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1.2二次根式的性质 夯实基础演练卷
一、选择题
1．下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，化简后能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．如果实数 满足 ，那么点 在（ ）.
A．第一象限 B．第二象限
C．第二象限或坐标轴上 D．第四象限或坐标轴上
5．下列计算：（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若 <0，则 的结果是（ ）.
A．0 B．-2 C．0或-2 D．2
7．若1＜x＜3，则|x﹣3|+ 的值为（ ）
A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2
8．是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
10．若 ，则 的值为： （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
二、填空题
11．用一个x的值来说明“”是错误的，则x的值可以是 ．
12．若最简二次根式与可以合并，则
13．当a＜0时，化简： = ．
14．化简的结果是
15．已知实数a满足|2014-a|+ =a，那么a-20142+1的值是 ．
16．等式 中的括号应填入
三、综合题
17．当x分别取下列值时，求二次根式
的值．
（1）x=0；
（2）x=
；
（3）x= -2．
18．计算：
（1）
（2）
19．
（1）已知二次根式 ，求x的取值范围；
（2）当x=-2时，求二次根式 的值；
（3）若二次根式 的值为1，求x的值．
20．先化简，再求值：，其中.如图是小亮和小芳的解答过程.
（1） 的解法是错误的；
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（2）先化简，再求值：，其中.
21．已知关于x、y的方程组 的解都小于1，若关于a的不等式组 恰好有三个整数解.
（1）分别求出m与n的取值范围；
（2）化简：
22．若实数a，b，c满足|a- |+ = + ．
（1）求a，b，c；
（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
23．甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
（ ）2＋1＝2，S1＝ ；（ ）2＋1＝3，S2＝ ；（ ）2＋1＝4，S3＝ ；….
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
（2）求出 的值.
24．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2 ，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b (其中a、b、m、n均为整数)，
则有：a+b ，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b ，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4 ＝ ．
（3）请化简： .
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1.2二次根式的性质 夯实基础演练卷
一、选择题
1．下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、不为最简二次根式，故不符合题意；
B、不为最简二次根式，故不符合题意；
C、 不为最简二次根式，故不符合题意；
D、 为最简二次根式，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误.
故答案为：C.
【分析】先算出根号里的数，再按照算术平方根和立方根的计算即可求出答案.
3．下列各式中，化简后能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】因为
A. =2 ；
B. =2 ；
C. = ；
D. = .
所以，只有选项B能与 合并.
故答案为：B
【分析】分别化简，与 是同类二次根式才能合并.
4．如果实数 满足 ，那么点 在（ ）.
A．第一象限 B．第二象限
C．第二象限或坐标轴上 D．第四象限或坐标轴上
【答案】C
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质，由实数a、b满足 ，可求得a、b异号，且b＞0；故a＜0，或者a、b中有一个为0或均为0．于是点（a，b）在第二象限或坐标轴上．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质判断a、b的正负，再结合点坐标与象限的关系求解即可。
5．下列计算：（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】（1） ，正确；（2） 正确；（3） 正确；（4） ，正确，故答案为：D.
【分析】根据二次根式的运算法则即可进行判断.
6．若 <0，则 的结果是（ ）.
A．0 B．-2 C．0或-2 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵x＜o
∴.
故答案为：D.
【分析】由x＜0，可得，将代数式进行化简，即可得出答案。
7．若1＜x＜3，则|x﹣3|+ 的值为（ ）
A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：∵1＜x＜3，
∴|x﹣3|+ =3﹣x+x﹣1=2．
故选：D．
【分析】直接利用二次根式以及绝对值的性质化简求出即可．
8．是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】【分析】∵，
∴当时，，
∴原式=，
∴n的最小值为6．
故选C．
9．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
10．若 ，则 的值为： （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】A
【解析】【解答】由，得x-1=0，x+y=0，解得x=1，y=-1，所以 = + =1-1=0，故选A．
【分析】由二次根式的非负性，判断如果两个二次根式的和为零，则此两个二次根式都为0，从而得到x、y的值，进行正确的计算．
二、填空题
11．用一个x的值来说明“”是错误的，则x的值可以是 ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：当x=-2时，，
∴是错误的.
故答案为：-2.
【分析】开放性命题，答案不唯一，由于，故要举例说明是错误的，只需要让x的值为负数即可.
12．若最简二次根式与可以合并，则
【答案】6
【解析】【解答】
解：∵最简二次根式与可以合并
∴ a-1=5
∴ a=6
【分析】本题考查最简二次根式的合并，被开方数或被开放式相等，可得结果。
13．当a＜0时，化简： = ．
【答案】﹣
【解析】【解答】解：原式=﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【分析】根据二次根式的性质计算即可．
14．化简的结果是
【答案】
【解析】【解答】解：===．
故答案为：．
【分析】直接通分再化简二次根式求出即可．
15．已知实数a满足|2014-a|+ =a，那么a-20142+1的值是 ．
【答案】2016
【解析】【解答】∵a-2015≥0，
∴ ，
∴原式可变形为：a-2014+ a，
∴a-2015=20142，
∴a=20142+2015，
∴a-20142+1=20142+2015-20142+1=2016.
故答案为：2016.
【分析】直接利用二次根式有意义的条阿金以及结合绝对值的性质将已知化简，进而求出答案。
16．等式 中的括号应填入
【答案】－4xy
【解析】【解答】 = = =
【分析】将等式的左边，根据二次根式的性质变形 | x y | = ，即可得出答案。
三、综合题
17．当x分别取下列值时，求二次根式
的值．
（1）x=0；
（2）x=
；
（3）x= -2．
【答案】（1）解：把 x=0代入二次根式，得 = = 3
（2）解：把x= 代入二次根式，得 = =
（3）解：把x=-2代入二次根式，得 = =5
【解析】【分析】（1）把x=0代入二次根式，再开方即可得出答案；
（2）把x=
代入二次根式进行计算，即可得出答案；
（3）把x=-2代入二次根式，再开方即可得出答案.
18．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=2 +4 -
=
（2）解：原式=（5-4）-3+2
=1-3+2
=0
【解析】【分析】根据二次根式的性质，平方差来进行计算。
19．
（1）已知二次根式 ，求x的取值范围；
（2）当x=-2时，求二次根式 的值；
（3）若二次根式 的值为1，求x的值．
【答案】（1）解：∵有意义，
∴3-x≥0，
∴x≤6；
（2）解：当x=-2时， ==2；
（3）解：∵=1，
∴3-x=1，
∴x=4.
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出3-x≥0，解不等式得出x的取值范围；
（2）把x=-2代入进行计算，即可得出答案；
（3）根据题意得出=1，从而得出3-x=1，解方程即可得出x的值.
20．先化简，再求值：，其中.如图是小亮和小芳的解答过程.
（1） 的解法是错误的；
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（2）先化简，再求值：，其中.
【答案】（1）小亮；
（2）解：原式，
∵，
∴原式.
【解析】【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：，
故答案为：小亮，；
【分析】（1）根据二次根式的性质进行判断即可；
（2）原式可变形为a+2|a-4|，结合a<0可得a+2|a-4|=a+2(4-a)=-a+8，然后将a的值代入进行计算.
21．已知关于x、y的方程组 的解都小于1，若关于a的不等式组 恰好有三个整数解.
（1）分别求出m与n的取值范围；
（2）化简：
【答案】（1）解：解方程关于x、y的方程组 得： ，
∵方程组的解都小于1，
∴ ，解得：﹣3＜m＜1，
解不等式组 ，
解不等式①得：a≥﹣5，
解不等式②得：a≤ ，
∵不等式组恰好有三个整数解，
∴﹣3≤ ＜﹣2，
解得：﹣4≤n＜﹣ ；
（2）解：∵﹣3＜m＜1，﹣4≤n＜﹣ ，
=m+3-|1-m|+2n+8
=m+3+1-m+2n+8
=2n+12
【解析】【分析】 （1）先解关于 x、y的方程二元一次方程组，根据其解都小于1列不等式组求解得出m的范围，再解关于a的不等式组，得出a的范围，结合不等式组恰好有三个整数解，求出n的范围；
（2）根据m、n的范围，去绝对值和化简二次根式，然后合并同类项即可得出结果.
22．若实数a，b，c满足|a- |+ = + ．
（1）求a，b，c；
（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1）解：由题意可得：c-3≥0，3-c≥0，
解得：c=3，
∴|a- |+ =0，
则a= ，b=2
（2）解：当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和： + =2 ＜3，不能构成三角形，舍去；
当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，
则等腰三角形的周长为： +3+3= +6，
综上，这个等腰三角形的周长为： +6．
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质进而得出c的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值；（2）利用等腰三角形的性质分析得出答案．
23．甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
（ ）2＋1＝2，S1＝ ；（ ）2＋1＝3，S2＝ ；（ ）2＋1＝4，S3＝ ；….
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
（2）求出 的值.
【答案】（1）解：∵OA1=1= ，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，
∴OA22= =1+1=2，
∴OA2= ， ，
∵OA32= =（ ）2＋1＝3，
∴ ， ，
∵OA42= =（ ）2＋1＝4，
∴OA4=2， ，
，
∴ ， ，
∴OA102= =10，
∴OA10= ，
∴含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律为： ，OA10的长为 ；
（2）解：由（1）知： ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ = = .
【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别求出OA22、OA32，OA42及OA2、OA3、OA4得到OAn2及OAn对应的S值，再计算得到OA10；（2）由（1）知 ，分别求出S1、S2、S3、 、S10，将结果代入代数式计算即可.
24．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2 ，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b (其中a、b、m、n均为整数)，
则有：a+b ，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b ，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4 ＝ ．
（3）请化简： .
【答案】（1）m2+3n2；2mn
（2）(2+ )2
（3）解：∵12﹣6 ＝(3﹣ )2，
∴ ．
【解析】【解答】（1）解：(m+n )2＝m2+3n2+2 mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为m2+3n2，2mn；（2）解：7+4 ＝(2+ )2；
故答案为：(2+ )2；(3)解：∵12﹣6 ＝(3﹣ )2，
∴ ．
【分析】（1）根据完全平方公式展开，再得出即可；（2）根据完全平方公式得出即可；（3）根据（1）即可解答．
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