第一章 解直角三角形（B卷）——浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·中山模拟）在Rt中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2018·淮南模拟）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧 上一点（不与A，B重合），则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图 31-2， 某商场有一自动扶梯， 其倾斜角为 ， 高为 7 米． 用计算器求 的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·黑龙江）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江阳模拟）如图，矩形的对角线相交于点O，，分别过点D，点C作的平行线，两线相交于点E，连接交于点F，则的值是（ ）
A．7 B． C．8 D．
6． 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点 A 到 BC 的距离为（ ）
A．60sin 50° B． C．60cos50° D．60tan50°
7．（2024九下·花溪月考）如图所示，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12 m，AB与AC的夹角为α，则高BC是（ ）
A．12sin α m B．12cos α m C． m D． m
8．（2025九上·玉环期末）如图，已知在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到．点是边的中点，点是边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点F的对应点是点，则线段的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025九上·丽水期末）如图，在平行四边形中，，，，是边上的动点，连接，过点作于点．则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·上城模拟）如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点. 已知AE=2，tan∠CBA=，则AB的长为 （ ）
A． B．6 C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024九下·婺城模拟）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式，可得，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增加时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为 （结果保留根号）．
12．（2023·崇明模拟）如图，在中，，点D在边上，点E在射线上，将沿翻折，使得点A落在点处，当且时，的长为 ．
13．（2023·海曙模拟）如图，点A (7，7)，过A作AB⊥x轴于点B，C是反比例函数y=图像上一动点且在△AOB内部，以C为圆心为半径作⊙C，当⊙C与△AOB的边相切时，点C的纵坐标是 ．
14．（2023·海淀模拟）如图，为的弦，为上一点，于点若，，则 ．
15．2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是 米（结果精确到0.1米，sin21.8≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40）.
16．如图，某海防哨所 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 方向的 处， 则此时这艘船与哨所的距离 约为 米． (精确到 1 米，参考数据： )
三、解答题（共8题，共72分）
17．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
18．（2024九下·湖州模拟）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
19．（2023九下·东台月考）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为37°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走8米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为45°，点A、B、C三点在同一水平线上.
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）求古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高度.
20．（2023九上·万州期末）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形.
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ.当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值.
21．（2022九上·滨江期末）如图，在锐角三角形中，，以为直径的分别交于点，连接.
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）若半径为，，求四边形的面积（用含的代数式表示）.
22．（2024九下·定海开学考）仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度。
课题 估算仁皇阁高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等
组别 测量方案示意图 测量方案说明
组1 如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为27°，然后从C处向阁楼底部前进10m到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为30°．
组2 如图2，身高1.5m的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度GH为0.5cm，量得仁皇阁图上高度EF为12.9cm.
（1）任务一 请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据）
（2）任务二 后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可）
23．（2023九下·衢江月考）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2.已知，，，，.（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）
（1）连结，求线段的长.
（2）求点A，B之间的距离.
24．（2025九上·江北期末）如图 1，过点 作 直线 于点 ，过点 作 轴交直线 于点 ．线段 的长度称为点 到直线 的竖直距离．
【探索】
（1）如图 1，设点 的坐标为 ，则点 到直线 的紧直距离即为 的长度，则 ．（用含 的代数式表示）
（2）当直线 与 轴不平行时，点 到直线 的垂直距离 与点 到直线 的坚直距离 存在一定的数量关系，若此时直线 ，则 AC
（3）【应用】
如图 2，公园有一斜坡草坪（可看作线段 ），其倾斜角为 ，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线 ，其最远处落在草坪的 处．若在山上种一棵树 （垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架 ，请求出支架 的最大值．
（4）【拓展】
如图3，原有斜坡倾斜角 不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与 轴相切于点 ，若 ，为了保证灌溉山上种植的这棵树 （垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高 的最大值是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 在Rt中， ，
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求得BC=3，再利用正弦三角函数的定义即可求解.
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：作直径AD，连结BD，如图．
∵AD为直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，∵AD=10，AB=6，∴BD= =8，∴cosD= = = ．∵∠C=∠D，∴cosC= ．故答案为：D．
【分析】作直径AD，连结BD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD=90°，在Rt△ABD中根据勾股定理得出BD的长，根据余弦函数的定义得出cosD的值，根据同弧所对的圆周角相等及等角的同名三角函数值相等得出结论。
3．【答案】B
【知识点】计算器—三角函数；正弦的概念
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴按键顺序为，
故答案为：B．
【分析】本题考查正弦的定义，计算器的使用．先利用正弦的定义可得：，变形可得：，据此可得出按键顺序，选出答案．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OC，设OC1交BC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AD=5，OA∶OD=1∶4，
∴OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，
又∵∠AOC1=∠DOC1=90°，
∴四边形OABF与OFCD都是矩形，
∴AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，
∴∠ABO=∠FOB，
由折叠得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，
∴tan∠ABO=tan∠D1OC1，C1D1=AB，
∴，即，
解得AB=2，
∴OF=CD=2，
在Rt△CDO中，利用勾股定理得CO=，
∴FC1=OC1-OF=，
设CE=C1E=x，则EF=4-x，
在Rt△C1EF中，由勾股定理得C1E2=EF2+C1F2，即x2=（4-x）2+（）2，
解得x=，
∴EF=，
∵点E在第三象限，
∴点E的坐标为 .
故答案为：D.
【分析】连接OC，设OC1交BC于点F，易得OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，四边形OABF与OFCD都是矩形，由矩形的性质得AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，由平行线的性质得∠ABO=∠FOB，由折叠性质得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，进而根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，据此可求出AB的长，在Rt△CDO中，利用勾股定理求出CO，设CE=C1E=x，则EF=4-x，在Rt△C1EF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，进而结合点E所在的象限可得出点E的坐标.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，过点F作FG⊥BC于点G，
∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，OC=AC，OD=OC，AD⊥DC，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，ME=OE，MC=DC=3，
∴∠EMC=∠H=∠HCM=90°，
∴四边形MCHE是矩形，
∴EM=CH，ME=CH=3，
∴AD∥OE，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE=AD=9，
∴HC=4.5；
∴BH=BC+CH=9+4.5=13.5，
在Rt△ABC中，，
在Rt△BEH和Rt△BFG中
，
设FG=2x，BG=9x，
∵FG∥AB，
∴△CFG∽△CAB，
∴即
解之：，
∴
∴
解之：.
故答案为：B
【分析】连接OE，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，过点F作FG⊥BC于点G，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ODEC是平行四边形，利用矩形的性质可得到∠ABC=90°，OC=AC，OD=OC，AD⊥DC，可推出四边形ODEC是菱形，利用菱形的性质可求出MC的长，同时可证得OE⊥DC，ME=OE，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形MCHE是矩形，可求出ME，CH的长；再证明四边形AOED是平行四边形，可得到OE，HC的长，从而可求出BH的长；利用勾股定理求出AC的长，利用解直角三角形可得到FG与BG的比值，设FG=2x，BG=9x，由FG∥AB可证得△CFG∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可推出CF与AF的比值，然后根据AC的长，可求出AF的长.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC中， ∠A=88°，∠C=42°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，，AB=60，
∴AD=60sin50°.
即点A到BC的距离为60sin50°.
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先由三角形的内角和定理算出∠B的度数，在Rt△ABD中，由∠B的正弦函数可求出AD的长，从而得出答案.
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解： ∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=.
∴，
∵AB=12m，
∴BC=12 sinα（m）.
故答案为：A.
【分析】在Rt△ACB中，先利用正弦函数定义，表示出sinα，适当变形后，将图中AB的长代入即可.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，，过点作于，
在中，，
，
在中，，
，
；
点是边的中点，
，
点是边上的动点，
当点与点重合时，有最大值，
，
当点与点重合时，有最小值，
；
故答案为：A.
【分析】连接，，过点作于，利用解直角三角形得到AH和AC的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，即可得到的取值范围解题.
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】过点作，交的延长线于点，利用平行四边形的性质可得，，然后在中，利用正弦得到DH长，即可得到，进而得到，求出的值即可．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接EO并延长交于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交于点G，连接OB，如图，
∵EH为直径，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴半径为，
∴
∵OG⊥AB于F，
∴
由折叠得：
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接EO并延长交于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交于点G，连接OB，根据圆周角定理得到：然后解直角三角形得到利用勾股定理求出EH得长度，然后根据垂径定理得到：由折叠得：最后再利用勾股定理即可求解.
11．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题知，图中，，
作于点，
有，
，
的估计值为；
故答案为：．
【分析】利用正多边形得到圆心角，作于点，利用正弦求出长，进而得到，再根据解题即可．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，
∴；，
∵将沿翻折，使得点落在点处，当且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过作，过点E作，过点B作，交于点M，延长交于点N，
∵，
∴，
∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，
∴，
∴，
设，则：，
∴，，，
连接，则：，
在中，，即：，
解得：，
∴；
故答案为：．
【分析】在中，求出AB，根据折叠的性质可得，
根据四边形，四边形均为矩形，可得，由可知，，在中，根据勾股定理列方程，解之，即可求出BE。
13．【答案】4或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；切线的判定与性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A (7，7)，AB⊥x轴，
∴OB=BA，∠ABO=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°即OA是第一象限的角平分线，
∴OA的函数解析式为y=x，
当圆C与OA边相切时切点且E，连接CE，过点C作CF∥x轴，交OA于点F，
∴∠EFC=∠AOB=45°，∠CEF=90°，
∴CE=EF=
∴，
设点C（m，），
∴点F，
∴
解之：m1=-4（舍去），m2=6，
∴点C的纵坐标为；
当圆C与AB边相切时，切点为G，
∴CG=，CG⊥AB，
∴点C横坐标为，
∴点C的纵坐标为.
故答案为：4或
【分析】利用点A的坐标可证得△AOB是等腰直角三角形，由此可知OA是第一象限的角平分线，可得到OA的函数解析式为y=x；再分情况讨论：当圆C与OA边相切时切点且E，连接CE，过点C作CF∥x轴，交OA于点F，易证∠EFC=∠AOB=45°，∠CEF=90°，利用解直角三角形求出CF的长，设点C（m，），可表示出点F的坐标，由此可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点C的纵坐标；当圆C与AB边相切时，切点为G，可得到CG=，CG⊥AB，即可得到点C的横坐标，再利用反比例函数解析式求出点C的纵坐标；综上所述可得到点C的纵坐标.
14．【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴，∠ADO=90°，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】根据垂径定理求出，∠ADO=90°，再利用勾股定理求出OD=1，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
15．【答案】9.5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵∠EAD=21.8°，AD=BC=20米，
∴ED=ADtan21.8°≈8米，
∴EC=ED+DC=9.5米，
故答案为：9.5.
【分析】根据仰角的定义可知∠EAD=21.8°，再根据锐角三角函数的定义求出ED的长度，从而得出答案.
16．【答案】566
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示，依题意可知：AO=400，∠AOC=45 ，
∴AC=OC=AO sinAOC
=400sin45
=400 ×22
=200 2
在Rt△OCB中，OC=200 2，∠COB=60 ，
∴BC=OC tanCOS
=200 2tan60
=200 2× 3
∴AB=AC+BC
=200 2+2002× 3
2001.414+2001.4141.732
=566
∴故答案为：566.
【分析】本题先在直角三角形ACO和直角三角形OCB中，利用三角函数求出AC的长度和BC的长度，最后求和即可求出答案.
17．【答案】解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA=，cosA=，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即+＜1，
∴an+bn＜cn．
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA=，cosA=，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即+＜1，即可得到它们的关系．
18．【答案】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N，
由题意可知，，
在中，，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作于点N，然后根据解直角三角形可得，求出CN长解题即可；
（2）过A作交的延长线于点M，过点C作于点F，在中，利用三角函数的到AF长，然后利用线段的和差解题即可．
19．【答案】（1）解：由题意：四边形ABED是矩形，可得DE＝AB＝8米，AD＝BE＝1.5米，
在Rt△DEH中，
∵∠EDH＝37°，
∴HE＝DE tan37°≈8×0.75＝6米.
∴BH＝EH+BE＝7.5米
（2）解：设GF＝x米，在Rt△GEF中，∠GEF＝45°，
∴EF＝GF＝x，
在Rt△DFG中，tan37°＝≈0.75，
∴x≈24，
∴CG＝CF+FG＝25.5米，
答：教学楼CG的高度为25.5米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由题意可得：四边形ABED是矩形，则DE＝AB＝8米，AD＝BE＝1.5米，根据三角函数的概念可求出HE的值，然后根据BH＝EH+BE进行计算；
（2）设GF＝x米，则EF＝GF＝x，根据三角函数的概念可得x的值，然后根据CG＝CF+FG进行计算.
20．【答案】（1）解：作DF⊥AC
∵点E是BD的中点
∴BE=DE
故
∵AD=4，△ADE是等边三角形，DF⊥AE
∴AF=EF=2，∠ADF=30°
∴DF=
∵在Rt△DEC中，CD=5，DF=，根据勾股定理得：
FC=
∴CE=CF-EF=
=
（2）证明：延长AF使AF=FG如下图
∵△AED是等边三角形
∴∠AED=∠ADE=60°，AE=AD=ED
∵AF=FG，点F是CD的中点
∴CF=FD又∠AFD=∠CFG
∴△AFD≌△GFC
∴CG=AD，∠FCG=∠ADF
∴CG=AE
又∵∠CEB=∠ECD+∠EDC=60°，
∴∠ACG=∠FCG+∠ACD=∠ADF+∠ACD=120°
又∠AEB=120°
∴∠AEB=∠ACG，∠CAG=∠ABD
又CG=AE
∴
∴AB=AG
故AB=2AF
（3）解：如下图，过点Q作QG⊥BG，使∠NBE=∠GBQ，在Rt△BQG中，sin∠BQG= 则GQ=BQ，故CQ＋BQ=CQ+QG，由∠APD=90°，可知点P的运动轨迹为AD为直径的圆，⊙N .点G为以BE的中点为圆心的圆，点G的运动轨迹为圆.当点C、Q、G在同一条直线上时，CQ+QG的长度最小.
∵AB∥CD，∠APD＝90°
∴四边形ADCK为正方形，有AD= AB=
∴CK=AD=又tan∠ABC＝2
∴BC=
∵AN= ，GN=
∴CL=CD-DL=
∠BGN=∠GCL
∴Rt△BGN≌Rt△GCL
∴BG=CG
在Rt△BGC中，BC=
∴CG=
即CQ＋BQ的最小值=
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等边三角形的性质；点与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）作DF⊥AC，根据中点的概念可得BE=DE，则S△BCE=S△CDE，有等边三角形的性质可得AF=EF=2，∠ADF=30°，DF= ，根据勾股定理可得FC，有CE=CF-EF求出CE，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）延长AF使AF=FG，由等边三角形的性质可得∠AED=∠ADE=60°，AE=AD=ED，证明△AFD≌△GFC，得到CG=AD，∠FCG=∠ADF，则CG=AE，进而证明△ABE≌△AGC，得到AB=AG，据此证明；
（3）过点Q作QG⊥BG，使∠NBE=∠GBQ，根据三角函数的概念可得GQ=BQ，则CQ＋BQ=CQ+QG，由∠APD=90°可知点P的运动轨迹为AD为直径的圆，当点C、Q、G在同一条直线上时，CQ+QG的长度最小，然后求出AD、BC、CL的值，证明Rt△BGN≌Rt△GCL，得到BG=CG，据此求解.
21．【答案】（1）解：如图，连接.
是直径，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）证明：设.
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
.
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BE，由圆周角定理可得∠BEC=90°，则∠AEB=90°，由余角的性质可得∠ABE=90°-∠BAC=40°，由圆周角定理可得∠DOE=2∠DBE，据此求解；
（2）设∠BAC=2α，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=90°-α，则∠CBE=α，同理可得∠OBD=∠ODB=90°-α，∠BOD=2α，由圆周角定理可得∠BED=∠BOD=α，推出∠CBE=∠BED，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3）由等腰三角形的性质可得AO⊥BC，根据三角函数的概念可得tan∠ABC的值，结合OB的值可得OA，根据∠C的正切函数值可得EC，由AE=AC-EC可得AE，根据平行线分线段成比例的性质可得DE，然后根据对角线垂直的四边形的面积为其对角线乘积的一半进行计算.
22．【答案】（1）解：组1，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得；
（2）解：组2，设阁楼高度为，
根据题意得，
解得，
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由∠ACB得正切函数可得BC=2AB，由∠ADB得正切函数及特殊锐角三角函数值可得，进而根据BC-BD=CD建立方程求解可得答案；
（2）根据在同一镜头下的物高与像的比值相等建立方程可求出阁楼高度，进而根据题意写出产生误差的原因即可.
23．【答案】（1）解：如图2，过点C作于点F，
∵，
∴，平分.
∴，
∴(cm)，
∴.
（2）解：如图3，连结.设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l经过点C.
∴，，
∴AB∥DE.
过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，
∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，
∴四边形DGCE是矩形，
∴DE=HG，
∴DG∥l， EH∥l，
∴，
∵，BE⊥CE，
∴，
∴(cm)，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 （1）过点C作CF⊥DE于点F，由等腰三角形的三线合一得DF=EF，∠DCF=∠ECF=20°， 由∠DCF的正弦函数可求出DF的长，从而即可求出DE的长；
（2） 连结AB，设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l， 根据轴对称图形的性质得AB⊥l，DE⊥l，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AB∥DE， 过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H， 易得四边形DGCE是矩形，得DE=HG，由平行线的性质可得∠GDC=∠CEH=20°，由同角的余角相等得∠DAB=∠GDC=20°，∠EBH=∠CEH=20°，由极爱哦A的余弦阿含糊可求出AG，由∠B的余弦函数可求出BH，最后根据AB=BH+AG+DE计算即可.
24．【答案】（1）
（2）
（3）解：如图 1，过点 作 交 于点 ，过 作 平行于 轴交 于点C． 称为点 到直线 的竖直距离
草坪倾斜角为 ．
．
设 横坐标为 ．
当 时， 最大， ．
．
此时 最大， ．
（4）解： 圆弧与 轴相切．
圆心在 轴上，记圆心为 ．
过 作 交圆弧于 ，交 于 ．
过 作 轴垂线交 于 ，
此时 最大，即 最大．
【知识点】垂径定理；二次函数的实际应用-喷水问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）∵ 点 的坐标为 ，
∴，
故答案为：；
（2）设直线l交x轴于点E，延长AC交x轴于点D，
则点D的坐标为(x，0)，点C的坐标为(x，），点E的坐标为(-5，0)，
∴，
∵∠ECD=∠ACB，
∴sin∠ECD=sin∠ACB，即，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据平行于y轴的两点的距离等于纵坐标差的绝对值计算即可；
（2）设直线l交x轴于点E，延长AC交x轴于点D，得到EC长，然后根据sin∠ECD=sin∠ACB解题即可；
（3）根据（2）中的结论计算即可；
（4）过 作 交圆弧于 ，交 于 ．过 作 轴垂线交 于 ，则 最大，即 最大，然后根据（2）终结论解题即可.
1 / 1第一章 解直角三角形（B卷）——浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024·中山模拟）在Rt中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： 在Rt中， ，
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求得BC=3，再利用正弦三角函数的定义即可求解.
2．（2018·淮南模拟）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧 上一点（不与A，B重合），则cosC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【解答】解：作直径AD，连结BD，如图．
∵AD为直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，∵AD=10，AB=6，∴BD= =8，∴cosD= = = ．∵∠C=∠D，∴cosC= ．故答案为：D．
【分析】作直径AD，连结BD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD=90°，在Rt△ABD中根据勾股定理得出BD的长，根据余弦函数的定义得出cosD的值，根据同弧所对的圆周角相等及等角的同名三角函数值相等得出结论。
3．如图 31-2， 某商场有一自动扶梯， 其倾斜角为 ， 高为 7 米． 用计算器求 的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】计算器—三角函数；正弦的概念
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴按键顺序为，
故答案为：B．
【分析】本题考查正弦的定义，计算器的使用．先利用正弦的定义可得：，变形可得：，据此可得出按键顺序，选出答案．
4．（2023·黑龙江）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接OC，设OC1交BC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，AD=5，OA∶OD=1∶4，
∴OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，
又∵∠AOC1=∠DOC1=90°，
∴四边形OABF与OFCD都是矩形，
∴AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，
∴∠ABO=∠FOB，
由折叠得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，
∴tan∠ABO=tan∠D1OC1，C1D1=AB，
∴，即，
解得AB=2，
∴OF=CD=2，
在Rt△CDO中，利用勾股定理得CO=，
∴FC1=OC1-OF=，
设CE=C1E=x，则EF=4-x，
在Rt△C1EF中，由勾股定理得C1E2=EF2+C1F2，即x2=（4-x）2+（）2，
解得x=，
∴EF=，
∵点E在第三象限，
∴点E的坐标为 .
故答案为：D.
【分析】连接OC，设OC1交BC于点F，易得OA=1，OD=4，∠A=∠ABC=∠D=90°，四边形OABF与OFCD都是矩形，由矩形的性质得AB=OF=CD，DO=CF=4，AB∥OF，由平行线的性质得∠ABO=∠FOB，由折叠性质得C1D1=CD，∠D1=∠D=90°，DO=D1O=4，CO=OC1，CE=C1E，进而根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，据此可求出AB的长，在Rt△CDO中，利用勾股定理求出CO，设CE=C1E=x，则EF=4-x，在Rt△C1EF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，进而结合点E所在的象限可得出点E的坐标.
5．（2023·江阳模拟）如图，矩形的对角线相交于点O，，分别过点D，点C作的平行线，两线相交于点E，连接交于点F，则的值是（ ）
A．7 B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，过点F作FG⊥BC于点G，
∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，OC=AC，OD=OC，AD⊥DC，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，ME=OE，MC=DC=3，
∴∠EMC=∠H=∠HCM=90°，
∴四边形MCHE是矩形，
∴EM=CH，ME=CH=3，
∴AD∥OE，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE=AD=9，
∴HC=4.5；
∴BH=BC+CH=9+4.5=13.5，
在Rt△ABC中，，
在Rt△BEH和Rt△BFG中
，
设FG=2x，BG=9x，
∵FG∥AB，
∴△CFG∽△CAB，
∴即
解之：，
∴
∴
解之：.
故答案为：B
【分析】连接OE，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，过点F作FG⊥BC于点G，利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ODEC是平行四边形，利用矩形的性质可得到∠ABC=90°，OC=AC，OD=OC，AD⊥DC，可推出四边形ODEC是菱形，利用菱形的性质可求出MC的长，同时可证得OE⊥DC，ME=OE，利用有三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形MCHE是矩形，可求出ME，CH的长；再证明四边形AOED是平行四边形，可得到OE，HC的长，从而可求出BH的长；利用勾股定理求出AC的长，利用解直角三角形可得到FG与BG的比值，设FG=2x，BG=9x，由FG∥AB可证得△CFG∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可推出CF与AF的比值，然后根据AC的长，可求出AF的长.
6． 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点 A 到 BC 的距离为（ ）
A．60sin 50° B． C．60cos50° D．60tan50°
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC中， ∠A=88°，∠C=42°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，，AB=60，
∴AD=60sin50°.
即点A到BC的距离为60sin50°.
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先由三角形的内角和定理算出∠B的度数，在Rt△ABD中，由∠B的正弦函数可求出AD的长，从而得出答案.
7．（2024九下·花溪月考）如图所示，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12 m，AB与AC的夹角为α，则高BC是（ ）
A．12sin α m B．12cos α m C． m D． m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解： ∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα=.
∴，
∵AB=12m，
∴BC=12 sinα（m）.
故答案为：A.
【分析】在Rt△ACB中，先利用正弦函数定义，表示出sinα，适当变形后，将图中AB的长代入即可.
8．（2025九上·玉环期末）如图，已知在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到．点是边的中点，点是边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点F的对应点是点，则线段的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，，过点作于，
在中，，
，
在中，，
，
；
点是边的中点，
，
点是边上的动点，
当点与点重合时，有最大值，
，
当点与点重合时，有最小值，
；
故答案为：A.
【分析】连接，，过点作于，利用解直角三角形得到AH和AC的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，即可得到的取值范围解题.
9．（2025九上·丽水期末）如图，在平行四边形中，，，，是边上的动点，连接，过点作于点．则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】过点作，交的延长线于点，利用平行四边形的性质可得，，然后在中，利用正弦得到DH长，即可得到，进而得到，求出的值即可．
10．（2024·上城模拟）如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点. 已知AE=2，tan∠CBA=，则AB的长为 （ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接EO并延长交于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交于点G，连接OB，如图，
∵EH为直径，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴半径为，
∴
∵OG⊥AB于F，
∴
由折叠得：
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接EO并延长交于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交于点G，连接OB，根据圆周角定理得到：然后解直角三角形得到利用勾股定理求出EH得长度，然后根据垂径定理得到：由折叠得：最后再利用勾股定理即可求解.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024九下·婺城模拟）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式，可得，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增加时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为 （结果保留根号）．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题知，图中，，
作于点，
有，
，
的估计值为；
故答案为：．
【分析】利用正多边形得到圆心角，作于点，利用正弦求出长，进而得到，再根据解题即可．
12．（2023·崇明模拟）如图，在中，，点D在边上，点E在射线上，将沿翻折，使得点A落在点处，当且时，的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，
∴；，
∵将沿翻折，使得点落在点处，当且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过作，过点E作，过点B作，交于点M，延长交于点N，
∵，
∴，
∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，
∴，
∴，
设，则：，
∴，，，
连接，则：，
在中，，即：，
解得：，
∴；
故答案为：．
【分析】在中，求出AB，根据折叠的性质可得，
根据四边形，四边形均为矩形，可得，由可知，，在中，根据勾股定理列方程，解之，即可求出BE。
13．（2023·海曙模拟）如图，点A (7，7)，过A作AB⊥x轴于点B，C是反比例函数y=图像上一动点且在△AOB内部，以C为圆心为半径作⊙C，当⊙C与△AOB的边相切时，点C的纵坐标是 ．
【答案】4或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；切线的判定与性质；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A (7，7)，AB⊥x轴，
∴OB=BA，∠ABO=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°即OA是第一象限的角平分线，
∴OA的函数解析式为y=x，
当圆C与OA边相切时切点且E，连接CE，过点C作CF∥x轴，交OA于点F，
∴∠EFC=∠AOB=45°，∠CEF=90°，
∴CE=EF=
∴，
设点C（m，），
∴点F，
∴
解之：m1=-4（舍去），m2=6，
∴点C的纵坐标为；
当圆C与AB边相切时，切点为G，
∴CG=，CG⊥AB，
∴点C横坐标为，
∴点C的纵坐标为.
故答案为：4或
【分析】利用点A的坐标可证得△AOB是等腰直角三角形，由此可知OA是第一象限的角平分线，可得到OA的函数解析式为y=x；再分情况讨论：当圆C与OA边相切时切点且E，连接CE，过点C作CF∥x轴，交OA于点F，易证∠EFC=∠AOB=45°，∠CEF=90°，利用解直角三角形求出CF的长，设点C（m，），可表示出点F的坐标，由此可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点C的纵坐标；当圆C与AB边相切时，切点为G，可得到CG=，CG⊥AB，即可得到点C的横坐标，再利用反比例函数解析式求出点C的纵坐标；综上所述可得到点C的纵坐标.
14．（2023·海淀模拟）如图，为的弦，为上一点，于点若，，则 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴，∠ADO=90°，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】根据垂径定理求出，∠ADO=90°，再利用勾股定理求出OD=1，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
15．2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是 米（结果精确到0.1米，sin21.8≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40）.
【答案】9.5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵∠EAD=21.8°，AD=BC=20米，
∴ED=ADtan21.8°≈8米，
∴EC=ED+DC=9.5米，
故答案为：9.5.
【分析】根据仰角的定义可知∠EAD=21.8°，再根据锐角三角函数的定义求出ED的长度，从而得出答案.
16．如图，某海防哨所 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 方向的 处， 则此时这艘船与哨所的距离 约为 米． (精确到 1 米，参考数据： )
【答案】566
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB，垂足为C，如图所示，依题意可知：AO=400，∠AOC=45 ，
∴AC=OC=AO sinAOC
=400sin45
=400 ×22
=200 2
在Rt△OCB中，OC=200 2，∠COB=60 ，
∴BC=OC tanCOS
=200 2tan60
=200 2× 3
∴AB=AC+BC
=200 2+2002× 3
2001.414+2001.4141.732
=566
∴故答案为：566.
【分析】本题先在直角三角形ACO和直角三角形OCB中，利用三角函数求出AC的长度和BC的长度，最后求和即可求出答案.
三、解答题（共8题，共72分）
17．设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
【答案】解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA=，cosA=，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即+＜1，
∴an+bn＜cn．
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【分析】分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA=，cosA=，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即+＜1，即可得到它们的关系．
18．（2024九下·湖州模拟）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)
（1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
（2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N，
由题意可知，，
在中，，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作于点N，然后根据解直角三角形可得，求出CN长解题即可；
（2）过A作交的延长线于点M，过点C作于点F，在中，利用三角函数的到AF长，然后利用线段的和差解题即可．
19．（2023九下·东台月考）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为37°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走8米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为45°，点A、B、C三点在同一水平线上.
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）求古树BH的高；
（2）计算教学楼CG的高度.
【答案】（1）解：由题意：四边形ABED是矩形，可得DE＝AB＝8米，AD＝BE＝1.5米，
在Rt△DEH中，
∵∠EDH＝37°，
∴HE＝DE tan37°≈8×0.75＝6米.
∴BH＝EH+BE＝7.5米
（2）解：设GF＝x米，在Rt△GEF中，∠GEF＝45°，
∴EF＝GF＝x，
在Rt△DFG中，tan37°＝≈0.75，
∴x≈24，
∴CG＝CF+FG＝25.5米，
答：教学楼CG的高度为25.5米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由题意可得：四边形ABED是矩形，则DE＝AB＝8米，AD＝BE＝1.5米，根据三角函数的概念可求出HE的值，然后根据BH＝EH+BE进行计算；
（2）设GF＝x米，则EF＝GF＝x，根据三角函数的概念可得x的值，然后根据CG＝CF+FG进行计算.
20．（2023九上·万州期末）如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形.
（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；
（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；
（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ.当AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2时，求CQ＋BQ的最小值.
【答案】（1）解：作DF⊥AC
∵点E是BD的中点
∴BE=DE
故
∵AD=4，△ADE是等边三角形，DF⊥AE
∴AF=EF=2，∠ADF=30°
∴DF=
∵在Rt△DEC中，CD=5，DF=，根据勾股定理得：
FC=
∴CE=CF-EF=
=
（2）证明：延长AF使AF=FG如下图
∵△AED是等边三角形
∴∠AED=∠ADE=60°，AE=AD=ED
∵AF=FG，点F是CD的中点
∴CF=FD又∠AFD=∠CFG
∴△AFD≌△GFC
∴CG=AD，∠FCG=∠ADF
∴CG=AE
又∵∠CEB=∠ECD+∠EDC=60°，
∴∠ACG=∠FCG+∠ACD=∠ADF+∠ACD=120°
又∠AEB=120°
∴∠AEB=∠ACG，∠CAG=∠ABD
又CG=AE
∴
∴AB=AG
故AB=2AF
（3）解：如下图，过点Q作QG⊥BG，使∠NBE=∠GBQ，在Rt△BQG中，sin∠BQG= 则GQ=BQ，故CQ＋BQ=CQ+QG，由∠APD=90°，可知点P的运动轨迹为AD为直径的圆，⊙N .点G为以BE的中点为圆心的圆，点G的运动轨迹为圆.当点C、Q、G在同一条直线上时，CQ+QG的长度最小.
∵AB∥CD，∠APD＝90°
∴四边形ADCK为正方形，有AD= AB=
∴CK=AD=又tan∠ABC＝2
∴BC=
∵AN= ，GN=
∴CL=CD-DL=
∠BGN=∠GCL
∴Rt△BGN≌Rt△GCL
∴BG=CG
在Rt△BGC中，BC=
∴CG=
即CQ＋BQ的最小值=
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；等边三角形的性质；点与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）作DF⊥AC，根据中点的概念可得BE=DE，则S△BCE=S△CDE，有等边三角形的性质可得AF=EF=2，∠ADF=30°，DF= ，根据勾股定理可得FC，有CE=CF-EF求出CE，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）延长AF使AF=FG，由等边三角形的性质可得∠AED=∠ADE=60°，AE=AD=ED，证明△AFD≌△GFC，得到CG=AD，∠FCG=∠ADF，则CG=AE，进而证明△ABE≌△AGC，得到AB=AG，据此证明；
（3）过点Q作QG⊥BG，使∠NBE=∠GBQ，根据三角函数的概念可得GQ=BQ，则CQ＋BQ=CQ+QG，由∠APD=90°可知点P的运动轨迹为AD为直径的圆，当点C、Q、G在同一条直线上时，CQ+QG的长度最小，然后求出AD、BC、CL的值，证明Rt△BGN≌Rt△GCL，得到BG=CG，据此求解.
21．（2022九上·滨江期末）如图，在锐角三角形中，，以为直径的分别交于点，连接.
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）若半径为，，求四边形的面积（用含的代数式表示）.
【答案】（1）解：如图，连接.
是直径，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）证明：设.
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
.
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BE，由圆周角定理可得∠BEC=90°，则∠AEB=90°，由余角的性质可得∠ABE=90°-∠BAC=40°，由圆周角定理可得∠DOE=2∠DBE，据此求解；
（2）设∠BAC=2α，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=90°-α，则∠CBE=α，同理可得∠OBD=∠ODB=90°-α，∠BOD=2α，由圆周角定理可得∠BED=∠BOD=α，推出∠CBE=∠BED，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（3）由等腰三角形的性质可得AO⊥BC，根据三角函数的概念可得tan∠ABC的值，结合OB的值可得OA，根据∠C的正切函数值可得EC，由AE=AC-EC可得AE，根据平行线分线段成比例的性质可得DE，然后根据对角线垂直的四边形的面积为其对角线乘积的一半进行计算.
22．（2024九下·定海开学考）仁皇阁是一个著名景点，某校九年级研学期间参观了仁皇阁，数学兴趣小组对仁皇阁高度产生了浓厚的兴趣，他们想运用所学知识估算出仁皇阁的高度。
课题 估算仁皇阁高度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺，刻度尺等
组别 测量方案示意图 测量方案说明
组1 如图1，先在仁皇阁底部广场的C处用仪器测得阁楼顶端A的仰角为27°，然后从C处向阁楼底部前进10m到达D处，此时在D处测得阁楼顶端A的仰角为30°．
组2 如图2，身高1.5m的组员站在仁皇阁正门边上合影．打印出照片后量得此组员图上高度GH为0.5cm，量得仁皇阁图上高度EF为12.9cm.
（1）任务一 请分别计算两组中测量得到的阁楼高度；（结果保留小数点后一位．参考数据）
（2）任务二 后续经过查证后发现小组2数据更为精确，请你帮小组1分析可能产生误差的原因．（写出一条即可）
【答案】（1）解：组1，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得；
（2）解：组2，设阁楼高度为，
根据题意得，
解得，
任务二：能产生误差的原因：测角仪摆放不平衡（答案不唯一）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由∠ACB得正切函数可得BC=2AB，由∠ADB得正切函数及特殊锐角三角函数值可得，进而根据BC-BD=CD建立方程求解可得答案；
（2）根据在同一镜头下的物高与像的比值相等建立方程可求出阁楼高度，进而根据题意写出产生误差的原因即可.
23．（2023九下·衢江月考）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2.已知，，，，.（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，）
（1）连结，求线段的长.
（2）求点A，B之间的距离.
【答案】（1）解：如图2，过点C作于点F，
∵，
∴，平分.
∴，
∴(cm)，
∴.
（2）解：如图3，连结.设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l经过点C.
∴，，
∴AB∥DE.
过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，
∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，
∴四边形DGCE是矩形，
∴DE=HG，
∴DG∥l， EH∥l，
∴，
∵，BE⊥CE，
∴，
∴(cm)，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 （1）过点C作CF⊥DE于点F，由等腰三角形的三线合一得DF=EF，∠DCF=∠ECF=20°， 由∠DCF的正弦函数可求出DF的长，从而即可求出DE的长；
（2） 连结AB，设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l， 根据轴对称图形的性质得AB⊥l，DE⊥l，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AB∥DE， 过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H， 易得四边形DGCE是矩形，得DE=HG，由平行线的性质可得∠GDC=∠CEH=20°，由同角的余角相等得∠DAB=∠GDC=20°，∠EBH=∠CEH=20°，由极爱哦A的余弦阿含糊可求出AG，由∠B的余弦函数可求出BH，最后根据AB=BH+AG+DE计算即可.
24．（2025九上·江北期末）如图 1，过点 作 直线 于点 ，过点 作 轴交直线 于点 ．线段 的长度称为点 到直线 的竖直距离．
【探索】
（1）如图 1，设点 的坐标为 ，则点 到直线 的紧直距离即为 的长度，则 ．（用含 的代数式表示）
（2）当直线 与 轴不平行时，点 到直线 的垂直距离 与点 到直线 的坚直距离 存在一定的数量关系，若此时直线 ，则 AC
（3）【应用】
如图 2，公园有一斜坡草坪（可看作线段 ），其倾斜角为 ，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线 ，其最远处落在草坪的 处．若在山上种一棵树 （垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架 ，请求出支架 的最大值．
（4）【拓展】
如图3，原有斜坡倾斜角 不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与 轴相切于点 ，若 ，为了保证灌溉山上种植的这棵树 （垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高 的最大值是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）解：如图 1，过点 作 交 于点 ，过 作 平行于 轴交 于点C． 称为点 到直线 的竖直距离
草坪倾斜角为 ．
．
设 横坐标为 ．
当 时， 最大， ．
．
此时 最大， ．
（4）解： 圆弧与 轴相切．
圆心在 轴上，记圆心为 ．
过 作 交圆弧于 ，交 于 ．
过 作 轴垂线交 于 ，
此时 最大，即 最大．
【知识点】垂径定理；二次函数的实际应用-喷水问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）∵ 点 的坐标为 ，
∴，
故答案为：；
（2）设直线l交x轴于点E，延长AC交x轴于点D，
则点D的坐标为(x，0)，点C的坐标为(x，），点E的坐标为(-5，0)，
∴，
∵∠ECD=∠ACB，
∴sin∠ECD=sin∠ACB，即，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据平行于y轴的两点的距离等于纵坐标差的绝对值计算即可；
（2）设直线l交x轴于点E，延长AC交x轴于点D，得到EC长，然后根据sin∠ECD=sin∠ACB解题即可；
（3）根据（2）中的结论计算即可；
（4）过 作 交圆弧于 ，交 于 ．过 作 轴垂线交 于 ，则 最大，即 最大，然后根据（2）终结论解题即可.
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