为x个，根据“工作时间 = 工作总量÷工作效率”，那么原计划完成任务的时间为天，
计算实际完成任务的时间：实际每天生产的零件数比计划多6个，所以实际每天生产(50 + 6)个零件；而实际生产的零件总数比任务x个超额了120个，即实际生产了(x + 120)个零件，
同样根据“工作时间 = 工作总量÷工作效率”，可得实际完成任务的时间为天，
找出等量关系并列出方程：题目中提到实际完成任务比规定时间（原计划时间）提前了3天，也就是原计划完成任务的时间比实际完成任务的时间多3天。
所以可列方程为：
故答案为：C .
【分析】这道题主要考查根据实际问题列方程，关键在于找出题目中的等量关系，即原计划完成任务的时间和实际完成任务的时间之间的关系。
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：计算图①阴影部分周长：利用平移法，可得出图①阴影部分周长等于长方形ABCD的周长，设长方形长为AD，宽为AB，则周长C1 = 2(AB + AD)。
计算图②阴影部分周长：同样通过平移线段，水平方向边长总和为2AB，竖直方向边长总和为2(AD - b)+2b = 2AD，所以图②阴影部分周长C2 = 2AB + 2AD。
计算周长差l并分析：C1 = 2(AB + AD)不变，C2经分析可得C2 = 2AB + 2AD - 2b（因为有两条边长为b的边在计算过程中有变化），所以l = C2- C1=(2AB + 2AD - 2b)-2(AB + AD)= - 2b。
由此可知，要知道l的值，只需测量线段b的长度。
故答案为： D .
【分析】这道题主要考平面图形的初步认识、整式的加减运算，先将周长的差为l使用边长表达出来，化简表达式后可求出答案。
11．【答案】-2a3b(答案不唯一)
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：题目要求写出一个含有字母a和b，且系数为-2，次数为4的单项式，因为系数已经确定为-2，现在考虑字母a和b的指数。由于次数是4，也就是a与b的指数和为4。
例如-2a3b，其中a的指数是3，b的指数是1，3 + 1 = 4，满足次数为4的要求，同时系数-2也符合条件。
同样，-2a2b2（a的指数2加上b的指数2等于4）、-2ab3（a的指数1加上b的指数3等于4）等也都满足题目要求，所以答案不唯一。
故答案为：-2a3b(答案不唯一) .
【分析】这道题主要考查单项式的系数和次数的概念，单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。
12．【答案】>
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：
将的单位统一：
已知，因为，所以不需要进行换算；
将的单位换算：
已知，把的小数部分换算为分，，所以；
所以。
故答案为：> .
【分析】这道题主要考查角度大小的比较，关键在于将两个角的单位统一后再进行比较。
13．【答案】±1
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：
设这个数为x，根据倒数的定义可得到方程，
当x = 1时，1的倒数是，满足倒数是它本身。
当x = -1时，-1的倒数是，也满足倒数是它本身。
而对于其他非零数，例如2，它的倒数是，，不满足条件；0没有倒数，因为0做分母无意义。
所以，如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是±1.
故答案为：±1 .
【分析】这道题考查倒数的概念。倒数的定义是：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数。
14．【答案】-7
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】解：
对已知条件进行变形：
已知 ，等式两边同时减去7，得到 ，
分析所求代数式与变形后式子的关系：
观察所求代数式 ，发现可以变形为，
整体代入求值：
把代入中，即2×1-9=2-9=-7，
故答案为：-7 .
【分析】这道题主要考查代数式的整体代入求值。解题的关键在于通过对已知条件进行变形，找出与所求代数式之间的联系，然后利用整体代入的方法计算出结果。
15．【答案】x=-2
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：
先计算3*x的值：
根据新运算规则a*b=ab+a-b，当a=3，b=x时，3*x = 3x+3-x=2x+3，
再计算5(3*x) 的值：
由1可知3*x =2x+3，再根据新运算规则 ，当a = 5，b = 2x + 3时，，
求解方程 5(3*x)=3 ：
因为，所以方程 5(3*x)=3可转化为1-x= 3，得到x=1-3=-2。
故答案为：-2 .
【分析】这道题主要考查根据新定义运算来求解方程，解题的关键在于先按照新运算规则计算出3*x的值，再将其代入 5(3*x) 中，最后根据方程求解x。
16．【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
根据长方形性质和已知条件求 ∠ AEB的度数：在长方形ABCD中， ∠ A = 90°。已知 ∠ ABE = 26°，在中，根据三角形内角和为180°，可得 ∠ AEB = 180°- ∠ A - ∠ ABE = 180°- 90° - 26° = 64°，
根据折叠性质得到角度关系：因为以BE，CE为折痕进行折叠压平，所以 ∠AEB = ∠A'EB， ∠DEC= ∠ D'EC。
那么 ∠AEB+∠A'EB +∠DEC +∠D'EC = 180° +∠A'ED（平角180°加上重叠部分∠A'ED）。
又因为∠A'ED = n°，且∠AEB =∠A'EB = 64°，
设∠DEC = x，则∠D'EC = x，可得到方程2×64°+2x = 180°+n°，
求解∠DEC的度数：
因为2×64°+2x = 180°+n°，所以128°+2x=180°+n°，移项可得2x=52°+n°，
两边同时除以2，解得，即
故答案为： .
【分析】这道题主要考查长方形的性质以及图形折叠的性质，通过这些性质找到角度之间的关系来求解 ∠DEC 的度数。
17．【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】 这道题主要考察有理数的混合运算，
（1）根据有理数混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有绝对值的先算绝对值里面的
（2）同样先算乘方（这里包括根式运算，因为根式可以看作是指数为分数的乘方形式），再算加减。
18．【答案】（1）解：移项3x移到左边，13移到右边得到：4x-3x=-1-13，
合并同类项得x = -14
（2）解：方程两边同时乘以12（3和4的最小公倍数）去分母得：4(2y - 1) = 3(y + 2) - 12，
去括号得8y - 4 = 3y + 6 - 12，
移项得8y - 3y = 6 - 12 + 4，
合并同类项得5y = -2，
系数化为1，两边同时除以5，y=-0.4.
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】这道题主要考察一元一次方程的求解，
（1）解方程的基本思路是通过移项，将含有未知数x的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1来求解；
（2）首先要去分母，给方程两边同时乘以分母的最小公倍数，将分数方程化为整数方程，然后去括号，再进行移项、合并同类项，最后将未知数的系数化为1求解.
19．【答案】解：如解图.
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】本题是尺规作图题，解题关键在于依据直线、射线、线段的定义和性质，以及两点之间线段最短的原理来完成各个作图要求，
（1）画直线AB：根据直线的定义，用直尺将点A和点B连接起来，并向两端适当延长；
（2）画射线AC：射线有一个端点，可向一端无限延伸，以A为端点，用直尺经过点C向AC方向无限延长画出射线AC；
（3）连结BC并延长BC到E，使得CE = AB + BC：用直尺连接B、C两点得到线段BC，用圆规量取线段AB的长度，以C为圆心，AB长为半径画弧；用圆规量取线段BC的长度，以刚才画弧的端点为圆心，BC长为半径画弧，与BC延长线的交点即为E点，此时CE = AB + BC；
（4）在线段BD上取点P，使PA + PC的值最小：根据两点之间线段最短和轴对称的性质，作点A关于线段BD的对称点A'，连接A'C，与线段BD的交点即为所求的点P，此时PA + PC = A'C，值最小。
20．【答案】（1）解：因为
所以M-
（2）解：因为单项式 6与 是同类项，
所以1-2x=2， 2-4y=6，
所以
所以M-2N=
【知识点】整式的加减运算；同类项的概念
【解析】【分析】这道题主要考查整式的运算以及同类项的性质，
（1）已知，，求M - 2N，需要将N的表达式代入M - 2N中，然后根据整式的运算法则，去括号并合并同类项。
（2）根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。所以对于单项式 与 ，可得a的指数相等，b的指数也相等，从而列出关于x和y的方程，解出x和y的值，再代入(1)中求出的M - 2N的表达式中计算。
21．【答案】解：设乙型号智能扫地机器人每台的进价为x元，则甲型号智能扫地机器人每台的进价为(x+100)元.
根据题意，可得(1+20%)(x+100)-(1+30%)x=70，
解得x=500，
所以x+100=500+100=600.
答：甲型号智能扫地机器人每台的进价为600元，乙型号智能扫地机器人每台的进价为500元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题利用一元一次方程解决实际问题的题目，关键在于根据题目中给出的甲、乙两种智能扫地机器人进价和售价的关系来建立方程求解。
设出未知数，乙型号智能扫地机器人每台的进价为x元，因为甲型号智能扫地机器人每台的进价比乙型号高100元，所以甲型号智能扫地机器人每台的进价为(x + 100)元，分析售价并建立方程：(1+20%)(x+100)-(1+30%)x=70，再对方程求解即可。
22．【答案】（1）解：因为AC=AB+BC， AB=6cm， BC=4cm，
所以AC=6+4=10cm.
又因为D为线段AC的中点，
所以DC
所以DB=DC-BC=5-4=1cm.
（2）解：设BD=x(cm).
因为
所以AB=4BD=4x(cm)，CD=3BD=3x(cm).
又因为DC=DB+BC，
所以BC=3x-x=2x.
又因为AC=AB+BC，
所以AC=4x+2x=6x(cm).
因为E 为线段AB的中点，
所以
又因为EC=BE+BC，
所以EC=2x+2x=4x(cm).
又因为EC=12cm.
所以4x=12， 解得x=3，
所以AC=6x=6×3=18(cm).
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】这道题主要考查线段的和差关系以及中点的性质，通过这些知识来求解线段的长度，
（1）首先根据线段的和的关系求出AC的长度，再利用中点的性质求出DC的长度，最后通过DB = DC - BC求出DB的长度。
（2）设BD的长度为x cm，根据BD与AB、CD的关系分别表示出AB和CD的长度，再根据E为AB中点求出BE的长度，最后利用EC = BE + BC以及BC = CD - BD的关系列出方程求解x，进而求出AC的长度。
23．【答案】（1）解：因为点O 为直线AB 上一点， ∠BOC=110°，
所以 ，
因为OC⊥OD，
所以∠COD=90°，
所以∠AOD=∠COD-∠AOC=90°-70°=20°
（2）解：因为∠AOC=70°， OM 平分∠AOC，
所以∠AOM=
由(1)可知， ∠AOD=20°，
所以∠DOM=
所以∠BOP=∠DOM=55°，
所以
所以∠BOP=∠COP=55°，
所以OP 平分∠BOC.
（3）解：(2)中的结论依然成立.
理由如下：
因为点O为直线AB上一点，
所以 ∠BOC=180°-α.
因为OC⊥OD，
所以∠COD=90°，
所以
因为 OM 平分∠AOC，
所以
所以∠DOM=∠AOD+∠AOM
所以
所以
所以 所以OP 平分∠BOC.
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念
24．【答案】（1）解：当点 M， N 运动t(s)时，点 M 表示的数为-2+3t， 点N 表示的数为8-4t，
所以MN=|-2+3t-8+4t|=|-10+7t|.
又因为AB=|a-b|=|(-2)-8|=|-10|=10且
所以|-10+7t|=5， 解得 或 ，
所以当t为 或 时，
（2）解：当点M，N 运动t(s)时， 点M 表示的数为-2+3t， 点 N表示的数为8-4t，
所以线段 MN 的中点C 表示的数为
由题意，得
所以t=12， 所以当t为12时， 线段MN 的中点C 与表示-3的点重合.
（3）解：点M 在运动过程中，线段 EF 的长度不会发生变化，线段EF 的长为5.
因为当点M 运动t(s)时，点M 表示的数为-2+3t， 点A 表示的数为-2， 点 B 表示的数为8，
所以MA 的中点E 表示的数为 MB的中点F表示的数为
所以 |-5|=5，
所以点 M 在运动过程中，线段EF 的长度不会发生变化，线段EF的长为5.
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；数轴上两点之间的距离；数轴的动态定值（无参型）模型；数轴的动点往返运动模型
【解析】【分析】这道题是关于数轴上点的运动以及线段长度和位置关系的数学问题，主要考查了利用数轴上两点间距离公式、中点公式来解决不同情境下的问题。
背景知识给出了数轴上两点间距离公式AB = |a - b|（a、b为两点表示的数）以及线段AB中点表示的数为 ，这是后续解题的基础。
【感受新知】 先求出AB的距离，再分别表示出t秒后点P、Q表示的数，进而得出PQ的表达式，根据，列方程求解。
【学以致用】分别表示出t秒后点M、N表示的数，得出MN的表达式，根据 列方程求解。
【综合运用】先求出线段MN中点C表示的数，再根据中点C与表示-3的点重合列方程求解。
【拓展提升】分别表示出点M、A、B的数，进而求出MA中点F表示的数，再计算EF的长度，看是否与t有关。
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