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课时2.1 一元二次方程（学案）
1.理解一元二次方程的定义，能对一元二次方程进行准确的判断，并利用一元二次方程的定义求相应参数的数值.
2.掌握一元二次方程的一般式，正确认识二次项系数、一次项系数和常数项。
3.能够识别实际问题中的数量关系，准确设出未知数，列出一元二次方程。例如在面积问题中，像“用长为10米的铁丝围矩形，设一边长为米，根据矩形周长和面积公式列出方程求解面积等问题”
学习重点：一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式
学习难点：根据相关条件求一元二次方程的相关系数
列举2个一元二次方程：x2+2x+1=0，3x2-2x+1=0；
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：A. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B. ，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C. ，不是一个未知数，不符合题意；
D. ，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
将一个容积为750 cm的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示。图中x(cm)应满足怎样的方程
【合作探究】（1）如图是某摄影爱好者拍摄的一张长为，宽为的长岗坡渡槽风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅矩形挂图．若使整个挂图的面积是，设风景照四周所镶边的宽为，则所列方程是 ．
【详解】解：设风景照四周所镶边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，
根据题意可得出方程为：，
（2）一种新款汽车刚上市的价格是18万元/辆，每年的降价率为，如果该款车在上市满两年后的价格为万元/辆，求年降价率的值．根据题意列出关于的方程是 ．
【详解】解：由题意得，，
（3）如图，用长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是 ．
【详解】解：设与墙垂直的边长为，
则墙的对面的一条边的长为，
所以列出方程为．
观察上面所列方程，说一说这些方程与一元一次方程相同和不同处？
只含一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）
注意：①未知数的个数只有1个；②未知数的最高次数是2；③整式方程。
例1下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）（为已知数）；（7）．
答（1）不是（2）不是（3）是（4）不是（5）不是（6）不是（7）是
例2已知关于x的方程．
（1）当m取何值时，是一元二次方程；
（2）当m取何值时，是一元一次方程．
【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，∴。
（2）解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，且，∴
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式。我们把 ax2+bx+c=0 (a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中 ax，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。
想一想：为什么要限制a≠0？b，c可以为0吗？
注意：我们在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。
做一做：将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．
（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是；
（2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是；
（3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是；
（4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是．
例3设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程：
(1)，且a＋b＋c＝12；
(2)．
【详解】解：（1）设a＝3k，b＝4k，c＝5k（），则3k＋4k＋5k＝12，
解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴该一元二次方程为．
（2）由题意得a＝2，b＝4，c＝5，∴该一元二次方程为．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】、，是一元二次方程，原选项符合题意；
、，没有说明，不能判定是否为一元二次方程，原选项不符合题意；
、，化简为是一元一次方程，原选项不符合题意；
、，不是一元二次方程，原选项不符合题意；
故选：．
2．把方程化成的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，，2 B．1，7， C．1，，12 D．1，，10
【详解】解：，
，
，
，
则，，，
故选：D．
3．一元二次方程的一个实数根为，则的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【详解】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
，
，
故选：C．
4．如果关于的方程是一元二次方程，则常数k的值是 ．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，解得，
故答案为：．
5．已知m是方程的一个根，则的值为 ．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴
，
故答案为：
6．已知是一元二次方程的一个根，求的值．
【详解】解：将代入得，
7． 已知关于x的一元二次方程其中a、b、c分别是的三条边长． 若是方程的根，请判断的形状，并说明理由．
【详解】解：是等腰三角形，理由如下，
依题意，将代入得
∴即∴是等腰三角形中小学教育资源及组卷应用平台
课时2.1 一元二次方程（学案）
1.理解一元二次方程的定义，能对一元二次方程进行准确的判断，并利用一元二次方程的定义求相应参数的数值.
2.掌握一元二次方程的一般式，正确认识二次项系数、一次项系数和常数项。
3.能够识别实际问题中的数量关系，准确设出未知数，列出一元二次方程。例如在面积问题中，像“用长为10米的铁丝围矩形，设一边长为米，根据矩形周长和面积公式列出方程求解面积等问题”
学习重点：一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式
学习难点：根据相关条件求一元二次方程的相关系数
列举2个一元二次方程： ， ；
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
将一个容积为750cm的包装盒剪开、铺平，纸样如图所示。图中x(cm)应满足怎样的方程
【合作探究】（1）如图是某摄影爱好者拍摄的一张长为，宽为的长岗坡渡槽风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅矩形挂图．若使整个挂图的面积是，设风景照四周所镶边的宽为，则所列方程是 ．
（2）一种新款汽车刚上市的价格是18万元/辆，每年的降价率为，如果该款车在上市满两年后的价格为万元/辆，求年降价率的值．根据题意列出关于的方程是 ．
（3）如图，用长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是 ．
观察上面所列方程，说一说这些方程与一元一次方程相同和不同处？
只含 未知数，且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。能使一元二次方程两边 未知数的值叫做一元二次方程的 （或 ）
注意：① ；② ；③ 。
例1下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）（为已知数）；（7）．
例2已知关于x的方程．
（1）当m取何值时，是一元二次方程；
（2）当m取何值时，是一元一次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 的形式。我们把 ax2+bx+c=0 (a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中 ， ， 分别称为二次项、一次项和常数项， ， 分别称为二次项系数和一次项系数。
想一想：为什么要限制a≠0？b，c可以为0吗？
注意：我们在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的次数从高到低排列，即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。
做一做：将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．
（1）；（2）；（3）；（4）
例3设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程：
(1)，且a＋b＋c＝12；
(2)．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把方程化成的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，，2 B．1，7， C．1，，12 D．1，，10
3．一元二次方程的一个实数根为，则的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
4．如果关于的方程是一元二次方程，则常数k的值是 ．
5．已知m是方程的一个根，则的值为 ．
6．已知是一元二次方程的一个根，求的值．
7． 已知关于x的一元二次方程其中a、b、c分别是的三条边长． 若是方程的根，请判断的形状，并说明理由．
