第三章 投影与三视图（B卷）——浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024九下·桃源期中）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022七上·襄州期末）下面四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024九下·孟村开学考）根据图中嘉淇和小宇的对话，可以判断他们共同搭的几何体是（ ）
A． B． C． D．
4．晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影（ ）
A．变长 B．变短
C．先变长后变短 D．先变短后变长
5．在同一时刻，两根长度不等的杆子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（ ）
A．两根都垂直于地面 B．两根平行斜插在地上
C．两根竿子不平行 D．一根倒在地上
6．（2024九上·栾城期末）如图是由五个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七上·云南月考）把一支新的圆柱形铅笔削出笔尖，笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的（ ）
A． B． C． D．2倍
8．如图 所示为一个几何体的三视图， 那么这个几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·易门模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥
10．（广西壮族自治区玉林市北流市2024-2025学年上学期七年级期末考试数学试题）下面四个图中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2024九下·杭州模拟）如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为的最大扇形(阴影部分)，将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头)，则圆锥底面半径为 .
12．（2024七上·孝昌期末）在常见的几何体圆锥、圆柱、球、长方体中，从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形一定完全相同的几何体有 （填编号）．
13．（2024·镇海区月考）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为24+8，则a的值是 ．
14．（2024七上·永吉期末）小刚同学在一个正方体盒子的每个面上都写了一个字，分别是：我、喜、欢、数、学、课．其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“我”相对的面所写的字是 ．
15．（2024·惠城模拟）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 ．
16．某款“不倒翁”(图1)的主视图是图分别与弧所在圆相切于点．若该圆半径是，则主视图的面积为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023九上·榆林期末）如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度，旗杆AB垂直于地面．
（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出此刻旗杆AB在阳光下的投影；
（2）已知直立于地面的小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB在太阳光下的影长分别为0.86m和6m，求旗杆AB的高．
18．（2023八下·深圳期末）如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体.根据要求完成下列题目.
（1）请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图.
（2）图中共有 个小正方体.
19．（2023七上·五华期中）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： ；
（2）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
20．把6个相同的小立方体摆成下图所示的几何体．
（1）画出该几何体的主视图、左视图和俯视图．
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小立方体．
21．（2015·宁波模拟）如图1是立方体和长方体模型，立方体棱长和长方体底面各边长都为1，长方体侧棱长为2，现用60张长为6宽为4的长方形卡纸，剪出这两种模型的表面展开图，有两种方法：
方法一：如图2，每张卡纸剪出3个立方体表面展开图；
方法二：如图3，每张卡纸剪出2个长方体表面展开图（图中只画出1个）．
设用x张卡纸做立方体，其余卡纸做长方体，共做两种模型y个．
（1）在图3中画出第二个长方体表面展开图，用阴影表示；
（2）写出y关于x的函数解析式；
（3）设每只模型（包括立方体和长方体）平均获利为w（元），w满足函数 ，若想将模型作为教具卖出，且制作的长方体的个数不超过立方体的个数，则应该制作立方体和长方体各多少个，使获得的利润最大？最大利润是多少？
22．（2023七上·西安期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
（3）当，时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图.
23．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素 材 1 如图1是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示.
素 材 2 如图3、图4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种一边均为a(cm)(a<50)的矩形纸板.
纸板①(单位：cm) 纸板②(单位：cm)
小琴分别将纸板①和②以不同的方式制作储物盒.
纸板①的制作方式 纸板②的制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒. 将纸片四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒。
目 标 1 熟悉材料 ⑴若按照纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全放入储物区域，则长方形纸板的宽a= cm.
目 标 2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究.
初步应用 ⑵按照纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm 时，求储物盒的容积.
储物收纳 ⑶按照纸板②的制作方式制作储物盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm .家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否完全放入储物盒.
24．（2023·鹿城模拟）根据信息，完成活动任务.
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系.
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
的长（cm）
的长（cm） 30
（1）【任务1】如图2，作于点，设，，求y关于x的函数表达式.
（2）活动二 设计该地房子的数量与层数.
在长方形土地上按图3所示设计n幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示.现要求每幢楼层数不超过，每层楼高度为3米.
【任务2】当1号楼层数为时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上.
（3）【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格.
①所有房子层数总和超过.
②正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上.
方案设计
每幢楼层数 n的值 层数总和
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．四棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误；
B．圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；
C．圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；
D．球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据物体三视图逐一判断即可．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：题目中的四个几何体，俯视图是圆的几何体为圆柱和球，共2个，
故选B.
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，其中主视图与俯视图长度方向对正，即主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，据此分析判断，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A、从正面看到和左面看到的不一样，故不符合题意；
B、只有5个小正方体，故不符合题意；
C、从正面看到和左面看到的不一样，故不符合题意；
D、从正面看到和左面看到的一样，都是，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别确定各项中左视图和主视图的形状，再判断即可.
4．【答案】D
【知识点】中心投影；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵小华在经过一盏路灯时，离点光源是由远到近再到远的过程，
∴小华的身影先变短后边长，
故答案为：D.
【分析】根据中心投影的特点：①等高物体垂直地面放置，离点光源越近，影子越短，离点光源越远，影子越长；②等长物体平行地面放置，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度；③点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一直线上，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为两根长度不等的杆子置于阳光之下，但它们的影长相等，
所以两根竿子不平行．
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的性质判断即可．
6．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图从左往右，每一列的小正方形数量分别为2、1
故答案为：B
【分析根据简单几何体的三视图即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算
【解析】【解答】解：∵圆柱与圆锥的体积之比是，
∴笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的．
故答案为：C
【分析】根据等底等高的圆柱和圆锥的体积之比是3：1，然后计算出笔尖（圆锥部分）的体积于削去部分的比即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；圆锥的特征；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：根据题意，圆锥的底面半径r为：6÷2=3.
母线l＝，
则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π 5 3＝15π．
故答案为：B.
【分析】根据几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，判断出该几何体是圆锥．再根据圆锥的侧面积公式解答即可.
9．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解： ∵几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
∴该几何体是一个柱体，
∵俯视图是一个长方形，
∴该几何体是一个长方体．
故选：A．
【分析】根据一个空间几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体的形状．
10．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、是长方体的平面展开图，故不符合题意；
B、是三棱锥的展开图，故不符合题意；
C、是四棱锥的展开图，故不符合题意；
D、是三棱柱的平面展开图，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据三棱柱的展开图的特点即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：连接BC，
由∠BAC=90°且扇形面积最大，得BC为⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形.
∴BC=2，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB=AC=2，
∴扇形的弧长为：=π，
设底面半径为r，则2πr=π，
解得：r=，
故答案为：．
【分析】由勾股定理和题意确定扇形的半径，再根据根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得底面半径即可。
12．【答案】①②③
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：①从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形都是相同的三角形，故①符合题意；
②从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形都是相同的长方形，故②符合题意；
③从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形都是相同的圆，故③符合题意；
④从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形都是长方形，但边长不一定相同，即不一定是相同的长方形，故④不符合题意；
故答案：①②③．
【分析】本题考查了左视图和主视图的定义，相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，分别从正面和从左面观察体图形得到主视图和左视图，进行逐一判定，即可求解．
13．【答案】2
【知识点】几何体的表面积；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由左视图知底面正三角形的高为，
∴底面正三角形的边长为4，
∴底面正三角形面积为，
∵这个正三棱柱的表面积为，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】根据三视图可知该正三棱柱底面等边三角形的高为，则底面等边三角形的边长为4，由此求出该正三棱柱的表面积，进而求得a的值．
14．【答案】课
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在该正方体盒子中，和“我”相对的面所写的字是“课”，
故答案为：课.
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，结合图形求解即可。
15．【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
代入圆锥的侧面积公式得：S＝π×4×6＝24π（cm2），
故答案为：24π．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl，代数求解即可．
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；简单组合体的三视图；直角三角形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设圆心为O，过圆O作AO⊥PA，BO⊥AB，AO和BO相交于点O，连接OP
∵PA，PB分别与所在圆相切于点A，B
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠P=60°
∴∠AOB=120°，∠AOP=∠BOP=60°
∴优弧AMB对应的圆心角为360°－120°=240°，∠APO=∠BPO=30°
∵该圆半径为10
∴
∴主视图的面积为
故答案为：
【分析】设圆心为O，过圆O作AO⊥PA，BO⊥AB，AO和BO相交于点O，连接OP，根据切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和可得∠AOB=120°，∠AOP=∠BOP=60°，根据直角三角形性质可得，再根据主视图的面积为，结合三角形面积，扇形面积即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图所示，BC即为此刻旗杆AB在阳光下的投影．
（2）解：∵DE，AB都垂直于地面，且光线 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即旗杆AB的高为12 m．
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1）利用平行投影的性质，过小亮的头顶和它的影子末端作射线FD，再过点A作AC∥DF，可得到旗杆AB在阳光下的投影.
（2）利用平行线的性质可证得∠DFE=∠ACB，∠DEF=∠ABC=90°，可推出△DEF∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，由此可求出AB的长.
18．【答案】（1）解：如图所示
（2）9
【知识点】作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（2）由图型从直观地看，数出被遮挡的小正方体，就知道一共有9个正方体.
【分析】（1）考查简单三视图的画法，左视图是从左边看，俯视图为从上面看的，即可画出简单图形的三视图.
（2）根据每个图形的直观图，就可以数出正方体的个数.
19．【答案】（1）26
（2）解：如图所示：
【知识点】几何体的表面积；作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（1）该几何体的表面积为：2×（5+4+4）=26cm2；
故答案为：26；
【分析】（1）用该几何体前面看到的面积+左面看到的面积+上面看到的面积的和再乘以2可得该几何体的表面积；
（2）找出该几何体从正面看、左面看、上面看得到的图形的行数与列数，及各行各列小正方形的个数，从而画图即可.
20．【答案】（1）解：如图所示．
（2）2
【知识点】作图﹣三视图；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：（2）要保持这个几何体的左视图和俯视图不变
则可以在后面一行第1列和第2列各添加1个小正方体
故答案为：2
【分析】（1）根据三视图的概念作图即可求出答案.
（2）要保持这个几何体的左视图不变，由第3列最高2层可知第1和第2列的层数不能高于2，俯视图不变，可知添加的正方体只能在原来小正方体的位置往上添加，结合两个“不变”即可得到结论.
21．【答案】（1）解：展开图如图所示：
（2）解：y=3x+2（60-x）=x+120
（3）解：设总利润为Q（元），
Q=（1.6- ）（x+120）=-0.01x2+0.4x+192 =-0.01（x-20）2+196，∵制作的长方体的个数不超过立方体的个数， ∴2（60-x）≤3x，x≥24， ∴24≤x≤60， ∴x=24时，Q最大=195.84（元），60-24=36（个）
答：制作立方体24个，长方体36个时，利润最大为195.84元
【知识点】一次函数的实际应用；几何体的展开图；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将图3中的长方体展开图旋转180画出图形即可；
（2）利用用x张卡纸做立方体，其余卡纸做长方体，共做两种模型y个，卡纸60张，每张长方形卡纸长为6，宽为4，由图知，一张卡纸可以做3个立方体，一张卡纸只能做2个长方体，然后根据所做的立方体的个数加所做的长方体的个数=总个数得出y与x的函数关系式；
（3）设总利润为Q（元），利用每只模型（包括立方体和长方体）平均获利为w（元），w满足函数w=1.6- ， 进而利用数量乘以每个的利润=总利润得出Q与x的函数关系式，并化为顶点式，然后根据制作的长方体的个数不超过立方体的个数，得出自变量x的取值范围，进而得出答案．
22．【答案】（1）3；1；1
（2）9；11
（3）解：如图所示：
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】（1）解：由从正面看到的图形可知，3，1，1；
（2）解：这个几何体最少由4＋2＋3＝9个小立方块搭成，最多由6＋2＋3＝11个小立方块搭成；
【分析】（1）根据主视图和俯视图的定义并结合题意可求解；
（2）根据主视图和俯视图的定义可知b、e、c是定值，a、b、d的最大值是2且至少有一个是2，结合图形可求解；
（3）根据左视图定义并结合题意可求解.
23．【答案】解：⑴40；
⑵设小正方形的长为x，
由题意可得：，
整理得：
解得：（舍去）
储物盒的容积 ：
故答案为：
⑶不能.设小长方形的宽为xcm，长为ycm，由题意得：，解得：∴ 储物盒的高为11， 机械狗的高为18，∴ 机械狗不能完全放入储物盒.
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：⑴ 裁去角上4个相同的小正方形的长为：cm，
∴，解得：a=40
故答案为：40.
【分析】（1）由题意可得小正方形的长为5cm，进而求得a=40；
（2）设小正方形的长为x，根据矩形得面积公式，列出方程，进而解得，再利用体积公式，计算求解即可；
（3）设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据题意列出二元一次房出组，计算求解即可.
24．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为，
当时，，，
，
当时，，，
，
代入解析式得：，
解得：，
关于x的函数表达式为，经检验符合题意.
（2）解：将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作于M当1号楼层为24时，的长为：，
的长为：，
，
，
，
，
，，
，，
而，
正午时1号楼的影子会落在2号楼的墙上.
（3）解：由任务2可得： ，
，
∴，
正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，
∴，
解得：，
∵每层楼高3米，
∴，
∴每幢房子最多7层，
∴，
∴，
∴，层数为，
，层数为，总和为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）任务一：分AB=10cm与AB=20cm两种情况，用∠BCD的正弦函数的定义分别求出BH的长，从而利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）任务二： 将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作BM⊥CG于M当1号楼层为24时，AB的长为：24×3=72m，BH的长为1.2×72=86.4m， 由∠BCD的正弦函数定义可求出BC的长，进而根据勾股定理算出CH的长，从而可求出∠BCD的余弦函数值，根据平行间的距离相等得BM=CH=64.8m，EG=BC=108m，再比较即可得出答案；
（3）任务三：由任务二可得BH=y=x=AB，利用∠BCD的正弦函数可得BC=x，用∠BCD的余弦函数可得CH=x，由正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，列出不等式求解得出x的取值范围，并结合题意可得每幢房子最多层数，进而即可算出楼栋数量及层数总和.
1 / 1第三章 投影与三视图（B卷）——浙教版数学九年级下册单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024九下·桃源期中）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．四棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误；
B．圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；
C．圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；
D．球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确．
故答案为：D．
【分析】根据物体三视图逐一判断即可．
2．（2022七上·襄州期末）下面四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：题目中的四个几何体，俯视图是圆的几何体为圆柱和球，共2个，
故选B.
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，其中主视图与俯视图长度方向对正，即主视图和俯视图的长度要相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，据此分析判断，即可求解.
3．（2024九下·孟村开学考）根据图中嘉淇和小宇的对话，可以判断他们共同搭的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A、从正面看到和左面看到的不一样，故不符合题意；
B、只有5个小正方体，故不符合题意；
C、从正面看到和左面看到的不一样，故不符合题意；
D、从正面看到和左面看到的一样，都是，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别确定各项中左视图和主视图的形状，再判断即可.
4．晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影（ ）
A．变长 B．变短
C．先变长后变短 D．先变短后变长
【答案】D
【知识点】中心投影；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵小华在经过一盏路灯时，离点光源是由远到近再到远的过程，
∴小华的身影先变短后边长，
故答案为：D.
【分析】根据中心投影的特点：①等高物体垂直地面放置，离点光源越近，影子越短，离点光源越远，影子越长；②等长物体平行地面放置，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度；③点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一直线上，即可求解.
5．在同一时刻，两根长度不等的杆子置于阳光之下，但它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（ ）
A．两根都垂直于地面 B．两根平行斜插在地上
C．两根竿子不平行 D．一根倒在地上
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：因为两根长度不等的杆子置于阳光之下，但它们的影长相等，
所以两根竿子不平行．
故答案为：C．
【分析】根据平行投影的性质判断即可．
6．（2024九上·栾城期末）如图是由五个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图从左往右，每一列的小正方形数量分别为2、1
故答案为：B
【分析根据简单几何体的三视图即可求出答案.
7．（2024七上·云南月考）把一支新的圆柱形铅笔削出笔尖，笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的（ ）
A． B． C． D．2倍
【答案】C
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算
【解析】【解答】解：∵圆柱与圆锥的体积之比是，
∴笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的．
故答案为：C
【分析】根据等底等高的圆柱和圆锥的体积之比是3：1，然后计算出笔尖（圆锥部分）的体积于削去部分的比即可求出答案.
8．如图 所示为一个几何体的三视图， 那么这个几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；圆锥的特征；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：根据题意，圆锥的底面半径r为：6÷2=3.
母线l＝，
则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π 5 3＝15π．
故答案为：B.
【分析】根据几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，判断出该几何体是圆锥．再根据圆锥的侧面积公式解答即可.
9．（2024·易门模拟）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解： ∵几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
∴该几何体是一个柱体，
∵俯视图是一个长方形，
∴该几何体是一个长方体．
故选：A．
【分析】根据一个空间几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体的形状．
10．（广西壮族自治区玉林市北流市2024-2025学年上学期七年级期末考试数学试题）下面四个图中，是三棱柱的平面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：A、是长方体的平面展开图，故不符合题意；
B、是三棱锥的展开图，故不符合题意；
C、是四棱锥的展开图，故不符合题意；
D、是三棱柱的平面展开图，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据三棱柱的展开图的特点即可求出答案.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2024九下·杭州模拟）如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为的最大扇形(阴影部分)，将此扇形围成一个无底的圆锥(不计接头)，则圆锥底面半径为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：连接BC，
由∠BAC=90°且扇形面积最大，得BC为⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形.
∴BC=2，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB=AC=2，
∴扇形的弧长为：=π，
设底面半径为r，则2πr=π，
解得：r=，
故答案为：．
【分析】由勾股定理和题意确定扇形的半径，再根据根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得底面半径即可。
12．（2024七上·孝昌期末）在常见的几何体圆锥、圆柱、球、长方体中，从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形一定完全相同的几何体有 （填编号）．
【答案】①②③
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：①从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形都是相同的三角形，故①符合题意；
②从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形都是相同的长方形，故②符合题意；
③从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形都是相同的圆，故③符合题意；
④从正面观察立体图形与从左面观察这个立体图形，得到的平面图形都是长方形，但边长不一定相同，即不一定是相同的长方形，故④不符合题意；
故答案：①②③．
【分析】本题考查了左视图和主视图的定义，相等；主视图与左视图高度方向平齐，即主视图和左视图的高度要相等；俯视图与左视图宽度方向相等，即左视图和俯视图的宽度要相等，分别从正面和从左面观察体图形得到主视图和左视图，进行逐一判定，即可求解．
13．（2024·镇海区月考）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为24+8，则a的值是 ．
【答案】2
【知识点】几何体的表面积；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由左视图知底面正三角形的高为，
∴底面正三角形的边长为4，
∴底面正三角形面积为，
∵这个正三棱柱的表面积为，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】根据三视图可知该正三棱柱底面等边三角形的高为，则底面等边三角形的边长为4，由此求出该正三棱柱的表面积，进而求得a的值．
14．（2024七上·永吉期末）小刚同学在一个正方体盒子的每个面上都写了一个字，分别是：我、喜、欢、数、学、课．其平面展开图如图所示，那么在该正方体盒子中，和“我”相对的面所写的字是 ．
【答案】课
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在该正方体盒子中，和“我”相对的面所写的字是“课”，
故答案为：课.
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，结合图形求解即可。
15．（2024·惠城模拟）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
代入圆锥的侧面积公式得：S＝π×4×6＝24π（cm2），
故答案为：24π．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl，代数求解即可．
16．某款“不倒翁”(图1)的主视图是图分别与弧所在圆相切于点．若该圆半径是，则主视图的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；简单组合体的三视图；直角三角形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设圆心为O，过圆O作AO⊥PA，BO⊥AB，AO和BO相交于点O，连接OP
∵PA，PB分别与所在圆相切于点A，B
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠P=60°
∴∠AOB=120°，∠AOP=∠BOP=60°
∴优弧AMB对应的圆心角为360°－120°=240°，∠APO=∠BPO=30°
∵该圆半径为10
∴
∴主视图的面积为
故答案为：
【分析】设圆心为O，过圆O作AO⊥PA，BO⊥AB，AO和BO相交于点O，连接OP，根据切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和可得∠AOB=120°，∠AOP=∠BOP=60°，根据直角三角形性质可得，再根据主视图的面积为，结合三角形面积，扇形面积即可求出答案.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2023九上·榆林期末）如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度，旗杆AB垂直于地面．
（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出此刻旗杆AB在阳光下的投影；
（2）已知直立于地面的小亮的身高为1.72m，在同一时刻测得小亮和旗杆AB在太阳光下的影长分别为0.86m和6m，求旗杆AB的高．
【答案】（1）解：如图所示，BC即为此刻旗杆AB在阳光下的投影．
（2）解：∵DE，AB都垂直于地面，且光线 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即旗杆AB的高为12 m．
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行投影
【解析】【分析】（1）利用平行投影的性质，过小亮的头顶和它的影子末端作射线FD，再过点A作AC∥DF，可得到旗杆AB在阳光下的投影.
（2）利用平行线的性质可证得∠DFE=∠ACB，∠DEF=∠ABC=90°，可推出△DEF∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得对应边成比例，由此可求出AB的长.
18．（2023八下·深圳期末）如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体.根据要求完成下列题目.
（1）请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图.
（2）图中共有 个小正方体.
【答案】（1）解：如图所示
（2）9
【知识点】作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（2）由图型从直观地看，数出被遮挡的小正方体，就知道一共有9个正方体.
【分析】（1）考查简单三视图的画法，左视图是从左边看，俯视图为从上面看的，即可画出简单图形的三视图.
（2）根据每个图形的直观图，就可以数出正方体的个数.
19．（2023七上·五华期中）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．
（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： ；
（2）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
【答案】（1）26
（2）解：如图所示：
【知识点】几何体的表面积；作图﹣三视图
【解析】【解答】解：（1）该几何体的表面积为：2×（5+4+4）=26cm2；
故答案为：26；
【分析】（1）用该几何体前面看到的面积+左面看到的面积+上面看到的面积的和再乘以2可得该几何体的表面积；
（2）找出该几何体从正面看、左面看、上面看得到的图形的行数与列数，及各行各列小正方形的个数，从而画图即可.
20．把6个相同的小立方体摆成下图所示的几何体．
（1）画出该几何体的主视图、左视图和俯视图．
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小立方体．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）2
【知识点】作图﹣三视图；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：（2）要保持这个几何体的左视图和俯视图不变
则可以在后面一行第1列和第2列各添加1个小正方体
故答案为：2
【分析】（1）根据三视图的概念作图即可求出答案.
（2）要保持这个几何体的左视图不变，由第3列最高2层可知第1和第2列的层数不能高于2，俯视图不变，可知添加的正方体只能在原来小正方体的位置往上添加，结合两个“不变”即可得到结论.
21．（2015·宁波模拟）如图1是立方体和长方体模型，立方体棱长和长方体底面各边长都为1，长方体侧棱长为2，现用60张长为6宽为4的长方形卡纸，剪出这两种模型的表面展开图，有两种方法：
方法一：如图2，每张卡纸剪出3个立方体表面展开图；
方法二：如图3，每张卡纸剪出2个长方体表面展开图（图中只画出1个）．
设用x张卡纸做立方体，其余卡纸做长方体，共做两种模型y个．
（1）在图3中画出第二个长方体表面展开图，用阴影表示；
（2）写出y关于x的函数解析式；
（3）设每只模型（包括立方体和长方体）平均获利为w（元），w满足函数 ，若想将模型作为教具卖出，且制作的长方体的个数不超过立方体的个数，则应该制作立方体和长方体各多少个，使获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：展开图如图所示：
（2）解：y=3x+2（60-x）=x+120
（3）解：设总利润为Q（元），
Q=（1.6- ）（x+120）=-0.01x2+0.4x+192 =-0.01（x-20）2+196，∵制作的长方体的个数不超过立方体的个数， ∴2（60-x）≤3x，x≥24， ∴24≤x≤60， ∴x=24时，Q最大=195.84（元），60-24=36（个）
答：制作立方体24个，长方体36个时，利润最大为195.84元
【知识点】一次函数的实际应用；几何体的展开图；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将图3中的长方体展开图旋转180画出图形即可；
（2）利用用x张卡纸做立方体，其余卡纸做长方体，共做两种模型y个，卡纸60张，每张长方形卡纸长为6，宽为4，由图知，一张卡纸可以做3个立方体，一张卡纸只能做2个长方体，然后根据所做的立方体的个数加所做的长方体的个数=总个数得出y与x的函数关系式；
（3）设总利润为Q（元），利用每只模型（包括立方体和长方体）平均获利为w（元），w满足函数w=1.6- ， 进而利用数量乘以每个的利润=总利润得出Q与x的函数关系式，并化为顶点式，然后根据制作的长方体的个数不超过立方体的个数，得出自变量x的取值范围，进而得出答案．
22．（2023七上·西安期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
（3）当，时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图.
【答案】（1）3；1；1
（2）9；11
（3）解：如图所示：
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】（1）解：由从正面看到的图形可知，3，1，1；
（2）解：这个几何体最少由4＋2＋3＝9个小立方块搭成，最多由6＋2＋3＝11个小立方块搭成；
【分析】（1）根据主视图和俯视图的定义并结合题意可求解；
（2）根据主视图和俯视图的定义可知b、e、c是定值，a、b、d的最大值是2且至少有一个是2，结合图形可求解；
（3）根据左视图定义并结合题意可求解.
23．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素 材 1 如图1是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示.
素 材 2 如图3、图4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种一边均为a(cm)(a<50)的矩形纸板.
纸板①(单位：cm) 纸板②(单位：cm)
小琴分别将纸板①和②以不同的方式制作储物盒.
纸板①的制作方式 纸板②的制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒. 将纸片四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒。
目 标 1 熟悉材料 ⑴若按照纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全放入储物区域，则长方形纸板的宽a= cm.
目 标 2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究.
初步应用 ⑵按照纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm 时，求储物盒的容积.
储物收纳 ⑶按照纸板②的制作方式制作储物盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm .家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否完全放入储物盒.
【答案】解：⑴40；
⑵设小正方形的长为x，
由题意可得：，
整理得：
解得：（舍去）
储物盒的容积 ：
故答案为：
⑶不能.设小长方形的宽为xcm，长为ycm，由题意得：，解得：∴ 储物盒的高为11， 机械狗的高为18，∴ 机械狗不能完全放入储物盒.
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：⑴ 裁去角上4个相同的小正方形的长为：cm，
∴，解得：a=40
故答案为：40.
【分析】（1）由题意可得小正方形的长为5cm，进而求得a=40；
（2）设小正方形的长为x，根据矩形得面积公式，列出方程，进而解得，再利用体积公式，计算求解即可；
（3）设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据题意列出二元一次房出组，计算求解即可.
24．（2023·鹿城模拟）根据信息，完成活动任务.
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系.
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
的长（cm）
的长（cm） 30
（1）【任务1】如图2，作于点，设，，求y关于x的函数表达式.
（2）活动二 设计该地房子的数量与层数.
在长方形土地上按图3所示设计n幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示.现要求每幢楼层数不超过，每层楼高度为3米.
【任务2】当1号楼层数为时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上.
（3）【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格.
①所有房子层数总和超过.
②正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上.
方案设计
每幢楼层数 n的值 层数总和
【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为，
当时，，，
，
当时，，，
，
代入解析式得：，
解得：，
关于x的函数表达式为，经检验符合题意.
（2）解：将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作于M当1号楼层为24时，的长为：，
的长为：，
，
，
，
，
，，
，，
而，
正午时1号楼的影子会落在2号楼的墙上.
（3）解：由任务2可得： ，
，
∴，
正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，
∴，
解得：，
∵每层楼高3米，
∴，
∴每幢房子最多7层，
∴，
∴，
∴，层数为，
，层数为，总和为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）任务一：分AB=10cm与AB=20cm两种情况，用∠BCD的正弦函数的定义分别求出BH的长，从而利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）任务二： 将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作BM⊥CG于M当1号楼层为24时，AB的长为：24×3=72m，BH的长为1.2×72=86.4m， 由∠BCD的正弦函数定义可求出BC的长，进而根据勾股定理算出CH的长，从而可求出∠BCD的余弦函数值，根据平行间的距离相等得BM=CH=64.8m，EG=BC=108m，再比较即可得出答案；
（3）任务三：由任务二可得BH=y=x=AB，利用∠BCD的正弦函数可得BC=x，用∠BCD的余弦函数可得CH=x，由正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，列出不等式求解得出x的取值范围，并结合题意可得每幢房子最多层数，进而即可算出楼栋数量及层数总和.
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