2.1 一元二次方程-2024-2025学年浙教版八年级下册 同步分层作业（含解析）

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2.1一元二次方程 同步分层作业
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣16＝0 B．3x2﹣4y＝0 C． D．（x+1）（x+4）＝x（x+2）
2．关于x的方程（m﹣2）x2+3x+n＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠2 B．m＞2 C．m＜2 D．0＜m＜2
3．方程2x2﹣3＝0的一次项系数是（　　）
A．﹣3 B．2 C．0 D．3
4．一元二次方程3x2﹣x+1＝0的二次项系数和常数项分别是（　　）
A．3，1 B．﹣1，1 C．3，﹣1 D．1，﹣1
5．将一元二次方程﹣3x+4＝2x2化为一般形式为（　　）
A．2x2﹣3x+4＝0 B．2x2﹣3x﹣4＝0 C．2x2+3x﹣4＝0 D．2x2+3x+4＝0
6．若x＝1是方程x2+（a+2）x＝﹣（a+1）的解，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．0 D．﹣1
7．若关于x的一元二次方程x2+2x+m+1＝0有一个根是0，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．0
8．已知m为一元二次方程x2+5x﹣1024＝0的根，那么﹣2m2﹣10m的值为（　　）
A．﹣2048 B．﹣1024 C．0 D．2048
9．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则（a+b）2025的值为 　 　．
10．若x＝5是关于x的方程ax2+bx＝10的解，则2024﹣15a﹣3b的值为 　 　．
11．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
12．已知一元二次方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3．
（1）将方程化成一般形式；
（2）写出二次项系数、一次项系数和常数项．
13．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2
14．已知（k﹣2）x|k|+2x﹣3＝0是一元二次方程，则实数k＝　 　．
15．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
16．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
（1）如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？
（2）如果方程有一个根是﹣1，那么a、b、c之间有什么关系？
（3）如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？
17．定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：[4，3]*[2，1]＝4×2﹣3×1＝5．
（1）求[2，4]*[3，﹣1]的值；
（2）已知关于x的方程[x，1﹣x]*[x+2，m]＝0的一个根为2，求m的值．
18．已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，求下列各代数式的值：
（1）（m﹣4）（m+1）；
（2）．
19．若n是方程x2﹣10x+1＝0的根，则的值是（　　）
A．8 B．9 C．19 D．20
20．若方程是关于x的一元二次方程，则m＝ 　 　．
21．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程x2+2x﹣3＝0是否为“黄金方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值．
答案与解析
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣16＝0 B．3x2﹣4y＝0 C． D．（x+1）（x+4）＝x（x+2）
【点拨】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解析】解：A、属于一元二次方程，本选项符合题意；
B、属于二元二次方程，本选项不符合题意；
C、属于分式方程，本选项不符合题意；
D、整理可得3x+4＝0，属于一元一次方程，本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是理解一元二次方程的定义．
2．关于x的方程（m﹣2）x2+3x+n＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠2 B．m＞2 C．m＜2 D．0＜m＜2
【点拨】根据二次项系数不等于0解答即可．
【解析】解：∵方程（m﹣2）x2+3x+n＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
解得m≠2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握二次项系数不等于0是解题的关键．
3．方程2x2﹣3＝0的一次项系数是（　　）
A．﹣3 B．2 C．0 D．3
【点拨】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解析】解：方程2x2﹣3＝0没有一次项，所以一次项系数是0．故选C．
【点睛】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是0，注意不要说是没有．
4．一元二次方程3x2﹣x+1＝0的二次项系数和常数项分别是（　　）
A．3，1 B．﹣1，1 C．3，﹣1 D．1，﹣1
【点拨】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，且a≠0）．在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程的一般形式的概念，即可判断答案．
【解析】解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别是3和1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确理解一元二次方程的二次项系数和常数项是解题的关键．
5．将一元二次方程﹣3x+4＝2x2化为一般形式为（　　）
A．2x2﹣3x+4＝0 B．2x2﹣3x﹣4＝0 C．2x2+3x﹣4＝0 D．2x2+3x+4＝0
【点拨】根据一元二次方程的一般形式，进行化简即可．
【解析】解：一元二次方程化为一般形式为：2x2+3x﹣4＝0，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是移项得到一般式ax2+bx+c＝0（a≠0）．
6．若x＝1是方程x2+（a+2）x＝﹣（a+1）的解，则a的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．0 D．﹣1
【点拨】直接利用方程的解的定义代入求解即可．
【解析】解：∵x＝1是关于x的方程x+（a+2）x＝﹣（a+1）的解，
∴1+（a+2）×1＝﹣（a+1），
∴a＝﹣2，
故选：B．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解方程解的定义是关键．
7．若关于x的一元二次方程x2+2x+m+1＝0有一个根是0，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．0
【点拨】把x＝0代入方程把问题转化为关于m的方程求解．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m+1＝0有一个根是0，
∴m+1＝0，
∴m＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．
8．已知m为一元二次方程x2+5x﹣1024＝0的根，那么﹣2m2﹣10m的值为（　　）
A．﹣2048 B．﹣1024 C．0 D．2048
【点拨】根据一元二次方程解的定义得m2+5m＝1024，把代数式变形后整体代入求值即可．
【解析】解：由题意可知：m2+5m﹣1024＝0，
则m2+5m＝1024，
∴﹣2m2﹣10m＝﹣2（m2+5m）＝﹣2×1024＝﹣2048，
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程解的定义和求代数式的值．熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则（a+b）2025的值为 　﹣1　．
【点拨】由题意知，1+a+b＝0，即a+b＝﹣1，然后代值求解即可．
【解析】解：由题意可知：1+a+b＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴（a+b）2025＝（﹣1）2025＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，有理数的乘方等知识．熟练掌握一元二次方程的根，有理数的乘方是解题的关键．
10．若x＝5是关于x的方程ax2+bx＝10的解，则2024﹣15a﹣3b的值为 　2018　．
【点拨】利用整体代入的思想解决问题即可．
【解析】解：∵x＝5是关于x的方程ax2+bx＝10的解，
25a+5b＝10．
∴5a+b＝2，
∴2024﹣15a﹣3b＝2024﹣3（5a+b）＝2024﹣6＝2018．
故答案为：2018．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．
11．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
【点拨】（1）利用一元一次方程的定义判断即可；
（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．
【解析】解：（1）只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
由题意得：m2﹣1＝0且m+1≠0，
∴m＝1．
当m＝1时此方程是一元一次方程；
（2）由题意得：m2﹣1≠0，
∴m≠±1．
当m≠±1时，此方程是一元二次方程．
此一元二次方程的二次项系数为m2﹣1，常数项为m．
【点睛】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
12．已知一元二次方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3．
（1）将方程化成一般形式；
（2）写出二次项系数、一次项系数和常数项．
【点拨】（1）根据题意，将所给一元二次方化为一般式即可解决问题．
（2）根据（1）中所得一般式，写出二次项系数、一次项系数和常数项即可解决问题．
【解析】解：（1）由题知，
方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3可化为：
3x2﹣7x+1＝0，
所以此方程的一般形式为3x2﹣7x+1＝0．
（2）由（1）中所得方程的一般形式可知，
此方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为：3，﹣7，1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟知一元二次方程的一般形式是解题的关键．
13．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2
【点拨】由一元二次方程的定义可得k﹣2±0，由题意又知k2﹣4＝0，联立不等式组，求解可得答案．
【解析】解：根据题意可得：
，
解得k＝﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应用，关键是能根据题意得出方程k2﹣4＝0和k﹣2≠0．
14．已知（k﹣2）x|k|+2x﹣3＝0是一元二次方程，则实数k＝　﹣2　．
【点拨】方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．根据x的最高次数是2，且系数不等于0列式求解即可．
【解析】解：由条件可知|k|＝2且k﹣2≠0，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是关键．
15．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【点拨】把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状．
【解析】解：△ABC为等腰三角形．理由如下：
把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形．
【点睛】考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
16．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
（1）如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？
（2）如果方程有一个根是﹣1，那么a、b、c之间有什么关系？
（3）如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？
【点拨】（1）把x＝1代入方程可得a、b、c之间的关系；
（2）把x＝﹣1代入方程可得a、b、c之间的关系；
（3）把x＝0代入方程可得a、b、c之间的关系．
【解析】解：（1）将x＝1代入原方程得：a×1+b×1+c＝0，
即a+b+c＝0；
（2）将x＝﹣1代入原方程得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝0，
即a﹣b+c＝0；
（3）将x＝0代入原方程可得：a×0+b×0+c＝0，
∴c＝0．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义；解该题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中几个特殊值的特殊形式：x＝1时，a+b+c＝0；x＝﹣1时，a﹣b+c＝0；x＝0时，c＝0．
17．定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：[4，3]*[2，1]＝4×2﹣3×1＝5．
（1）求[2，4]*[3，﹣1]的值；
（2）已知关于x的方程[x，1﹣x]*[x+2，m]＝0的一个根为2，求m的值．
【点拨】（1）根据定义计算即可；
（2）先根据定义化简，再将x＝2代入，即可求解．
【解析】解：（1）∵[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，
∴[2，4]*[3，﹣1]＝2×3﹣4×（﹣1）＝10；
（2）∵[x，1﹣x]*[x+2，m]＝0，
∴x（x+2）﹣m（1﹣x）＝0，
∴2×（2+2）﹣m（1﹣2）＝0，
解得m＝﹣8．
【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解，理解新定义是解题的关键．
18．已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，求下列各代数式的值：
（1）（m﹣4）（m+1）；
（2）．
【点拨】（1）利用一元二次方程根的定义可得m2﹣3m+1＝0，进而得出m2﹣3m＝﹣1，再利用多项式乘多项式计算（m﹣4）（m+1），将m2﹣3m＝﹣1作为整体代入即可；
（2）由m2﹣3m+1＝0可得m2+1＝3m，将变形为，进而通分，再将m2+1＝3m代入求值即可．
【解析】解：（1）由条件可知m2﹣3m+1＝0，
∴m2﹣3m＝﹣1，
∴（m﹣4）（m+1）＝m2+m﹣4m﹣4＝m2﹣3m﹣4＝﹣1﹣4＝﹣5；
（2）由条件可知m2﹣3m+1＝0，
∴m2+1＝3m，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，代数式求值，完全平方公式的应用，熟练应用整体代入法是解题的关键．
19．若n是方程x2﹣10x+1＝0的根，则的值是（　　）
A．8 B．9 C．19 D．20
【点拨】先利用一元二次方程解的定义得到n2＝10n﹣1或n2+1＝10n，再利用整体代入得到原式＝10n﹣1﹣8n+，整理后通分得到原式＝﹣1，然后再利用整体代入的方法计算．
【解析】解：∵n是方程x2﹣10x+1＝0的根，
∴n2﹣10n+1＝0，
∴n2＝10n﹣1，n2+1＝10n，
∴原式＝10n﹣1﹣8n+
＝2n﹣1+
＝﹣1
＝﹣1
＝+﹣
＝20﹣1
＝19．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法可简化计算．
20．若方程是关于x的一元二次方程，则m＝ 　3　．
【点拨】根据一元二次方程的定义得到m2﹣7＝2且m+3≠0，求得m的值即可．
【解析】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴m2﹣7＝2且m+3≠0，
解得m＝3，
所以m的值为3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，关键掌握未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0．
21．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程x2+2x﹣3＝0是否为“黄金方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值．
【点拨】（1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可；
（2）利用配方法，非负数的性质求解．
【解析】解：（1）是“黄金方程”，理由如下：
∵x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1，
∵c＝﹣3，
∴一元二次方程x2+2x﹣3＝0是“黄金方程”；
（2）∵关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，
∴2c2+bc+c＝0，
∵c≠0，
∴2c＝﹣b﹣1，
∴b2﹣2c+1＝b2+b+1+1＝（b+）2+，
∵（b+）2≥0，
∴b2﹣2c+1的最小值为．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义．
基础过关
能力提升
培优拔尖
基础过关
能力提升
能力提升
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