第一章 解直角三角形（A卷）——浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·云南） 在中，，已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴=，
故答案为：C
【分析】根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
2．的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
故答案为：B.
【分析】根据特殊锐角三角函数值即可直接得出答案.
3．（2017·济宁模拟）如果α是锐角，且sinα= ，那么cos（90°﹣α）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵α为锐角，sinα= ，
∴cos（90°﹣α）=sinα= ．
故选B．
【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．
4．（2023九上·亳州月考）已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系；解直角三角形
【解析】【解答】
解：如图所示，
∵ ，
∴ 设BC=3x，则AB=5x
∴ AC==4x
∴ tanB==
∴ tanB=
故答案为D
【分析】本题考查锐角三角函数中的正切和正弦函数，根据得出BC，AB，可得AC，根据tanB=可得答案，熟悉各函数的定义是关键。
5．（2023九上·衡阳月考）锐角满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，且，
，
故答案为：B.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数的关系的增减性，即可求解.
6．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
7．如图， 在 中， ， 则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；解直角三角形；求余弦值
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=，
∴cosA=，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用余弦的定义及计算方法分析求解即可.
8．（2024九上·滦州期中）如图，在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
9．（2024·深圳模拟）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率n= (i为入射角，r为折射角).如图 ，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC 边的方向射出，已知 i=30°，AB=15cm，BC=5cm，则该玻璃透镜的折射率 n为（ ）
A．1.8 B．1.6 C．1.5 D．1.4
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据图形可知折射角r=∠A，
sinA=，
∴n=，
故答案为：C.
【分析】根据同角的余角相等得到折射角r=∠A，从而算出折射率.
10．（2024九下·长春月考）2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点A滑行到点B．若，则这名滑雪运动员水平方向BC滑行了多少米（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可得：，
∴，
∴．
这名滑雪运动员水平方向滑行了．
故答案为：B
【分析】 根据锐角三角函数中余弦的定义，，可直接进行求解．
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2024九上·岳阳期末）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则tanA= ；
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴，
故答案为：
【分析】根据特殊角的三角函数值结合题意即可求解。
12．（2024九下·杭州开学考）计等：
【答案】2
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：2.
【分析】先根据特殊角的三角函数值计算sin30°，进而即可求解。
13．（2020·亳州模拟）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝ 度．
【答案】70
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵sinα＝cos20°，
∴α＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70．
【分析】直接利用sinA＝cos（90°﹣∠A），进而得出答案．
14．（2023九上·鹿城月考）如图是以的边为直径的半圆，点恰好在半圆上，过作于．已知，则的长为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵点C在半圆上，AB是直径
∴∠ACB=90°
∵CD⊥AB，且cos∠ACD=
∴sin∠CAB=cos∠ACD=
∴cos∠CAB=
∴tan∠CAB=
∴
∴AC==
故答案为：83.
【分析】直径所对的圆周角为直角，△ABC是直角三角形；若α+β=90°，则sinα=cosβ，故sin∠CAB=cos∠ACD=；sin2α+cos2β=1，故cos∠CAB=；由tanα=，得tan∠CAB=，再根据三角函数定义，可求得AC=83.
15．（2024·伊通模拟）计算： ．
【答案】2
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：2
【分析】根据零指数幂结合特殊角的三角函数值进行运算，进而即可求解。
16．（2023九上·上海市月考）在高为30米的高楼窗户处测得地面花坛中心标志物的俯角为，那么这一标志物离高楼的距离为 米．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，米，
∵，
∴，
∴米．
故答案为：.
【分析】先把俯角转化三角形内，利用正切解直角三角形即可解题．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2020·丰台模拟）计算： ．
【答案】解：原式
．
【知识点】平方根；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】先运用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值对原式进行化简，然后在计算即可．
18．（2023·松北模拟）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
19．（2023九上·石家庄期中）三亚南山海上观音圣像是世界上最高的观音像，某数学实践小组利用所学的数学知识测量观音圣像的高度AB，如图，该数学实践小组在点C处测得观音圣像顶端A的仰角为45°，然后沿斜坡CD行走40m到点D处，在点D处测得观音圣像顶端A的仰角为32°，已知∠ACD＝105°．（点A，B，C，D在同一平面内）.
（1）过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DCE＝ °；
（2）填空：DE＝ m，CE＝ m；（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）
（3）求三亚南山海上观音圣像的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【答案】（1）30
（2）20；34
（3）解：过点D作DF⊥AB于点F，
由题意得：BF＝DE＝20m，DF＝BE，
设AB＝x m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴BC＝＝x（m），
∴AF＝AB﹣BF＝（x﹣20）m，
DF＝BE＝BC+CE＝（x+34）m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝32°，
∴AF＝DF tan32°≈0.62（x+34）m，
∴x﹣20＝0.62（x+34），
解得：x≈108，
∴AB＝108m，
答：三亚南山海上观音圣像的高度AB约为108m．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∠DCE=180°-∠ACB-∠ACD=180°-45°-105°=30°；
故答案为：30；
（2）在Rt△DCE中，∠E=90°，）∠DCE=30°，CD=40m，
∴DE=(m)；
CE=≈34；
故第1空答案为：20；第2空答案为：34；
【分析】（1）直接根据平角定义即可得出答案；
（2）根据含30°锐角的直角三角形的性质，即可得出DE，再根据勾股定理即可求得CE的长度；
（3） 设AB＝x m， 则BC=xm，进一步可表示出DF=x+34，AF=x-20，在Rt△ADF中，∠ADF＝32°， 根据正切的定义可得 AF＝DF tan32 ，进一步得出方程 x﹣20＝0.62（x+34）， 解得 x≈108， 即AB=108m.
20．（2024·南山模拟）如图，在中，，点D是AB上一点，且，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．
（1）求证：AB是圆O的切线；
（2）若，圆O的半径为3，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵OD是圆O的半径，∴直线AB与圆O相切；
（2）解：∵，，∴，
∴，在中，，
∴设，，∴，∴，∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得，结合已知可推出，从而求出，根据切线的判定定理即证；
（2）由求出OB=5，即得BC=8，由可设，，利用勾股定理求出CB=4x=8，求出x值，继而得解.
21．（2024九下·通榆月考）如图，已知在锐角三角形中，，，．
（1）求，，的长．
（2）的值为 ．
【答案】（1）解：在中，，，，
，，
，
．
（2）
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：（2）在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先利用正弦函数求出AD的长，再利用勾股定理求出BD的长，最后利用线段的关系求解即可；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再根据余弦的定义求解即可．
22．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．
【答案】解：∠OBA=∠OCD，理由如下：
由勾股定理，得
AB===5，CD===15，
sin∠OBA==，sin∠OCD===，
∠OBA=∠OCD．
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，CD的长，根据锐角三角三角函数的正弦等对边比斜边，可得锐角三角函数的正弦值，再根据锐角三角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案．
23．（2023·泰山模拟）如图，四边形是的内接四边形，连接延长至点E．
（1）若，求证：平分；
（2）若，的半径为6，求．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即AD平分．
（2）解：如图，作直径，连接，则
∵圆的半径为6，
∴，
由勾股定理得：
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆的内接四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，即得，根据角平分线的定义即得结论；
（2）作直径，连接，则， 由勾股定理求出CF的长，由同弧所对的圆周角相等可得 ， 即得 ，继而得解.
24．（2023九下·婺城月考）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线.已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
（1）求乙山处到河边的垂直距离；
（2）求河的宽度.（结果保留整数）
【答案】（1）解：如图，过B作于点F，
∵乙山的坡比为，
∴，
设米，则米，
∴（米），
又米，
∴，
∴，
∴米，
答：乙山B处到河边的垂直距离为360米；
（2）解：过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，
，
∴米，，
∴（米），
∵从B处看A处的俯角为，
∴，
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米），
由（1）可知，米，
∴（米），
答：河的宽度约为195米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1） 过B作BF⊥CD于点F，根据坡比的概念得 ，设BF=4t米，DF=3t米，由勾股定理表示出BD，结合BD=450米建立方程可求出t，从而即可解决此题；
（2） 过A作AE⊥CD于E，过A作AH⊥BF于H，则四边形AEFH为矩形，得HF=AE=120米，AH=EF，则BH=BF-HF=240米，在Rt△ABH中，由正切函数的定义可求出AH，在Rt△ACE中，由勾股定理可算出CE，进而根据CD=EF-CE-DF即可算出答案.
25．（2023·包头）为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为.点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角为.
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角的度数；
⑵求检查点和之间的距离(结果保留根号).
【答案】解：如图，根据题意得，，.
⑴，
.
在中，，
.
答：行进路线BC和CA所在直线的夹角为.
⑵过点作，垂足为
，
.
在Rt中，
，
.
在Rt中，
，
.
答：检查点和之间的距离为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：∠NAS=180°，∠SAB=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后在△ABC中利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，在△ABD中，利用45°的三角函数求出AD和BD长，在△ACD中，利用60°的三角函数求出CD长，进而得出BC的长.
1 / 1第一章 解直角三角形（A卷）——浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·云南） 在中，，已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．（2017·济宁模拟）如果α是锐角，且sinα= ，那么cos（90°﹣α）的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·亳州月考）已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·衡阳月考）锐角满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图， 在 中， ， 则 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·滦州期中）如图，在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·深圳模拟）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率n= (i为入射角，r为折射角).如图 ，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC 边的方向射出，已知 i=30°，AB=15cm，BC=5cm，则该玻璃透镜的折射率 n为（ ）
A．1.8 B．1.6 C．1.5 D．1.4
10．（2024九下·长春月考）2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点A滑行到点B．若，则这名滑雪运动员水平方向BC滑行了多少米（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2024九上·岳阳期末）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=4，则tanA= ；
12．（2024九下·杭州开学考）计等：
13．（2020·亳州模拟）如果α是锐角，且sinα＝cos20°，那么α＝ 度．
14．（2023九上·鹿城月考）如图是以的边为直径的半圆，点恰好在半圆上，过作于．已知，则的长为 ．
15．（2024·伊通模拟）计算： ．
16．（2023九上·上海市月考）在高为30米的高楼窗户处测得地面花坛中心标志物的俯角为，那么这一标志物离高楼的距离为 米．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2020·丰台模拟）计算： ．
18．（2023·松北模拟）先化简，再求代数式的值，其中．
19．（2023九上·石家庄期中）三亚南山海上观音圣像是世界上最高的观音像，某数学实践小组利用所学的数学知识测量观音圣像的高度AB，如图，该数学实践小组在点C处测得观音圣像顶端A的仰角为45°，然后沿斜坡CD行走40m到点D处，在点D处测得观音圣像顶端A的仰角为32°，已知∠ACD＝105°．（点A，B，C，D在同一平面内）.
（1）过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DCE＝ °；
（2）填空：DE＝ m，CE＝ m；（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）
（3）求三亚南山海上观音圣像的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
20．（2024·南山模拟）如图，在中，，点D是AB上一点，且，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．
（1）求证：AB是圆O的切线；
（2）若，圆O的半径为3，求AC的长．
21．（2024九下·通榆月考）如图，已知在锐角三角形中，，，．
（1）求，，的长．
（2）的值为 ．
22．已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．
23．（2023·泰山模拟）如图，四边形是的内接四边形，连接延长至点E．
（1）若，求证：平分；
（2）若，的半径为6，求．
24．（2023九下·婺城月考）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线.已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，）
（1）求乙山处到河边的垂直距离；
（2）求河的宽度.（结果保留整数）
25．（2023·包头）为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为.点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角为.
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角的度数；
⑵求检查点和之间的距离(结果保留根号).
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴=，
故答案为：C
【分析】根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
2．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵，
故答案为：B.
【分析】根据特殊锐角三角函数值即可直接得出答案.
3．【答案】B
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵α为锐角，sinα= ，
∴cos（90°﹣α）=sinα= ．
故选B．
【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．
4．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系；解直角三角形
【解析】【解答】
解：如图所示，
∵ ，
∴ 设BC=3x，则AB=5x
∴ AC==4x
∴ tanB==
∴ tanB=
故答案为D
【分析】本题考查锐角三角函数中的正切和正弦函数，根据得出BC，AB，可得AC，根据tanB=可得答案，熟悉各函数的定义是关键。
5．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的增减性；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，且，
，
故答案为：B.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数的关系的增减性，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；解直角三角形；求余弦值
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=，
∴cosA=，
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用余弦的定义及计算方法分析求解即可.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据图形可知折射角r=∠A，
sinA=，
∴n=，
故答案为：C.
【分析】根据同角的余角相等得到折射角r=∠A，从而算出折射率.
10．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可得：，
∴，
∴．
这名滑雪运动员水平方向滑行了．
故答案为：B
【分析】 根据锐角三角函数中余弦的定义，，可直接进行求解．
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴，
故答案为：
【分析】根据特殊角的三角函数值结合题意即可求解。
12．【答案】2
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：2.
【分析】先根据特殊角的三角函数值计算sin30°，进而即可求解。
13．【答案】70
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵sinα＝cos20°，
∴α＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70．
【分析】直接利用sinA＝cos（90°﹣∠A），进而得出答案．
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵点C在半圆上，AB是直径
∴∠ACB=90°
∵CD⊥AB，且cos∠ACD=
∴sin∠CAB=cos∠ACD=
∴cos∠CAB=
∴tan∠CAB=
∴
∴AC==
故答案为：83.
【分析】直径所对的圆周角为直角，△ABC是直角三角形；若α+β=90°，则sinα=cosβ，故sin∠CAB=cos∠ACD=；sin2α+cos2β=1，故cos∠CAB=；由tanα=，得tan∠CAB=，再根据三角函数定义，可求得AC=83.
15．【答案】2
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：2
【分析】根据零指数幂结合特殊角的三角函数值进行运算，进而即可求解。
16．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得：，米，
∵，
∴，
∴米．
故答案为：.
【分析】先把俯角转化三角形内，利用正切解直角三角形即可解题．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】平方根；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】先运用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值对原式进行化简，然后在计算即可．
18．【答案】解：
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
19．【答案】（1）30
（2）20；34
（3）解：过点D作DF⊥AB于点F，
由题意得：BF＝DE＝20m，DF＝BE，
设AB＝x m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴BC＝＝x（m），
∴AF＝AB﹣BF＝（x﹣20）m，
DF＝BE＝BC+CE＝（x+34）m，
在Rt△ADF中，∠ADF＝32°，
∴AF＝DF tan32°≈0.62（x+34）m，
∴x﹣20＝0.62（x+34），
解得：x≈108，
∴AB＝108m，
答：三亚南山海上观音圣像的高度AB约为108m．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∠DCE=180°-∠ACB-∠ACD=180°-45°-105°=30°；
故答案为：30；
（2）在Rt△DCE中，∠E=90°，）∠DCE=30°，CD=40m，
∴DE=(m)；
CE=≈34；
故第1空答案为：20；第2空答案为：34；
【分析】（1）直接根据平角定义即可得出答案；
（2）根据含30°锐角的直角三角形的性质，即可得出DE，再根据勾股定理即可求得CE的长度；
（3） 设AB＝x m， 则BC=xm，进一步可表示出DF=x+34，AF=x-20，在Rt△ADF中，∠ADF＝32°， 根据正切的定义可得 AF＝DF tan32 ，进一步得出方程 x﹣20＝0.62（x+34）， 解得 x≈108， 即AB=108m.
20．【答案】（1）证明：连接OD，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵OD是圆O的半径，∴直线AB与圆O相切；
（2）解：∵，，∴，
∴，在中，，
∴设，，∴，∴，∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得，结合已知可推出，从而求出，根据切线的判定定理即证；
（2）由求出OB=5，即得BC=8，由可设，，利用勾股定理求出CB=4x=8，求出x值，继而得解.
21．【答案】（1）解：在中，，，，
，，
，
．
（2）
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：（2）在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先利用正弦函数求出AD的长，再利用勾股定理求出BD的长，最后利用线段的关系求解即可；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再根据余弦的定义求解即可．
22．【答案】解：∠OBA=∠OCD，理由如下：
由勾股定理，得
AB===5，CD===15，
sin∠OBA==，sin∠OCD===，
∠OBA=∠OCD．
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，CD的长，根据锐角三角三角函数的正弦等对边比斜边，可得锐角三角函数的正弦值，再根据锐角三角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案．
23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即AD平分．
（2）解：如图，作直径，连接，则
∵圆的半径为6，
∴，
由勾股定理得：
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）由圆的内接四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，即得，根据角平分线的定义即得结论；
（2）作直径，连接，则， 由勾股定理求出CF的长，由同弧所对的圆周角相等可得 ， 即得 ，继而得解.
24．【答案】（1）解：如图，过B作于点F，
∵乙山的坡比为，
∴，
设米，则米，
∴（米），
又米，
∴，
∴，
∴米，
答：乙山B处到河边的垂直距离为360米；
（2）解：过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，
，
∴米，，
∴（米），
∵从B处看A处的俯角为，
∴，
在中，，
∴（米），
∴（米），
在中，由勾股定理得：（米），
由（1）可知，米，
∴（米），
答：河的宽度约为195米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1） 过B作BF⊥CD于点F，根据坡比的概念得 ，设BF=4t米，DF=3t米，由勾股定理表示出BD，结合BD=450米建立方程可求出t，从而即可解决此题；
（2） 过A作AE⊥CD于E，过A作AH⊥BF于H，则四边形AEFH为矩形，得HF=AE=120米，AH=EF，则BH=BF-HF=240米，在Rt△ABH中，由正切函数的定义可求出AH，在Rt△ACE中，由勾股定理可算出CE，进而根据CD=EF-CE-DF即可算出答案.
25．【答案】解：如图，根据题意得，，.
⑴，
.
在中，，
.
答：行进路线BC和CA所在直线的夹角为.
⑵过点作，垂足为
，
.
在Rt中，
，
.
在Rt中，
，
.
答：检查点和之间的距离为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得：∠NAS=180°，∠SAB=25°，从而利用平角定义可得∠CAB=75°，然后在△ABC中利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，在△ABD中，利用45°的三角函数求出AD和BD长，在△ACD中，利用60°的三角函数求出CD长，进而得出BC的长.
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