【精品解析】第二章 直线与圆的位置关系（B卷）——浙教版数学九年级下册单元测试

第二章 直线与圆的位置关系（B卷）——浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九下·射洪月考）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（　　）
A． B．π C．2π D．4π
【答案】C
【知识点】弧长的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB.
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是：
故答案为：C.
【分析】连接OA，OB，由圆的切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，结合已知根据四边形的内角和等于360°可得∠AOB=120°，再根据弧长公式l=可求解.
2．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD=BF，BD=AE．若∠P=α，则∠EDF的度数为(　　)
A．90°-α B．α C．90°-α D．2α
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；切线长定理
【解析】【解答】解：∵ PA和PB是⊙O的两条切线
∴PA=PB
∴
∵ ∠P=α
∴
∵AD=BF，BD=AE
∴△ADE≌△BFD
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理及全等三角形的判定即可证明，再由三角形的内角和及平角的定义，即可解答.
3．已知的半径为6cm，圆心到直线的距离为6cm，则直线与的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】圆心到直线a的距离等于半径6cm，故直线与圆相切.
答案：B.
【分析】直接由切线的判断进行判断即可.
4．（人教版九年级数学上册 24.2.2 直线和圆的位置关系（四） 同步练习）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若BO=6cm，OC=8cm 则BE+CG的长等于（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】D
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可知BE=BF、CF=CG、∠OBF=∠EBC、∠OCF=∠GCB，根据两直线平行同旁内角互补易得∠BOC=90°，借助勾股定理可得BC的长，据此即可选择。
5．（2024九下·宜兴月考）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为，则点是（　　）
A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图：过点作于点F，于点M，于点N，
由题意得：，，
为角平分线的交点，
，
点到三边的距离相等．
点是的内心．
故选：B．
【分析】本题考查翻折变换，角平分线的性质．根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，利用角平分线的性质可得：，进而可得点到三边的距离相等，据此可推出 点是的内心 ，可选出选项．
6．（2023八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+ ∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则 = mn.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ①∵ ∠ 和∠ 的平分线相交于点 ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ．
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ = ， = ，
∴ = + = + ，故 ① 正确；
②∵ ∠ 和∠ 的平分线相交于点 ，
∴ ∠ + ∠ = (∠ + ∠ ) = (180° ∠ )，
∴ ∠ = 180° (∠ + ∠ ) = 180° (180° ∠ ) = 90° + ∠ ， 故②正确；
③∵ ∠ 和∠ 的平分线相交于点 ，
∴点 是△ 的内心，
∴点 到△ 各边的距离相等，故③正确；
④连接 ，
∵点 是△ 的内心， = ， + = ，
∴ △ = + = ( + ) =mn， 故④正确．
故选：D.
【分析】 ①根据∠ 和∠ 的平分线相交于点 可得出∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，再由 // 可知∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，故可得出 = ， = ，由此可得出结论；
②先根据角平分线的性质得出∠ + ∠ =(∠ + ∠ )，再由三角形内角和定理即可得出结论；
③根据三角形内心的性质即可得出结论；
④连接 ，根据三角形的面积公式即可得出结论．
熟知角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解答此题的关键．
7．（2024九上·栾城期末）如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：过原点作交于点C，
直线与坐标轴的交点为A、B两点，
令解得，故A点坐标为：
令解得，故B点坐标为：
故直线到坐标原点的距离为：，
直线与圆有公共点，
故；
故答案为：C．
【分析】过原点作交于点C，求出与坐标轴交点坐标，再根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
8．（2024九下·萧山月考）如图，四边形为矩形，点在边上，，与四边形的各边都相切，的半径为，的内切圆半径为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；切线的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长AD与BE交于点F，
∵⊙O与AF、BF、AB都相切，
∴⊙O是 ABF的内切圆，
又∵AF∥BC，
∴∠F=∠CBE，
又∠C=∠A=90°，
∴ ABF∽ CEB，
∴==3，
∴==3.
故答案为：C.
【分析】延长AD与BE交于点F，首先证出 ABF∽ CEB，根据相似三角形的性质即可求解.
9．（2023·江北模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为x轴上一动点，切于点B，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接.
根据切线的性质定理，得.
要使最小，只需最小，
根据垂线段最短，当轴于点时，最小，
此时P点的坐标是，，
在中，，，
∴.
则最小值是.
故答案为：C.
【分析】连接AB、AP，根据切线的性质定理得AB⊥PB，根据垂线段最短的性质可得：当AP⊥x轴于点P时，AP最小，此时P点的坐标是（-3，0），AP=4，接下来利用勾股定理进行计算即可.
10．（2024九上·慈溪期中）如图，以第三象限内一点为眐心，大于PO的长为半径作，分别交x轴于点A，B，交y轴于点，记该圆面在第一，二，三，四象限内各部分的面积分别为，若是一个定值，则（　　）
A．的半径是一个定值 B．是一个定值
C．点是一个定点 D．点在一个确定的函数图象上
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作关于的对称线段，作关于的对称线段，
根据对称的性质可得：部分1的面积部分2的面积部分3的面积部分4的面积，部分5的面积部分6的面积，部分7的面积部分8的面积，阴影部分的面积．
∴，
设点P的坐标为，
∴，
∵是一个定值，
∴是一个定值，
∴点P在一个确定的函数图象上，
故答案为：D．
【分析】本题考查轴对称的性质，圆的相关性质．作关于的对称线段，作关于的对称线段，根据圆的轴对称性可得：阴影部分的面积．进而可得：是一个定值，设点P的坐标为，据此可得，进而可得是一个定值，据此可选出答案．
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2023九上·北京市期中）如图，分别与相切于点A，B，连接，若，，则的半径等于　 　．
【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；切线的性质；切线长定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵分别与相切于点A，B，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△ABP为等边三角形，
∴AP=AB=，∠APO=30°，
∴OA=AP=×=2.
故答案为：2.
【分析】先证△ABP为等边三角形，可得AP=AB=，∠APO=30°，根据OA=AP即可求解.
12．（2024九上·海淀开学考）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，作于H，
∵直径于H，，为的切线，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，分别切于C，B，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】作于H，先证出四边形为矩形，可得，再结合“，”求出，最后利用线段的和差求出即可.
13．如图所示，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N．若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为　 　(用含r的代数式表示)．
【答案】2r
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：连结OD，OE．
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE上BC．
又∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，
∴四边形ODBE是矩形．
∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，
∴BD=BE=OD=OE=r．
∵⊙O与AB，BC，MN分别相切于点D，E，P，
∴MP=MD，NP=NE，
∴Rt△MBN的周长=MB+NB+MN=MB+NB+NE+DM=BD+BE=r+r=2r．
故答案为：2r.
【分析】根据三角形内切圆的定义，先得出四边形ODBE是正方形，再由切线长定理即可表示出Rt△MBN的周长.
14．（2023九上·兰溪月考）图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时⊙B上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到⊙A收集.即透明条的运动路径为：M→C→O→P→N.假设O，P，A，B在同一直线上，BC＝3cm，AC＝4cm，AC⊥BC，AD⊥OC于点D，＝，P为OA中点.
（1）点B到OC的距离为　 　cm.
（2）若⊙A的半径为1cm，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到⊙A上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为　 　cm.
【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）过点B作BH⊥OC，交OC的延长线与点H，如下图：
∵AC⊥BC，BH⊥OC
∴∠ACO+∠BCH=∠BCH+∠CBH=∠H=∠ACB=90°
∴∠ACO=∠CBH
∴△ACD∽△BCH
∴
∵AD⊥OC， ＝ 即CD=3AD且AC=4cm；
∴，解得AD=cm；
∴CD=cm
∴BH=CD÷=÷=cm
故答案为：.
（2）∵AC⊥BC，AC=4cm，BC=3cm；
∴AB=5cm
∵AD⊥OC，BH⊥OC
∴
∴OA=4cm=AC
∵PN是圆A的切线
∴AN=1cm，AN⊥PN
∵点P是OA的中点
∴OP=PA=2cm
∴∠APN=30°，即∠PAN=60°，PN=cm；
∴∠EAN=120°
∴弧EN的长=（cm）
∴最多可擦除的长度=OP+PN+弧EN的长=2++（cm）.
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形相似的判定和性质，可得；根据勾股定理，可以求出BH的值；
（2）根据勾股定理，可得AB的值；根据三角形相似的判定和性质，可得；根据圆的切线性质以及中点性质，可得OP=PA=2cm；根据含30°角的直角三角形的性质，可得∠APN=30°，即∠PAN=60°，PN=cm；根据弧长计算公式，可得弧EN的长；最后根据代数式求值，即可求出最多可擦除的长度.
15．（2024九下·南湖模拟）如图，，以为直径作半圆，弦，将上方的图形沿向下折叠，使弧与直径恰好相切于点，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD于点E，交CD于F，连接OC、OD，则由垂径定理得CF=DF，
由折叠的性质得，
．
故答案为：．
【分析】过点O作OE⊥CD于点E，交CD于F，连接OC、OD，则由垂径定理得CF=DF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得OC=OD，由等腰三角形的三线合一得∠COF=∠DOF，由∠COF的余弦函数及特殊锐角三角函数值推出∠COF=60°，则∠COD=120°，由勾股定理算出CF的长，从而可得CD的长，然后根据S阴影=S扇形OCD-S△OCD，列式计算可得答案.
16．已知三边分别为，，，则该三角形的内心，外心和重心围成的小三角形的面积为　 　 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，，，，，
取中点，则点为外心，取中点，连接、交于点，则点为重心，
设点为内心，过点作垂直于于，交与，作于点，
点为中点，，
，由题得，为中位线，
：：，
：：，：：，
，，
，
，
，
由内切圆半径得，，
，
，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
，
．
故答案为：．
【分析】取中点，则点为外心，取中点，连接、交于点，则点为重心，设点为内心，过点作垂直于于，交与，作于点，根据中点可得EC=3=MN，再根据三角形中位线可得：：，再根据边之间的关系可得CG，根据勾股定理可得CN，根据内切圆性质可得r=2，根据矩形性质可得四边形为矩形，则FG∥HN，再根据三角形面积即可求出答案.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022·德阳）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足是点 ，过点 作直线分别与 ， 的延长线交于点 ， ，且 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）如果 ， ，
①求 的长；
②求 的面积.
【答案】（1）证明：连接OC、BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，AO=OB，
∵AB⊥CD，
∴AB平分弦CD，AB平分 ，
∴CH=HD， ，∠CHA=90°=∠CHE，
∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，
∵∠ECD=2∠BAD，
∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，
∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，
∴∠BCE=∠BCD，
∴∠BCE=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠ECB=∠OCA，
∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，
∴∠ECB+∠OCB=90°，
∴CO⊥FC，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：①∵AB=10，CD=6，
∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，
∴在Rt△OCH中， ，
同理利用勾股定理，可求得 ， ，
∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，
在Rt△ECH中， ，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCB=90°，
∴在Rt△ECO中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，
∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，
∴△PAF∽△HAC，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，
∴△PEF∽△HEC，
∴ ，即 ，
∵HB=1， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故△AEF的面积为 .
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC、BC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据垂径定理可得CH=HD， ，∠CHA=90°=∠CHE，根据圆周角定理可得∠BAD=∠BAC=∠DCB，由已知条件知∠ECD=2∠BAD，推出∠BCE=∠BAC，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠OCA，则∠ECB=∠OCA，然后结合∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB可推出∠ECB+∠OCB=90°，即CO⊥FC，据此证明；
（2）①在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，利用勾股定理可得OH、BC、AC，然后求出BH、HA，得到HE=BH+BE，根据切线的性质可得∠OCB=90°，然后在Rt△ECH、Rt△ECO中，结合勾股定理就可求出BE，然后根据AE=AB+BE进行计算；
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，易证△PAF∽△HAC，△PEF∽△HEC，根据相似三角形的性质可得PF，然后根据三角形的面积公式进行计算.
18．（2023九下·永康月考） 如图，已知内接于，平分交于点，过点作的平行线分别交、的延长线于点、，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，圆的半径为10，求的长.
【答案】（1）证明：连接.
平分，
，
∴，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：作直径，连接.
∵，
，
，
是直径，
，
，
设，则，
，
，
负根已经舍去，
.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接. 根据角平分线的定义及垂径定理可得， 利用平行线的性质可得 ， 根据切线的判定定理即证；
（2）作直径，连接.由（1）知，可得，从而得出，根据圆周角定理及锐角三角函数可得 ， 设，则， 在Rt△DBR中，利用勾股定理建立方程并解之即可.
19．（2023·宜城模拟）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是⊙O的直径，点B是⊙O的上一点，且OP∥BC，OP交⊙O于点D.
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC=OP=4，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接OB，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°.
∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠ACB，∠POB=∠OBC.
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠AOP=BOP.
∵OA=OB，OP=OP，
∴△PAO≌△PBO.
∴∠PBO=∠PAO=90°.
又∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线
（2）解：连接AD
∵AC=OP，OD= AC，
∴OD= OP.
∵∠PAO=90°，
∴AD= OP=OD=OA.
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°.
∴∠AOB=120°.
在Rt△AOP中， ，
∴
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接OB，由切线的性质可得∠PAO=90°，根据平行线的性质可得∠AOP=∠ACB，∠POB=∠OBC，由等腰三角形的性质得∠OBC=∠OCB，则∠AOP=BOP，利用SAS证明△PAO≌△PBO，得到∠PBO=∠PAO=90°，据此证明；
（2）连接AD，由已知条件可得OD=OP，则AD=OP=OD=OA，推出△AOD是等边三角形，得到∠AOB=120°，由勾股定理可求出AP的值，然后根据S阴影=2S△AOP-S扇形AOB进行计算.
20．（2023·周口模拟）如图，的直径为，为的切线，点F是上一点，过点F的直线与交于C，D两点，与交于点E、.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
【答案】（1）证明：∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵的直径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中， ，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由切线的性质可得PA⊥AB，由等腰三角形的性质可得∠CAE=∠CEA，根据等角的余角相等可得∠CAF=∠CFA，据此证明；
（2）连接CB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，∠D=∠ABC，根据同角的余角相等可得∠FAC=∠ABC，进而推出AF=AD=8，由题意可得EF=2AC=10，根据勾股定理可得AE，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ACB∽△EAF，根据相似三角形的性质可求出AB的值，然后根据BE=AB-AE进行计算.
21．（2023九下·姜堰月考）如图，是的弦，C是外一点，交于点P，交于点D，且.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：与相切，理由如下：
如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，即：，
∴ ，
又∵是半径，
∴与相切.
（2）解：∵，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
∴图中阴影部分的面积.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，由对顶角的性质可得∠CPB=∠APO，推出∠CBP=∠APO，结合∠A+∠APO=90°可得∠OBC=90°，据此证明；
（2）利用内角和定理可得∠APO=60°，则∠BPD=∠APO=60°，推出△PBC为等边三角形，得到∠PCB=∠CBP=60°，则∠OBP=∠POB=30°，OP=PB=PC=1，利用勾股定理可得OB的值，然后根据S阴影=S△OBC-S扇形OBD进行计算.
22．地球有多大？ 古希腊数学家埃拉托斯特尼利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．
下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅．
项目任务(一) 如图 1， 某日 正午，小红在 地 (与太阳直射点 在同一子午线上)测得太阳光与木棍的夹角为 ， 则 ▲ ．若测得 之间弧长为 ， 则地球子午线周长为 ▲ (用含 的代数式表示)
项目任务(二) 如图 2 ， 某日正午，小红和小明在同一子午线的 地、 地测得太阳光与木棍的夹角分别为 ， 则 ▲ ．若测得 之间弧长为 ， 则地球子午线周长为 ▲ (用含 的代数式表示)
项目任务(三) 如图 3 ， 日落时，身高为 的小亮蹲在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时，他马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时．小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了 ， 请据此计算出地球的半径与周长．(用含 的代数式表示)
【答案】解 ：任务 (一) α；
任务 (二) α－β；.
任务 (三)： 由题意得，当小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间， 此时小亮视线所在的直线 与 相切于点 ，
同理当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与 相切，设这个切点为 .
连结 ，如图：
∴∠PHQ=∠PTO=90°.
∴∠HQP+∠HPQ=90°，∠TPO+∠TOP=90°.
，
设地球半径为r2，
，
在 Rt 中， ，
，
∴地球的半径为
∴地球的周长．
【知识点】切线的性质；弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解： 任务 (一) 如图：
太阳光线是平行线，
∴OA//CD，
∴∠AOB=∠ODC=α.
设地球的半径为r，
∵AB之间的弧长为l，
∴
.
地球子午线周长为 ．
故答案为：α；
任务 (二)，延长 交 于点P，如图所示，
∵太阳光线是平行线，
∴MN//EF，
∴∠EPM=∠OMN=α．
∵∠OEP=β，
∴∠BOC=∠EPM－∠OEP=α－β.
设地球的半径为 ，
之间弧长为 l，
，
地球子午线周长为 ．
故答案为：α－β；.
【分析】任务（一）记太阳光线为CD，于B处木棍相交于点D，由太阳光线平行得∠AOB=∠ODC=α，设地球的半径为r，利用弧长公式求出r的值，即可利用周长公式求地球子午线的周长.
任务（二）记C处太阳光线为EF，与木棍相交于点E，B处太阳光线为MN，与B处木棍相交于点M，延长 交 于点P，由太阳光线平行得∠EPM=∠OMN=α．再利用三角形外角的性质即可求得∠BOC的度数，最后利用弧长公式和圆的周长公式，即可求得地球子午线的周长.
任务（三）记小亮为PH，小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间， 此时小亮视线所在的直线为，与 相切于点 ， 当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与 相切，设这个切点为 .连接OT，OH，连结 ，设地球半径为r2，证明，在 Rt 中解直角三角形，求出r2，即可得到地球的周长.
23．（2023·汕尾模拟）如图，中，，，，以为直径作，交于点F，连接并延长，分别交于D、E两点，连接、．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）求的正切值．
【答案】（1）证明：，，，
，，
，
，
是的切线
（2）证明：是的直径，
，即，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，即
（3）解：，且，，
，
即，
解得：，（舍去）
，
，
，
又，
．
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据AB、BC、AC的值可得AB2+BC2=AC2，则∠ABC=90°，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠DBE=90°，根据同角的余角相等可得∠CBD=∠ABE，由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠E，则∠CBD=∠E，由两角对应相等的两个三角形相似可得△CBD∽△CEB，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）根据（2）的结论可求出CD的值，根据∠ABE=∠E结合三角函数的概念以及相似三角形的性质进行计算可得∠ABE的正切值.
24．（2023九上·大同期中）阅读以下材料，并完成相应的任务：
定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2）
任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：　 　
依据2：　 　
（2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
（3）已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长．
【答案】（1）圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角
（2）证明：连接并延长，交于点，连接．
与相切于点A，
（圆的切线垂直于过切点的半径），
，
是的直径，
，（直径所对的圆周角是直角）
，
，
，
；
（3）2
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质；弦切角定理模型
【解析】【解答】解：（1）与相切于点A，
（圆的切线垂直于过切点的半径），
，
是的直径，
，（直径所对的圆周角是直角）
故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角；
(3)弦切角，
由（2）可知：，
，
是的直径，
，
在中，，
．
【分析】（1）根据切线的性质，结合圆周角定理的推论求解；
（2）根据切线的性质和圆周角定理得∠EAB=∠ECA=90°，根据同角的余角相等得到，再利用圆周角定理得到即可；
（3）根据弦切角的性质求出，利用角对的直角边等于斜边的一半求解．
25．（2023九上·怀仁月考）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的部分证明过程：
证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．
如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．
【答案】（1）解：∵AD是⊙O直径，
∴∠DEA＝90°．
∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠DAB＝90°．
∴∠CED＋∠DEA＝∠CAD＋∠DAB，即∠CEA＝∠CAB．
∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数；
（2）解：如图，过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC．
∵AF是直径，
∴∠ACF＝90°．
∴∠CFA＋∠FAC＝90°．
∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠FAB＝90°．
∴∠CAB＋∠FAC＝90°．
∴∠CAB＝∠CFA，
即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弦切角定理模型
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理求得∠DEA＝90° ，再根据同弧所对的圆周角相等以及等量代换得到∠CEA＝∠CAB，从而求解；
（2）过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC ，利用圆周角定理求得∠ACF＝90° ，从而得出∠CFA＋∠FAC＝90°，根据切线的性质得到∠FAB＝90°，利用同角的余角相等，从而求解.
1 / 1第二章 直线与圆的位置关系（B卷）——浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九下·射洪月考）如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB=60°，⊙O半径是3，则劣弧AB的长为（　　）
A． B．π C．2π D．4π
2．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD=BF，BD=AE．若∠P=α，则∠EDF的度数为(　　)
A．90°-α B．α C．90°-α D．2α
3．已知的半径为6cm，圆心到直线的距离为6cm，则直线与的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
4．（人教版九年级数学上册 24.2.2 直线和圆的位置关系（四） 同步练习）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若BO=6cm，OC=8cm 则BE+CG的长等于（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
5．（2024九下·宜兴月考）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为，则点是（　　）
A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．以上都不对
6．（2023八上·杭州期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+ ∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则 = mn.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024九上·栾城期末）如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·萧山月考）如图，四边形为矩形，点在边上，，与四边形的各边都相切，的半径为，的内切圆半径为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·江北模拟）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为x轴上一动点，切于点B，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
10．（2024九上·慈溪期中）如图，以第三象限内一点为眐心，大于PO的长为半径作，分别交x轴于点A，B，交y轴于点，记该圆面在第一，二，三，四象限内各部分的面积分别为，若是一个定值，则（　　）
A．的半径是一个定值 B．是一个定值
C．点是一个定点 D．点在一个确定的函数图象上
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2023九上·北京市期中）如图，分别与相切于点A，B，连接，若，，则的半径等于　 　．
12．（2024九上·海淀开学考）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则线段的长为　 　．
13．如图所示，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N．若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为　 　(用含r的代数式表示)．
14．（2023九上·兰溪月考）图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时⊙B上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到⊙A收集.即透明条的运动路径为：M→C→O→P→N.假设O，P，A，B在同一直线上，BC＝3cm，AC＝4cm，AC⊥BC，AD⊥OC于点D，＝，P为OA中点.
（1）点B到OC的距离为　 　cm.
（2）若⊙A的半径为1cm，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到⊙A上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为　 　cm.
15．（2024九下·南湖模拟）如图，，以为直径作半圆，弦，将上方的图形沿向下折叠，使弧与直径恰好相切于点，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．已知三边分别为，，，则该三角形的内心，外心和重心围成的小三角形的面积为　 　 ．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022·德阳）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足是点 ，过点 作直线分别与 ， 的延长线交于点 ， ，且 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）如果 ， ，
①求 的长；
②求 的面积.
18．（2023九下·永康月考） 如图，已知内接于，平分交于点，过点作的平行线分别交、的延长线于点、，连接.
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，圆的半径为10，求的长.
19．（2023·宜城模拟）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是⊙O的直径，点B是⊙O的上一点，且OP∥BC，OP交⊙O于点D.
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC=OP=4，求阴影部分的面积.
20．（2023·周口模拟）如图，的直径为，为的切线，点F是上一点，过点F的直线与交于C，D两点，与交于点E、.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
21．（2023九下·姜堰月考）如图，是的弦，C是外一点，交于点P，交于点D，且.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积.
22．地球有多大？ 古希腊数学家埃拉托斯特尼利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．
下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅．
项目任务(一) 如图 1， 某日 正午，小红在 地 (与太阳直射点 在同一子午线上)测得太阳光与木棍的夹角为 ， 则 ▲ ．若测得 之间弧长为 ， 则地球子午线周长为 ▲ (用含 的代数式表示)
项目任务(二) 如图 2 ， 某日正午，小红和小明在同一子午线的 地、 地测得太阳光与木棍的夹角分别为 ， 则 ▲ ．若测得 之间弧长为 ， 则地球子午线周长为 ▲ (用含 的代数式表示)
项目任务(三) 如图 3 ， 日落时，身高为 的小亮蹲在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时，他马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时．小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了 ， 请据此计算出地球的半径与周长．(用含 的代数式表示)
23．（2023·汕尾模拟）如图，中，，，，以为直径作，交于点F，连接并延长，分别交于D、E两点，连接、．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）求的正切值．
24．（2023九上·大同期中）阅读以下材料，并完成相应的任务：
定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A （依据1） 是的直径 （依据2）
任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：　 　
依据2：　 　
（2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
（3）已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长．
25．（2023九上·怀仁月考）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的部分证明过程：
证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数．
如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】弧长的计算；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB.
则OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的长是：
故答案为：C.
【分析】连接OA，OB，由圆的切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，结合已知根据四边形的内角和等于360°可得∠AOB=120°，再根据弧长公式l=可求解.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；切线长定理
【解析】【解答】解：∵ PA和PB是⊙O的两条切线
∴PA=PB
∴
∵ ∠P=α
∴
∵AD=BF，BD=AE
∴△ADE≌△BFD
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据切线长定理及全等三角形的判定即可证明，再由三角形的内角和及平角的定义，即可解答.
3．【答案】B
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】圆心到直线a的距离等于半径6cm，故直线与圆相切.
答案：B.
【分析】直接由切线的判断进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质；勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm，
故答案为：D.
【分析】由切线长定理可知BE=BF、CF=CG、∠OBF=∠EBC、∠OCF=∠GCB，根据两直线平行同旁内角互补易得∠BOC=90°，借助勾股定理可得BC的长，据此即可选择。
5．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图：过点作于点F，于点M，于点N，
由题意得：，，
为角平分线的交点，
，
点到三边的距离相等．
点是的内心．
故选：B．
【分析】本题考查翻折变换，角平分线的性质．根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，利用角平分线的性质可得：，进而可得点到三边的距离相等，据此可推出 点是的内心 ，可选出选项．
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ①∵ ∠ 和∠ 的平分线相交于点 ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ．
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ = ， = ，
∴ = + = + ，故 ① 正确；
②∵ ∠ 和∠ 的平分线相交于点 ，
∴ ∠ + ∠ = (∠ + ∠ ) = (180° ∠ )，
∴ ∠ = 180° (∠ + ∠ ) = 180° (180° ∠ ) = 90° + ∠ ， 故②正确；
③∵ ∠ 和∠ 的平分线相交于点 ，
∴点 是△ 的内心，
∴点 到△ 各边的距离相等，故③正确；
④连接 ，
∵点 是△ 的内心， = ， + = ，
∴ △ = + = ( + ) =mn， 故④正确．
故选：D.
【分析】 ①根据∠ 和∠ 的平分线相交于点 可得出∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，再由 // 可知∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，故可得出 = ， = ，由此可得出结论；
②先根据角平分线的性质得出∠ + ∠ =(∠ + ∠ )，再由三角形内角和定理即可得出结论；
③根据三角形内心的性质即可得出结论；
④连接 ，根据三角形的面积公式即可得出结论．
熟知角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解答此题的关键．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；直线与圆的位置关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：过原点作交于点C，
直线与坐标轴的交点为A、B两点，
令解得，故A点坐标为：
令解得，故B点坐标为：
故直线到坐标原点的距离为：，
直线与圆有公共点，
故；
故答案为：C．
【分析】过原点作交于点C，求出与坐标轴交点坐标，再根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质；切线的性质；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长AD与BE交于点F，
∵⊙O与AF、BF、AB都相切，
∴⊙O是 ABF的内切圆，
又∵AF∥BC，
∴∠F=∠CBE，
又∠C=∠A=90°，
∴ ABF∽ CEB，
∴==3，
∴==3.
故答案为：C.
【分析】延长AD与BE交于点F，首先证出 ABF∽ CEB，根据相似三角形的性质即可求解.
9．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接.
根据切线的性质定理，得.
要使最小，只需最小，
根据垂线段最短，当轴于点时，最小，
此时P点的坐标是，，
在中，，，
∴.
则最小值是.
故答案为：C.
【分析】连接AB、AP，根据切线的性质定理得AB⊥PB，根据垂线段最短的性质可得：当AP⊥x轴于点P时，AP最小，此时P点的坐标是（-3，0），AP=4，接下来利用勾股定理进行计算即可.
10．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作关于的对称线段，作关于的对称线段，
根据对称的性质可得：部分1的面积部分2的面积部分3的面积部分4的面积，部分5的面积部分6的面积，部分7的面积部分8的面积，阴影部分的面积．
∴，
设点P的坐标为，
∴，
∵是一个定值，
∴是一个定值，
∴点P在一个确定的函数图象上，
故答案为：D．
【分析】本题考查轴对称的性质，圆的相关性质．作关于的对称线段，作关于的对称线段，根据圆的轴对称性可得：阴影部分的面积．进而可得：是一个定值，设点P的坐标为，据此可得，进而可得是一个定值，据此可选出答案．
11．【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；切线的性质；切线长定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵分别与相切于点A，B，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△ABP为等边三角形，
∴AP=AB=，∠APO=30°，
∴OA=AP=×=2.
故答案为：2.
【分析】先证△ABP为等边三角形，可得AP=AB=，∠APO=30°，根据OA=AP即可求解.
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，作于H，
∵直径于H，，为的切线，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，分别切于C，B，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】作于H，先证出四边形为矩形，可得，再结合“，”求出，最后利用线段的和差求出即可.
13．【答案】2r
【知识点】三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：连结OD，OE．
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE上BC．
又∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，
∴四边形ODBE是矩形．
∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，
∴BD=BE=OD=OE=r．
∵⊙O与AB，BC，MN分别相切于点D，E，P，
∴MP=MD，NP=NE，
∴Rt△MBN的周长=MB+NB+MN=MB+NB+NE+DM=BD+BE=r+r=2r．
故答案为：2r.
【分析】根据三角形内切圆的定义，先得出四边形ODBE是正方形，再由切线长定理即可表示出Rt△MBN的周长.
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）过点B作BH⊥OC，交OC的延长线与点H，如下图：
∵AC⊥BC，BH⊥OC
∴∠ACO+∠BCH=∠BCH+∠CBH=∠H=∠ACB=90°
∴∠ACO=∠CBH
∴△ACD∽△BCH
∴
∵AD⊥OC， ＝ 即CD=3AD且AC=4cm；
∴，解得AD=cm；
∴CD=cm
∴BH=CD÷=÷=cm
故答案为：.
（2）∵AC⊥BC，AC=4cm，BC=3cm；
∴AB=5cm
∵AD⊥OC，BH⊥OC
∴
∴OA=4cm=AC
∵PN是圆A的切线
∴AN=1cm，AN⊥PN
∵点P是OA的中点
∴OP=PA=2cm
∴∠APN=30°，即∠PAN=60°，PN=cm；
∴∠EAN=120°
∴弧EN的长=（cm）
∴最多可擦除的长度=OP+PN+弧EN的长=2++（cm）.
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形相似的判定和性质，可得；根据勾股定理，可以求出BH的值；
（2）根据勾股定理，可得AB的值；根据三角形相似的判定和性质，可得；根据圆的切线性质以及中点性质，可得OP=PA=2cm；根据含30°角的直角三角形的性质，可得∠APN=30°，即∠PAN=60°，PN=cm；根据弧长计算公式，可得弧EN的长；最后根据代数式求值，即可求出最多可擦除的长度.
15．【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD于点E，交CD于F，连接OC、OD，则由垂径定理得CF=DF，
由折叠的性质得，
．
故答案为：．
【分析】过点O作OE⊥CD于点E，交CD于F，连接OC、OD，则由垂径定理得CF=DF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得OC=OD，由等腰三角形的三线合一得∠COF=∠DOF，由∠COF的余弦函数及特殊锐角三角函数值推出∠COF=60°，则∠COD=120°，由勾股定理算出CF的长，从而可得CD的长，然后根据S阴影=S扇形OCD-S△OCD，列式计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，，，，，
取中点，则点为外心，取中点，连接、交于点，则点为重心，
设点为内心，过点作垂直于于，交与，作于点，
点为中点，，
，由题得，为中位线，
：：，
：：，：：，
，，
，
，
，
由内切圆半径得，，
，
，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
，
．
故答案为：．
【分析】取中点，则点为外心，取中点，连接、交于点，则点为重心，设点为内心，过点作垂直于于，交与，作于点，根据中点可得EC=3=MN，再根据三角形中位线可得：：，再根据边之间的关系可得CG，根据勾股定理可得CN，根据内切圆性质可得r=2，根据矩形性质可得四边形为矩形，则FG∥HN，再根据三角形面积即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：连接OC、BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，AO=OB，
∵AB⊥CD，
∴AB平分弦CD，AB平分 ，
∴CH=HD， ，∠CHA=90°=∠CHE，
∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，
∵∠ECD=2∠BAD，
∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，
∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，
∴∠BCE=∠BCD，
∴∠BCE=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠ECB=∠OCA，
∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，
∴∠ECB+∠OCB=90°，
∴CO⊥FC，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：①∵AB=10，CD=6，
∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，
∴在Rt△OCH中， ，
同理利用勾股定理，可求得 ， ，
∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，
在Rt△ECH中， ，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCB=90°，
∴在Rt△ECO中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，
∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，
∴△PAF∽△HAC，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，
∴△PEF∽△HEC，
∴ ，即 ，
∵HB=1， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故△AEF的面积为 .
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OC、BC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，根据垂径定理可得CH=HD， ，∠CHA=90°=∠CHE，根据圆周角定理可得∠BAD=∠BAC=∠DCB，由已知条件知∠ECD=2∠BAD，推出∠BCE=∠BAC，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠OCA，则∠ECB=∠OCA，然后结合∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB可推出∠ECB+∠OCB=90°，即CO⊥FC，据此证明；
（2）①在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，利用勾股定理可得OH、BC、AC，然后求出BH、HA，得到HE=BH+BE，根据切线的性质可得∠OCB=90°，然后在Rt△ECH、Rt△ECO中，结合勾股定理就可求出BE，然后根据AE=AB+BE进行计算；
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，易证△PAF∽△HAC，△PEF∽△HEC，根据相似三角形的性质可得PF，然后根据三角形的面积公式进行计算.
18．【答案】（1）证明：连接.
平分，
，
∴，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：作直径，连接.
∵，
，
，
是直径，
，
，
设，则，
，
，
负根已经舍去，
.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接. 根据角平分线的定义及垂径定理可得， 利用平行线的性质可得 ， 根据切线的判定定理即证；
（2）作直径，连接.由（1）知，可得，从而得出，根据圆周角定理及锐角三角函数可得 ， 设，则， 在Rt△DBR中，利用勾股定理建立方程并解之即可.
19．【答案】（1）证明：连接OB，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°.
∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠ACB，∠POB=∠OBC.
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠AOP=BOP.
∵OA=OB，OP=OP，
∴△PAO≌△PBO.
∴∠PBO=∠PAO=90°.
又∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线
（2）解：连接AD
∵AC=OP，OD= AC，
∴OD= OP.
∵∠PAO=90°，
∴AD= OP=OD=OA.
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°.
∴∠AOB=120°.
在Rt△AOP中， ，
∴
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）连接OB，由切线的性质可得∠PAO=90°，根据平行线的性质可得∠AOP=∠ACB，∠POB=∠OBC，由等腰三角形的性质得∠OBC=∠OCB，则∠AOP=BOP，利用SAS证明△PAO≌△PBO，得到∠PBO=∠PAO=90°，据此证明；
（2）连接AD，由已知条件可得OD=OP，则AD=OP=OD=OA，推出△AOD是等边三角形，得到∠AOB=120°，由勾股定理可求出AP的值，然后根据S阴影=2S△AOP-S扇形AOB进行计算.
20．【答案】（1）证明：∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵的直径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中， ，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由切线的性质可得PA⊥AB，由等腰三角形的性质可得∠CAE=∠CEA，根据等角的余角相等可得∠CAF=∠CFA，据此证明；
（2）连接CB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，∠D=∠ABC，根据同角的余角相等可得∠FAC=∠ABC，进而推出AF=AD=8，由题意可得EF=2AC=10，根据勾股定理可得AE，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ACB∽△EAF，根据相似三角形的性质可求出AB的值，然后根据BE=AB-AE进行计算.
21．【答案】（1）解：与相切，理由如下：
如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，即：，
∴ ，
又∵是半径，
∴与相切.
（2）解：∵，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
∴图中阴影部分的面积.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OB，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，由对顶角的性质可得∠CPB=∠APO，推出∠CBP=∠APO，结合∠A+∠APO=90°可得∠OBC=90°，据此证明；
（2）利用内角和定理可得∠APO=60°，则∠BPD=∠APO=60°，推出△PBC为等边三角形，得到∠PCB=∠CBP=60°，则∠OBP=∠POB=30°，OP=PB=PC=1，利用勾股定理可得OB的值，然后根据S阴影=S△OBC-S扇形OBD进行计算.
22．【答案】解 ：任务 (一) α；
任务 (二) α－β；.
任务 (三)： 由题意得，当小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间， 此时小亮视线所在的直线 与 相切于点 ，
同理当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与 相切，设这个切点为 .
连结 ，如图：
∴∠PHQ=∠PTO=90°.
∴∠HQP+∠HPQ=90°，∠TPO+∠TOP=90°.
，
设地球半径为r2，
，
在 Rt 中， ，
，
∴地球的半径为
∴地球的周长．
【知识点】切线的性质；弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解： 任务 (一) 如图：
太阳光线是平行线，
∴OA//CD，
∴∠AOB=∠ODC=α.
设地球的半径为r，
∵AB之间的弧长为l，
∴
.
地球子午线周长为 ．
故答案为：α；
任务 (二)，延长 交 于点P，如图所示，
∵太阳光线是平行线，
∴MN//EF，
∴∠EPM=∠OMN=α．
∵∠OEP=β，
∴∠BOC=∠EPM－∠OEP=α－β.
设地球的半径为 ，
之间弧长为 l，
，
地球子午线周长为 ．
故答案为：α－β；.
【分析】任务（一）记太阳光线为CD，于B处木棍相交于点D，由太阳光线平行得∠AOB=∠ODC=α，设地球的半径为r，利用弧长公式求出r的值，即可利用周长公式求地球子午线的周长.
任务（二）记C处太阳光线为EF，与木棍相交于点E，B处太阳光线为MN，与B处木棍相交于点M，延长 交 于点P，由太阳光线平行得∠EPM=∠OMN=α．再利用三角形外角的性质即可求得∠BOC的度数，最后利用弧长公式和圆的周长公式，即可求得地球子午线的周长.
任务（三）记小亮为PH，小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间， 此时小亮视线所在的直线为，与 相切于点 ， 当小亮站起来，太阳再次完全消失在地平线的瞬间，小亮的视线所在的直线也与 相切，设这个切点为 .连接OT，OH，连结 ，设地球半径为r2，证明，在 Rt 中解直角三角形，求出r2，即可得到地球的周长.
23．【答案】（1）证明：，，，
，，
，
，
是的切线
（2）证明：是的直径，
，即，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，即
（3）解：，且，，
，
即，
解得：，（舍去）
，
，
，
又，
．
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据AB、BC、AC的值可得AB2+BC2=AC2，则∠ABC=90°，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠DBE=90°，根据同角的余角相等可得∠CBD=∠ABE，由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠E，则∠CBD=∠E，由两角对应相等的两个三角形相似可得△CBD∽△CEB，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（3）根据（2）的结论可求出CD的值，根据∠ABE=∠E结合三角函数的概念以及相似三角形的性质进行计算可得∠ABE的正切值.
24．【答案】（1）圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角
（2）证明：连接并延长，交于点，连接．
与相切于点A，
（圆的切线垂直于过切点的半径），
，
是的直径，
，（直径所对的圆周角是直角）
，
，
，
；
（3）2
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质；弦切角定理模型
【解析】【解答】解：（1）与相切于点A，
（圆的切线垂直于过切点的半径），
，
是的直径，
，（直径所对的圆周角是直角）
故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角；
(3)弦切角，
由（2）可知：，
，
是的直径，
，
在中，，
．
【分析】（1）根据切线的性质，结合圆周角定理的推论求解；
（2）根据切线的性质和圆周角定理得∠EAB=∠ECA=90°，根据同角的余角相等得到，再利用圆周角定理得到即可；
（3）根据弦切角的性质求出，利用角对的直角边等于斜边的一半求解．
25．【答案】（1）解：∵AD是⊙O直径，
∴∠DEA＝90°．
∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠DAB＝90°．
∴∠CED＋∠DEA＝∠CAD＋∠DAB，即∠CEA＝∠CAB．
∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数；
（2）解：如图，过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC．
∵AF是直径，
∴∠ACF＝90°．
∴∠CFA＋∠FAC＝90°．
∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠FAB＝90°．
∴∠CAB＋∠FAC＝90°．
∴∠CAB＝∠CFA，
即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弦切角定理模型
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理求得∠DEA＝90° ，再根据同弧所对的圆周角相等以及等量代换得到∠CEA＝∠CAB，从而求解；
（2）过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC ，利用圆周角定理求得∠ACF＝90° ，从而得出∠CFA＋∠FAC＝90°，根据切线的性质得到∠FAB＝90°，利用同角的余角相等，从而求解.
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