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1.3二次根式的运算 系统梳理查漏补缺卷
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若等式成立，则内的运算符号是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．估计的值应在（ ）
A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间
5．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若x为实数，在“（） x”的“ ”中添上一种运算符号（在“+、-、×、÷”中选择）后，其运算结果为有理数，则x不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为25和20的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
10．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若最简二次根式和可以合并，则a＝ ．
12． 若 ， 则 的值为
13．若点与关于原点对称，则 ．
14．已知，，则的值为 ．
15．已知x1= + ，x2= ﹣ ，则x12+x22= ．
16．已知实数、满足等式，则 ．
三、综合题
17．化简下列各式。
（1）
（2） ；
18．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）.
19．（1）计算：；
（2）计算：．
20．如图，矩形内三个相邻的正方形的边长分别为m、n和1.
（1）求图中阴影部分的面积（用含m和n的式子表示）；
（2）若，，求阴影部分的面积.
21．已知：，.
（1）直接写出： ， ；
（2）求的值.
22． 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分.即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
（1）的小数部分是 ，的小数部分是 .
（2）若是的整数部分，是的小数部分.求的平方根.
（3）若，其中是整数，且，求的值.
23．观察、发现：====-1
（1）试化简： ；
（2）直接写出：= ；
（3）求值：+++…+ ．
24．在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
（2）如果“”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
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1.3二次根式的运算 系统梳理查漏补缺卷
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故原计算错误，不符合题意；
B、2与不是同类二次根式，不能合并，故原计算错误，不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，不能合并，故原计算错误，不符合题意；
D、，故原计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的几个最简二次根式，合并的时候只需要将系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的不能合并，据此一 一判断得出答案.
2．若等式成立，则内的运算符号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
A：，不合题意；
B：，不合题意；
C：，符合题意；
D：，不合题意；
故答案为：C.
【分析】本题考查二次根式的加减乘除法则，熟练掌握法则是关键。
3．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵，∴A符合题意；
B、∵，∴B不符合题意；
C、∵，∴C不符合题意；
D、∵，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】先将各选项分别化简，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可.
4．估计的值应在（ ）
A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间
【答案】A
【解析】【解答】解：，
，
，即，
，
故答案为：A
【分析】根据二次根式的混合运算法则求解可得，再根据估算出，进而即可求解。
5．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：原式=
=
=（-1）2023（+2）
=--2
故答案为：D.
【分析】先根据同底数幂的乘法法则及积的乘方法则的逆用将待求式子变形为，然后利用平方差公式计算中括号内的，进而计算乘方，最后去括号即可.
6．下列各式的计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故A选项计算步骤错误，不符合题意；
B、，B选项计算错误，不符合题意；
C、，C选项计算错误，不符合题意；
D、 ，D选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的计算法则逐项进行计算即可得到答案.
7．若x为实数，在“（） x”的“ ”中添上一种运算符号（在“+、-、×、÷”中选择）后，其运算结果为有理数，则x不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A.当x=+1时，“ ”中添上“-”，
则（+1）-（+1）=0，其运算的结果为有理数，
∴A选项不符合题意；
B.当x=-1时，“ ”中添上“-”，
则（+1）-（-1）=2，其运算的结果为有理数，
∴B选项不符合题意；
C.当x=2时，“ ”中添上“+”，
则（+1）+2=3+1，其运算的结果为无理数，
当x=2时，“ ”中添上“-”，
则（+1）-2=-+1，其运算的结果为无理数，
当x=2时，“ ”中添上“×”，
则（+1）×2=6+2，其运算的结果为无理数，
当x=2时，“ ”中添上“÷”，
则（+1）÷2=，其运算的结果为无理数，
∴C选项符合题意；
D.当x=1-时，“ ”中添上“+”，
则（+1）+（1-）=2，其运算的结果为有理数，
∴D选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论。
8．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为25和20的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据如图可得CD的长即为大正方形的边长，为：，
小正方形的边长为：，
则空白部分的面积为；
故答案为：B.
【分析】根据题意，分别求出两个正方形的边长，结合图形即可求解.
9．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
10．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】原式= + - = + - = ，故选B．
【分析】正确进行根式的加减法，迅速运算解答，是解此类单选题的基本途径．
二、填空题
11．若最简二次根式和可以合并，则a＝ ．
【答案】4
【解析】【解答】解：由题意得：3a+1=4a-3，解得a=4。
【分析】两个最简二次根式可以合并，说明被开方数相等，即可列出等式3a+1=4a-3，继而求出a的值。
12． 若 ， 则 的值为
【答案】-5
【解析】【解答】解：根据条件，
故答案为：-5.
【分析】给定了a和b的具体值，首先需要将这两个值代入到给定的代数式中，然后利用二次根式的运算规则、平方差公式来化简和求解.
13．若点与关于原点对称，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵点P（a，2）与Q（-1，b）关于原点对称，
∴a=1，b=-2，
∴=.
故答案为：.
【分析】关于原点对称的点：横、纵坐标均互为相反数，据此可得a、b的值，然后代入结合二次根式的除法法则进行计算.
14．已知，，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出，，根据完全平方公式可得，整体代值计算即可。
15．已知x1= + ，x2= ﹣ ，则x12+x22= ．
【答案】10
【解析】【解答】解：∵x1= + ，x2= ﹣ ，
∴x12+x22
=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（ + + ﹣ ）2﹣2（ + ）×（ ﹣ ）
=12﹣2
=10．
故答案为：10．
【分析】把x12+x22变形为（x1+x2）2-2x1x2，把x1、x2的值代入，然后利用完全平方公式和平方差公式计算.
16．已知实数、满足等式，则 ．
【答案】5
【解析】【解答】由已知得m-3+n≥0且3-m-n≥0得m+n≥3且m+n≤3，故m+n=3，3m+5n=3m+3n+2n=9+2n，代入得，于是7+2n-p=0，3-2n-p=0，得p=5
答案：5.
【分析】 根据被开方数大于等于0列式求出的值，再根据非负数的性质列出方程组，然后求解即可．
三、综合题
17．化简下列各式。
（1）
（2） ；
【答案】（1）解:
（2）解:
【解析】【分析】按照二次根式化简基本方法解题。
18．已知，，求下列各式的值：
（1）
（2）.
【答案】（1）解：，，
∴ ；
（2）解：，，
∴ .
【解析】【分析】（1）利用完全平方式将待求式子进行因式分解，再代值计算，即可求出结果；
（2）利用平方差公式将待求式子进行因式分解，再代值计算，即可求出结果.
19．（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【解析】【分析】（1）运用二次根式、零指数幂、负整数指数幂进行运算，进而即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算结合题意即可求解。
20．如图，矩形内三个相邻的正方形的边长分别为m、n和1.
（1）求图中阴影部分的面积（用含m和n的式子表示）；
（2）若，，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：由题意知， ， ，
∴ ，
∴图中阴影部分的面积为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，即 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
将 ， ， 代入 中得， ，
∴阴影部分的面积为 .
【解析】【分析】（1）由图易得AB=m+n+1，BC=m，进而结合正方形、矩形的面积计算方法，利用割补法，由阴影部分的面积=长为m、宽为（n+1）的矩形的面积减去两个边长分别为n与1的正方形的面积，列式计算即可；
（2）由 可得 ，则 ，进而代入可得 ，最后将n2、n、m分别代入（1）化简的结果计算求解即可.
21．已知：，.
（1）直接写出： ， ；
（2）求的值.
【答案】（1）1；4
（2）解：
由（1）得：
原式
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴
故答案为：1，4；
【分析】（1）根据平方差公式可得ab的值，由二次根式的减法法则可得a+b的值；
（2）对待求式通分可得 ，然后代入进行计算.
22． 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分.即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
（1）的小数部分是 ，的小数部分是 .
（2）若是的整数部分，是的小数部分.求的平方根.
（3）若，其中是整数，且，求的值.
【答案】（1）；
（2）解：，即，
的整数部分，
又，
的整数部分为，的小数部分，
，
的平方根为
（3）解：，
，
又，其中是整数，且，
，，
，
答：的值为11.
【解析】【解答】解：（1），
的整数部分是，小数部分为，
，
，
，
的整数部分是1，小数部分为，
故答案为：，；
【分析】（1）根据估算无理数大小的方法可得3<<4，3<<4，然后求出5-的范围，据此解答；
（2）根据估算无理数大小的方法可得9<<10，1<<2，据此可得a、b的值，然后求出a+b-+1的值，再利用平方根的概念进行解答；
（3）根据估算无理数大小的方法可得2<<3，求出7+的范围，得到x、y的值，据此计算.
23．观察、发现：====-1
（1）试化简： ；
（2）直接写出：= ；
（3）求值：+++…+ ．
【答案】（1）解：原式=
=
=；
（2）
（3）解：由（2）可知：
原式=-1++-+…+-
=-1+
=9．
【解析】【解答】解：（2） ；
故答案为：；
【分析】（1）把分子分母同乘，然后计算即可；
（2）把分子分母同乘，然后计算即可；
（3）根据（2）结论将原式化为-1++-+…+- ，再计算加减即可.
24．在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
（2）如果“”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
【答案】（1）解：设“ ”表示的数为 ，则 ，
∴ ，
∴“ ”表示的数为 ；
（2）解：依题意，原式为 ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
∵ ，
∴
∴当“ ”表示“ ”时，算式的结果最大．
【解析】【分析】
（1）本题考查二次根式的混合运算；
（2）本题考查二次根式的混合运算以及分类讨论思想。
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