第二章 直线与圆的位置关系（A卷）——浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·赤坎期末）的直径为10，圆心到直线的距离为3，下列位置关系正确（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆O的直径为10，
∴圆O的半径为5，
∵圆心到直线的距离为3，
∴3＜5，
∴直线与圆相交；
A、直线过圆心，虽然与圆相交，但直线与圆心的距离为0，故此选项不符合题意；
B、直线与圆相交，且不过圆心，故此选项符合题意；
C、直线与圆相切，故此选项不符合题意；
D、直线与圆相离，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交，据此判断即可得出答案.
2．（2023九上·洪山期末）如图，若的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3
∴直线与圆相交
故答案为：B
【分析】根据直线与圆的位置关系即可求出答案.
3．（2024九下·龙港模拟）如图，以为直径的与相切于点B，连结，分别交于点E，F，连结，记，，若，则与的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，则，
∵是直径，
∴，
∴，
∵与相切于点B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即．
故选：D．
【分析】根据圆周角定理得，结合切线的性质，等腰三角形的性质等知识．得，，从而得到，进而得到，再由，即可求解．
4．（2023·莲湖模拟）下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．三角形有且只有一个外接圆
【答案】D
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定
【解析】【解答】解： A、长度相等的弧叫做等弧这个说法错误，应该是完全重合的两条弧叫做等弧，故A不符合题意；
B、圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半这个说法错误，应该是同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故B不符合题意；
C、垂直于圆的半径的直线是圆的切线这个说法错误，应该是垂直于圆的半径的外端点的直线是圆的切线，故C不符合题意；
D、三角形有且只有一个外接圆正确这个说法正确，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】完全重合的两条弧叫做等弧，据此判断A选项；同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，据此判断B选项；垂直于圆的半径的外端点的直线是圆的切线，据此判断C选项；由不在同一直线上的三点确定一个圆可得三角形有且只有一个外接圆正确，据此判断C选项
5．（2024九上·伊犁哈萨克期末）过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上
C．点在圆内 D．以上都有可能
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：如果点在外，则过点作的切线有两条；
如果点在内，则过点的直线与相交；
如果点在上，则过点作的切线只有一条；
如图，连接，过点作的切线，则，
是唯一的，
过点作的切线只有一条，
故答案为：B
【分析】根据点与圆的位置关系分情况进行讨论，结合切线的性质即可求出答案.
6．（2023·瓯海模拟）如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（ ）
A．32° B．52° C．64° D．72°
【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵，分别切于B，C两点，
∴，，
则：，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据切线长性质得AB=AC，且OB⊥AB，由角的和差算出∠ABC的度数，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
7．（2024·东城模拟）如图，，是的切线，，的延长线交于点，连接，若，( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；求特殊角的三角函数值；切线长定理；求余弦值
【解析】【解答】解：，是的切线，
∴，，
，，
，
，
．
故答案为：B
【分析】先根据切线的性质结合切线长定理得到，，进而根据余弦函数的定义即可得到，再根据特殊角的三角函数值结合题意即可得到∠BOP的度数，从而根据圆周角定理即可求解。
8．（2024九下·长沙模拟）如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形()，则剪下的的周长为（ ）
A． B．
C． D．随直线的变化而变化
【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，设E、F分别是切点，是一张三角形的纸片，
根据切线长定理可得，，，
的周长
，
故答案为：A
【分析】设E、F分别是切点，根据切线性质可得，， 再根据三角形周长进行边之间的转化即可求出答案.
9．（2021九下·射洪月考）下列命题正确的是（ ）
A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的倍
D．各边相等的圆的外切四边形是正方形
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；正多边形的性质
【解析】【解答】A、正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为1﹕2，故原命题错误，不符合题意；
B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，命题正确，符合题意；
C、圆的外切正方形的边长等于其边心距的2倍，故原命题错误，不符合题意；
D、各边相等的圆的外切四边形是正方形也还可能是菱形，故原命题错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A、正三角形的内切圆的半径与外接圆半径和三角形的一边的一半构成以内切圆的半径为一条直角边、以外接圆半径为斜边的直角三角形，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为1﹕2；
B、由正六边形的性质可知正六边形的边长与外接圆的半径构成等边三角形，所以正六边形的边长等于其外接圆的半径；
C、圆的外切正方形的边长等于其边心距的倍；
D、各边相等的圆的外切四边形是正方形也还可能是菱形.
10．如图，已知平分.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠C=∠CBD，
∵∠C+∠CBD+∠D=180°，
∴；
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等及角的平分线可得∠ABC=∠C=∠CBD，结合三角形内角和是180°即可求解.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023·黑龙江）如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则 ．
【答案】34
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠B=56°，
∵PA是圆O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠P=90°-∠AOP=34°.
故答案为：34.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠B=56°，由切线的性质得∠PAO=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余可算出∠P的度数.
12．如图， 在 Rt 中， ． 以点 为圆心， 为半径作 圆， 当所作的圆与斜边 所在的直线相切时， 的值为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，设圆C与直线AB相切于点D，连接CD，
∴CD⊥AB，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，
∵S△ABC=，
∴
∴CD=，即.
故答案为：.
【分析】设圆C与直线AB相切于点D，连接CD，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得CD⊥AB，在△ABC中，利用勾股定理算出AB的长，然后根据等面积法求出CD即可.
13．如图， 已知 的半径为 1 ， 点 是 外一点， 且 ． 若 是 的切线， 为切点， 连接 ， 则
【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线， 为切点，
∴∠OTP=90°.
∵， 的半径为 1 ，
∴PT=
故答案为：.
【分析】先说明∠OTP=90°，再利用勾股定理求出PT.
14．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A和B，AC是⊙O的直径。若∠P=60°，BC=2，则PA的长为 .
【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接BA，如图所示：
是圆的直径，
，
，BP是的切线，切点分别是点和，
，，
，
∴是等边三角形，
，，
，
，
，
．
故答案为：
【分析】连接BA，先根据圆周角定理得到，进而根据切线长定理得到，，再根据等边三角形的判定与性质得到，，从而即可得到∠CAB的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。
15．（2023九上·官渡期末）如图，点P是的内心，若，则的度数是 度．
【答案】115
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念
【解析】【解答】解：点P是的内心，
平分，平分，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据点P是的内心，得到平分，平分，再根据角平分线定义科菲，，再根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
16．如图，O为△ABC的外心，I为△ABC的内心．若∠BOC=140°，则∠BIC=
【答案】125°
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： O为△ABC的外心，若∠BOC=140°，
由圆周角定理得：
∴ ∠ABC+∠ACB=110°，
∵ I为△ABC的内心 ，
∴BI平分 ∠ABC，CI平分∠ACB，
∴
∴
故答案为：125°.
【分析】根据圆周角定理可得，根据三角形内心的性质可得BI平分 ∠ABC，CI平分∠ACB，再根据三角形和定理即可的求解.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（【精彩三年】中考数学中考总复习第30讲尺规作图）已知， 在 中， ．
（1） 求作： ， 使得 经过 两点， 且圆心 落在 边上． （要求尺规作图， 保留作图痕迹，不必写出作法）
（2）求证： 是 （1） 中所作 的切线．
【答案】（1）解：
（2）解：证明：如图， 连结 ．
，
．
又 ，
，
是 的切线．
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）圆经过A、C两点，则圆心在AC的垂直平分线上，与AB的交点即为圆心O；
（2）证切线的两种方法：1，有交点，证垂直；2，无交点，证距离等于半径；本题已存在交点C，只需连接OC，证OC⊥BC即可.
18．（2023九上·襄州期中）如图，是的直径，点C，E在上，平分，交的延长线于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接交于点P．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴四边形是矩形，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，再根据角平分线性质可得，则，由直线平行性质可得，由垂直可得，则，再根据切线的判定定理即可求出答案.
（2）连接交于点P，根据圆周角定理可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，即，根据垂径定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接交于点P．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴四边形是矩形，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
．
19．（2024·峨眉山模拟）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图12.1和图12.2所示，为水面截线，为台面截线，．
计算：在图1中，已知，作于点．
图12.1图12.2
（1）求的长．
操作：将图12.1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图12.2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．
探究：在图12.2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接并延长交于点，求线段与的长度．
【答案】（1）解：连结OM
∵于点，
∴
∵，∴
∴
（2）解：∵与半圆的切点为，
∴
∵∥，
∴
∵，
∴
∴
∴操作后水面下降高度为
（3）解：∵，
∴
∵半圆的中点为
∴
∴，
∴
.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OM，由垂径定理可得，再利用勾股定理即可求解；
（2）由切线的性质可得，结合平行线的性质可得，利用直角三角形的性质求出OD，利用OD-OC即可求解；
（3）利用直角三角形的性质求出∠DOB=60°，由半圆的中点可得，从而求出，利用解直角三角形可求出EF，再利用弧长公式即可求出的长度．
20．（2024·湖北模拟）如图，E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点D.
（1） 求证： DE=DB；
（2） 若 求DE 的长.
【答案】（1）证明： 连接BE.
∵AE平分∠BAC， BE平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD， ∠ABE=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE， ∠DBE=∠DBC+∠CBE，
∴∠BED=∠DBE.
∴BD=ED.
（2）解： 连接OC， DC， OD， OD交BC于点F.
∵∠BOD=∠COD=∠BAC，
∴BD=DC.
∵OB=OC，∴OD垂直平分BC.
在 Rt△BDF中，
∴BD=10.
∴DE=10.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）连接BE，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠EBC，根据圆周角定理得到∠CAD=∠CBD，求得∠BAE=∠CBD，根据等腰三角形的性质即可得到结论.
（2）连接OC， DC， OD， OD交BC于点F，根据等腰三角形的判定定理得到BD=DC，推出OD垂直平分BC，解直角三角形即可得到结论.
21．（2022·广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接OD，如图
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∵OA=OD，
∴，
∵∠BDC=∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：∵，
∴，
∵△ABD是直角三角形，
∴，
∵，，
∴△ACD∽△DCB，
∴，
∵，
∴，
∴，
在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则
，
∴，
解得：；
∴⊙O的半径为；
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ADO=∠BAD，结合∠BDC=∠BAD得∠ADO=∠BDC，结合∠BDO+∠ADO=90°可得∠CDO=90°，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠BAD=∠BED，根据三角函数的概念可得tan∠BAD的值，易证△ACD∽△DCB，根据相似三角形的性质可得CD，设OA=OD=x，根据勾股定理可得x，据此解答.
22．（2023九下·鹿城月考）如图，在中，为上一点，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，且为的中点，连结，过点作交于点.
（1）求证：四边为平行四边形.
（2）若为中点，，求半圆的半径.
【答案】（1）证明：连结OE，
∵AE切半圆于点E，
∴OE⊥AB，
为的中点，OE为半径，
∴FD∥AB，
.
四边形DEGF是平行四边形；
（2）解：连结OE交DF于点H，
设，则，
∵CF为直径，
，
四边形BDHE为矩形，
∵D为BC中点，GE∥DF，
四边形DEGF是平行四边形，
，
解得：
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连结OE，由圆的切线垂直于经过切点的直径得OE⊥AB，由垂径定理得OE⊥DF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得FD∥AB，进而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；
（2）连结OE交DF于点H，由垂径定理得FH=HD，由三角形的中位线定理得OH=CD，设OH=x，则CD=BD=2x，由直径所对的圆周角是直角得∠CDF=90°，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形BDHE为矩形，由矩形性质得EH=BD=2x，DH=BE，OE=OF=OC=3x，由勾股定理表示出DF，由三角形的中位线定理可表示出AB，由平行四边形的对边相等可得GE的长，进而根据AG=AB-BE-GE建立方程可求出x的值，从而此题得解.
23．（【深圳市中考数学备考指南】专题7圆的一证一算（中等））如图，△ABC内接于⊙O，点E是△ABC的内心，AE的延长线交⊙O于点D．
（1）求证：CD＝ED．
（2）连接OE，已知，且，求AD的长.
【答案】（1）证明：如图，连接CE
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ACE＝∠ECB，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠CAD，
∵∠DEC＝∠CAD+∠ACE，∠DCE＝∠BCD+∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴CD＝ED；
（2）解：如图，连接OA，OB，OD，OD交BC于点P，过点O作OM⊥AD于点M，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴
，
∵∠BOD＝2∠BAD＝∠BAC，
，
，
，
∴OB＝3，
，
∴DP＝OD﹣OP＝3﹣1＝2，
，
，
∵OE∥BC，
∴∠DOE＝∠DPC＝90°，
∴∠DOE＝∠DMO＝90°，
∵∠EDO＝∠ODM，
∴△ODE∽△MDO，
，
，
，
∵OA＝OD，OM⊥AD，
.
【知识点】垂径定理；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接CE，根据内心结合题意得到∠BAD＝∠CAD，∠ACE＝∠ECB，进而等量代换得到∠DEC＝∠DCE，从而根据等腰三角形的判定即可求解；
（2）连接OA，OB，OD，OD交BC于点P，过点O作OM⊥AD于点M，根据外心得到∠BAD＝∠CAD，进而根据垂径定理得到，从而根据正弦函数得到，代入即可得到OB，再根据勾股定理即可求出OP，从而即可得到CD，根据平行线的性质得到∠DOE＝∠DPC＝90°，等量代换得到∠DOE＝∠DMO＝90°，根据相似三角形的判定（AA）与性质证明△ODE∽△MDO得到，进而即可得到MD，再根据垂径定理即可求解。
24．（2023·洪山模拟）如图，为的切线，为切点，过作的垂线，垂足为点交于点，延长与交于点，与的延长线交于点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求．
【答案】（1）证明：于点，
，
，
，
，
，
为的切线，为切点，
，
，
是的半径，且，
为的切线．
（2）证明：，
，
，
，
设，，，则，
，
，
，
，
，
，
，
将代入，得，
整理得，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得BC=AC，则PB=PA，由等腰三角形的性质可得∠PBA=∠PAB，∠OBA=∠OAB，根据切线的性质得PA⊥OA，则∠PBO=∠PBA+∠OBA=∠PAB+∠OAB=∠PAO=90°，据此证明；
（2）根据等角的余角相等可得∠BPO=∠CBO，结合三角函数的概念可得BP=3OB，设AE=x，OE=y，OA=OB=a，则PA=PB=3a，由勾股定理可得y2-x2=a2，由三角函数的概念可得a=3x-y，联立可得5x=3y，再利用三角函数的概念进行计算即可.
1 / 1第二章 直线与圆的位置关系（A卷）——浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·赤坎期末）的直径为10，圆心到直线的距离为3，下列位置关系正确（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·洪山期末）如图，若的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·龙港模拟）如图，以为直径的与相切于点B，连结，分别交于点E，F，连结，记，，若，则与的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·莲湖模拟）下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．三角形有且只有一个外接圆
5．（2024九上·伊犁哈萨克期末）过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上
C．点在圆内 D．以上都有可能
6．（2023·瓯海模拟）如图，，分别切于B，C两点，若，则的度数为（ ）
A．32° B．52° C．64° D．72°
7．（2024·东城模拟）如图，，是的切线，，的延长线交于点，连接，若，( )
A． B． C． D．
8．（2024九下·长沙模拟）如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形()，则剪下的的周长为（ ）
A． B．
C． D．随直线的变化而变化
9．（2021九下·射洪月考）下列命题正确的是（ ）
A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的倍
D．各边相等的圆的外切四边形是正方形
10．如图，已知平分.若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023·黑龙江）如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则 ．
12．如图， 在 Rt 中， ． 以点 为圆心， 为半径作 圆， 当所作的圆与斜边 所在的直线相切时， 的值为 .
13．如图， 已知 的半径为 1 ， 点 是 外一点， 且 ． 若 是 的切线， 为切点， 连接 ， 则
14．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A和B，AC是⊙O的直径。若∠P=60°，BC=2，则PA的长为 .
15．（2023九上·官渡期末）如图，点P是的内心，若，则的度数是 度．
16．如图，O为△ABC的外心，I为△ABC的内心．若∠BOC=140°，则∠BIC=
三、解答题（共8题，共66分）
17．（【精彩三年】中考数学中考总复习第30讲尺规作图）已知， 在 中， ．
（1） 求作： ， 使得 经过 两点， 且圆心 落在 边上． （要求尺规作图， 保留作图痕迹，不必写出作法）
（2）求证： 是 （1） 中所作 的切线．
18．（2023九上·襄州期中）如图，是的直径，点C，E在上，平分，交的延长线于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，，求的长．
19．（2024·峨眉山模拟）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图12.1和图12.2所示，为水面截线，为台面截线，．
计算：在图1中，已知，作于点．
图12.1图12.2
（1）求的长．
操作：将图12.1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图12.2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．
探究：在图12.2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接并延长交于点，求线段与的长度．
20．（2024·湖北模拟）如图，E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点D.
（1） 求证： DE=DB；
（2） 若 求DE 的长.
21．（2022·广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC=∠BAD.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）若tan∠BED=，AC=9，求⊙O的半径.
22．（2023九下·鹿城月考）如图，在中，为上一点，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，且为的中点，连结，过点作交于点.
（1）求证：四边为平行四边形.
（2）若为中点，，求半圆的半径.
23．（【深圳市中考数学备考指南】专题7圆的一证一算（中等））如图，△ABC内接于⊙O，点E是△ABC的内心，AE的延长线交⊙O于点D．
（1）求证：CD＝ED．
（2）连接OE，已知，且，求AD的长.
24．（2023·洪山模拟）如图，为的切线，为切点，过作的垂线，垂足为点交于点，延长与交于点，与的延长线交于点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆O的直径为10，
∴圆O的半径为5，
∵圆心到直线的距离为3，
∴3＜5，
∴直线与圆相交；
A、直线过圆心，虽然与圆相交，但直线与圆心的距离为0，故此选项不符合题意；
B、直线与圆相交，且不过圆心，故此选项符合题意；
C、直线与圆相切，故此选项不符合题意；
D、直线与圆相离，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交，据此判断即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3
∴直线与圆相交
故答案为：B
【分析】根据直线与圆的位置关系即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，则，
∵是直径，
∴，
∴，
∵与相切于点B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即．
故选：D．
【分析】根据圆周角定理得，结合切线的性质，等腰三角形的性质等知识．得，，从而得到，进而得到，再由，即可求解．
4．【答案】D
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定
【解析】【解答】解： A、长度相等的弧叫做等弧这个说法错误，应该是完全重合的两条弧叫做等弧，故A不符合题意；
B、圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半这个说法错误，应该是同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故B不符合题意；
C、垂直于圆的半径的直线是圆的切线这个说法错误，应该是垂直于圆的半径的外端点的直线是圆的切线，故C不符合题意；
D、三角形有且只有一个外接圆正确这个说法正确，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】完全重合的两条弧叫做等弧，据此判断A选项；同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，据此判断B选项；垂直于圆的半径的外端点的直线是圆的切线，据此判断C选项；由不在同一直线上的三点确定一个圆可得三角形有且只有一个外接圆正确，据此判断C选项
5．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系；切线的判定与性质
【解析】【解答】解：如果点在外，则过点作的切线有两条；
如果点在内，则过点的直线与相交；
如果点在上，则过点作的切线只有一条；
如图，连接，过点作的切线，则，
是唯一的，
过点作的切线只有一条，
故答案为：B
【分析】根据点与圆的位置关系分情况进行讨论，结合切线的性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵，分别切于B，C两点，
∴，，
则：，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据切线长性质得AB=AC，且OB⊥AB，由角的和差算出∠ABC的度数，进而根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；求特殊角的三角函数值；切线长定理；求余弦值
【解析】【解答】解：，是的切线，
∴，，
，，
，
，
．
故答案为：B
【分析】先根据切线的性质结合切线长定理得到，，进而根据余弦函数的定义即可得到，再根据特殊角的三角函数值结合题意即可得到∠BOP的度数，从而根据圆周角定理即可求解。
8．【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：如图，设E、F分别是切点，是一张三角形的纸片，
根据切线长定理可得，，，
的周长
，
故答案为：A
【分析】设E、F分别是切点，根据切线性质可得，， 再根据三角形周长进行边之间的转化即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；正多边形的性质
【解析】【解答】A、正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为1﹕2，故原命题错误，不符合题意；
B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，命题正确，符合题意；
C、圆的外切正方形的边长等于其边心距的2倍，故原命题错误，不符合题意；
D、各边相等的圆的外切四边形是正方形也还可能是菱形，故原命题错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】A、正三角形的内切圆的半径与外接圆半径和三角形的一边的一半构成以内切圆的半径为一条直角边、以外接圆半径为斜边的直角三角形，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为1﹕2；
B、由正六边形的性质可知正六边形的边长与外接圆的半径构成等边三角形，所以正六边形的边长等于其外接圆的半径；
C、圆的外切正方形的边长等于其边心距的倍；
D、各边相等的圆的外切四边形是正方形也还可能是菱形.
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠C=∠CBD，
∵∠C+∠CBD+∠D=180°，
∴；
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，内错角相等及角的平分线可得∠ABC=∠C=∠CBD，结合三角形内角和是180°即可求解.
11．【答案】34
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠B=56°，
∵PA是圆O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠P=90°-∠AOP=34°.
故答案为：34.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠B=56°，由切线的性质得∠PAO=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余可算出∠P的度数.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，设圆C与直线AB相切于点D，连接CD，
∴CD⊥AB，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，
∵S△ABC=，
∴
∴CD=，即.
故答案为：.
【分析】设圆C与直线AB相切于点D，连接CD，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得CD⊥AB，在△ABC中，利用勾股定理算出AB的长，然后根据等面积法求出CD即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线， 为切点，
∴∠OTP=90°.
∵， 的半径为 1 ，
∴PT=
故答案为：.
【分析】先说明∠OTP=90°，再利用勾股定理求出PT.
14．【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接BA，如图所示：
是圆的直径，
，
，BP是的切线，切点分别是点和，
，，
，
∴是等边三角形，
，，
，
，
，
．
故答案为：
【分析】连接BA，先根据圆周角定理得到，进而根据切线长定理得到，，再根据等边三角形的判定与性质得到，，从而即可得到∠CAB的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。
15．【答案】115
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念
【解析】【解答】解：点P是的内心，
平分，平分，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据点P是的内心，得到平分，平分，再根据角平分线定义科菲，，再根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
16．【答案】125°
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： O为△ABC的外心，若∠BOC=140°，
由圆周角定理得：
∴ ∠ABC+∠ACB=110°，
∵ I为△ABC的内心 ，
∴BI平分 ∠ABC，CI平分∠ACB，
∴
∴
故答案为：125°.
【分析】根据圆周角定理可得，根据三角形内心的性质可得BI平分 ∠ABC，CI平分∠ACB，再根据三角形和定理即可的求解.
17．【答案】（1）解：
（2）解：证明：如图， 连结 ．
，
．
又 ，
，
是 的切线．
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）圆经过A、C两点，则圆心在AC的垂直平分线上，与AB的交点即为圆心O；
（2）证切线的两种方法：1，有交点，证垂直；2，无交点，证距离等于半径；本题已存在交点C，只需连接OC，证OC⊥BC即可.
18．【答案】（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接交于点P．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴四边形是矩形，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，再根据角平分线性质可得，则，由直线平行性质可得，由垂直可得，则，再根据切线的判定定理即可求出答案.
（2）连接交于点P，根据圆周角定理可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，即，根据垂径定理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接交于点P．
∵是的直径，
∴．
∴．
∴四边形是矩形，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
．
19．【答案】（1）解：连结OM
∵于点，
∴
∵，∴
∴
（2）解：∵与半圆的切点为，
∴
∵∥，
∴
∵，
∴
∴
∴操作后水面下降高度为
（3）解：∵，
∴
∵半圆的中点为
∴
∴，
∴
.
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OM，由垂径定理可得，再利用勾股定理即可求解；
（2）由切线的性质可得，结合平行线的性质可得，利用直角三角形的性质求出OD，利用OD-OC即可求解；
（3）利用直角三角形的性质求出∠DOB=60°，由半圆的中点可得，从而求出，利用解直角三角形可求出EF，再利用弧长公式即可求出的长度．
20．【答案】（1）证明： 连接BE.
∵AE平分∠BAC， BE平分∠ABC，
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD， ∠ABE=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE， ∠DBE=∠DBC+∠CBE，
∴∠BED=∠DBE.
∴BD=ED.
（2）解： 连接OC， DC， OD， OD交BC于点F.
∵∠BOD=∠COD=∠BAC，
∴BD=DC.
∵OB=OC，∴OD垂直平分BC.
在 Rt△BDF中，
∴BD=10.
∴DE=10.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）连接BE，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠EBC，根据圆周角定理得到∠CAD=∠CBD，求得∠BAE=∠CBD，根据等腰三角形的性质即可得到结论.
（2）连接OC， DC， OD， OD交BC于点F，根据等腰三角形的判定定理得到BD=DC，推出OD垂直平分BC，解直角三角形即可得到结论.
21．【答案】（1）证明：连接OD，如图
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∵OA=OD，
∴，
∵∠BDC=∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：∵，
∴，
∵△ABD是直角三角形，
∴，
∵，，
∴△ACD∽△DCB，
∴，
∵，
∴，
∴，
在直角△CDO中，设⊙O的半径为，则
，
∴，
解得：；
∴⊙O的半径为；
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ADO=∠BAD，结合∠BDC=∠BAD得∠ADO=∠BDC，结合∠BDO+∠ADO=90°可得∠CDO=90°，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠BAD=∠BED，根据三角函数的概念可得tan∠BAD的值，易证△ACD∽△DCB，根据相似三角形的性质可得CD，设OA=OD=x，根据勾股定理可得x，据此解答.
22．【答案】（1）证明：连结OE，
∵AE切半圆于点E，
∴OE⊥AB，
为的中点，OE为半径，
∴FD∥AB，
.
四边形DEGF是平行四边形；
（2）解：连结OE交DF于点H，
设，则，
∵CF为直径，
，
四边形BDHE为矩形，
∵D为BC中点，GE∥DF，
四边形DEGF是平行四边形，
，
解得：
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连结OE，由圆的切线垂直于经过切点的直径得OE⊥AB，由垂径定理得OE⊥DF，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得FD∥AB，进而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；
（2）连结OE交DF于点H，由垂径定理得FH=HD，由三角形的中位线定理得OH=CD，设OH=x，则CD=BD=2x，由直径所对的圆周角是直角得∠CDF=90°，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形BDHE为矩形，由矩形性质得EH=BD=2x，DH=BE，OE=OF=OC=3x，由勾股定理表示出DF，由三角形的中位线定理可表示出AB，由平行四边形的对边相等可得GE的长，进而根据AG=AB-BE-GE建立方程可求出x的值，从而此题得解.
23．【答案】（1）证明：如图，连接CE
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ACE＝∠ECB，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠CAD，
∵∠DEC＝∠CAD+∠ACE，∠DCE＝∠BCD+∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴CD＝ED；
（2）解：如图，连接OA，OB，OD，OD交BC于点P，过点O作OM⊥AD于点M，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴
，
∵∠BOD＝2∠BAD＝∠BAC，
，
，
，
∴OB＝3，
，
∴DP＝OD﹣OP＝3﹣1＝2，
，
，
∵OE∥BC，
∴∠DOE＝∠DPC＝90°，
∴∠DOE＝∠DMO＝90°，
∵∠EDO＝∠ODM，
∴△ODE∽△MDO，
，
，
，
∵OA＝OD，OM⊥AD，
.
【知识点】垂径定理；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接CE，根据内心结合题意得到∠BAD＝∠CAD，∠ACE＝∠ECB，进而等量代换得到∠DEC＝∠DCE，从而根据等腰三角形的判定即可求解；
（2）连接OA，OB，OD，OD交BC于点P，过点O作OM⊥AD于点M，根据外心得到∠BAD＝∠CAD，进而根据垂径定理得到，从而根据正弦函数得到，代入即可得到OB，再根据勾股定理即可求出OP，从而即可得到CD，根据平行线的性质得到∠DOE＝∠DPC＝90°，等量代换得到∠DOE＝∠DMO＝90°，根据相似三角形的判定（AA）与性质证明△ODE∽△MDO得到，进而即可得到MD，再根据垂径定理即可求解。
24．【答案】（1）证明：于点，
，
，
，
，
，
为的切线，为切点，
，
，
是的半径，且，
为的切线．
（2）证明：，
，
，
，
设，，，则，
，
，
，
，
，
，
，
将代入，得，
整理得，
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得BC=AC，则PB=PA，由等腰三角形的性质可得∠PBA=∠PAB，∠OBA=∠OAB，根据切线的性质得PA⊥OA，则∠PBO=∠PBA+∠OBA=∠PAB+∠OAB=∠PAO=90°，据此证明；
（2）根据等角的余角相等可得∠BPO=∠CBO，结合三角函数的概念可得BP=3OB，设AE=x，OE=y，OA=OB=a，则PA=PB=3a，由勾股定理可得y2-x2=a2，由三角函数的概念可得a=3x-y，联立可得5x=3y，再利用三角函数的概念进行计算即可.
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