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二次根式 单元同步真题检测卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若等式成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．0≤x≤6 C．x≥6 D．x为一切实数
5．墨迹覆盖了等式中的运算符号，则覆盖的运算符号是（ ）
A．＋ B． C．× D．÷
6．若，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2004 C． D．
7．若a，b满足，则在平面直角坐标系中，点P（a，b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简 的结果是（ ）
A．a-b B．a+b C．b-a D．-a-b
9．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．函数 中，自变量 的取值范围是 ．
12．使有意义的x的取值范围是 ．
13．计算： ．
14．已知 ，则x3y+xy3= ．
15．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足 则该直角三角形的斜边长为 ．
16．等式 中的括号应填入
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．当x分别取下列值时，求二次根式
的值．
（1）x=0；
（2）x=
；
（3）x= -2．
18． 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分.即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
（1）的小数部分是 ，的小数部分是 .
（2）若是的整数部分，是的小数部分.求的平方根.
（3）若，其中是整数，且，求的值.
19．阅读下面问题：
；
；
.
试求：
（1） 的值；
（2） 的值；
（3） 为正整数 的值.
20．挖掘问题中所隐含的条件，解答下列问题：
（1）如果 =2-x，那么（ ）
A．x<2 B．x≤2 C．x>2 D．x≥2
（2）已知
=2x，求x的值．
（3）已知a，b是实数，且b>
-2
+1，请化简：
．
21．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简 ； ．
（2）填空：的倒数为 ．
（3）化简：．
22．由 得， ；如果两个正数a，b，即 ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时取到等号.
例如：已知 ，求式子 的最小值.
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当 ，式子 的最小值为 ；当 ，则当 时，式子 取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别是8和14，求四边形 面积的最小值.
23．如图，在平面直角坐标系中，点A( ，0)，AB⊥ 轴，且AB=10，点C（0，b）， ，b满足 .点P（t，0）是线段AO上一点（不包含A，O）
（1）当t=5时，求PB：PC的值；
（2）当PC+PB最小时，求t的值；
（3）请根据以上的启发，解决如下问题：正数m，n满足m+n=10，且正数 = ，则正数 的最小值= .
24．甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
（ ）2＋1＝2，S1＝ ；（ ）2＋1＝3，S2＝ ；（ ）2＋1＝4，S3＝ ；….
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
（2）求出 的值.
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二次根式 单元同步真题检测卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得，x≥1，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件被开放式非负可得关于x的不等式，解这个不等式即可求解.
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、则本项计算错误，不符合题意；
B、则本项计算正确，符合题意；
C、则本项计算错误，不符合题意；
D、则本项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质即可计算A项；根据二次根式的除法运算法则即可计算B项；根据二次根数的减法计算法则即可计算C项；根据二次根式的乘法计算法则即可计算D项.
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的性质：、以及二次根式的运算法则逐项计算即可求解.
4．若等式成立，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．0≤x≤6 C．x≥6 D．x为一切实数
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可.
5．墨迹覆盖了等式中的运算符号，则覆盖的运算符号是（ ）
A．＋ B． C．× D．÷
【答案】A
【解析】【解答】解：，
A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的加减法和二次根式的乘除法逐项判断即可。
6．若，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2004 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
故答案为：B
【分析】由可得，将原式配方可得，然后代入计算即可.
7．若a，b满足，则在平面直角坐标系中，点P（a，b）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】解： a，b满足，
，
，
则点在第四象限，
故答案为：D.
【分析】根据被开方数为非负数可求出a值，继而求出b值，根据坐标符号即可得解.
8．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简 的结果是（ ）
A．a-b B．a+b C．b-a D．-a-b
【答案】A
【解析】【解答】解：由a、b在数轴上的位置得b＜0＜a，∴b-a＜0，
原式=a-b.
故答案为：A
【分析】根据a、b在数轴上的位置得b＜0＜a，从而可得b-a＜0，根据二次根式的性质解答即可.
9．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】原式= + - = + - = ，故选B．
【分析】正确进行根式的加减法，迅速运算解答，是解此类单选题的基本途径．
10．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故选D．
【分析】能够根据题意判断计算二次根式的正确性是深刻理解二次根式加减法法则的重要体现．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【答案】 且
【解析】【解答】∵ ，
∴ 的取值应满足： ，解得： 且 .
故答案为： 且 .
【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得；x+3≥0，x≠0 ，解得x ≥ 3 且 x ≠ 0 .
12．使有意义的x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由条件得：3x-1≥0，
解得：x≥，
故答案为：x≥．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
13．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴b>0，a≠0.
∴
故答案为：.
【分析】根据二次根式的运算法则运算即可.在运算前先判断a和b的正负.
14．已知 ，则x3y+xy3= ．
【答案】10
【解析】【解答】解：∵ ，
∴x+y=2 ，xy=1，
∴x3y+xy3=xy（x2+y2）
=xy[（x+y）2﹣2xy]
=（2 ）2﹣2
=10．
【分析】由已知得x+y=2 ，xy=1，把x3y+xy3分解因式再代入计算．
15．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足 则该直角三角形的斜边长为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，
解得a=3，b=4，
∵直角三角形的两直角边长为a、b，
∴该直角三角形的斜边长= = =5．
故答案为：5．
【分析】根据多个非负数之和为0，那么这些非负数均为0。结合完全平方公式将题目的已知条件转化成a2﹣6a+9=0、b﹣4=0，然后解答出a、b的值，再利用勾股定理即可求解。
16．等式 中的括号应填入
【答案】－4xy
【解析】【解答】 = = =
【分析】将等式的左边，根据二次根式的性质变形 | x y | = ，即可得出答案。
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．当x分别取下列值时，求二次根式
的值．
（1）x=0；
（2）x=
；
（3）x= -2．
【答案】（1）解：把 x=0代入二次根式，得 = = 3
（2）解：把x= 代入二次根式，得 = =
（3）解：把x=-2代入二次根式，得 = =5
【解析】【分析】（1）把x=0代入二次根式，再开方即可得出答案；
（2）把x=
代入二次根式进行计算，即可得出答案；
（3）把x=-2代入二次根式，再开方即可得出答案.
18． 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分.即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
（1）的小数部分是 ，的小数部分是 .
（2）若是的整数部分，是的小数部分.求的平方根.
（3）若，其中是整数，且，求的值.
【答案】（1）；
（2）解：，即，
的整数部分，
又，
的整数部分为，的小数部分，
，
的平方根为
（3）解：，
，
又，其中是整数，且，
，，
，
答：的值为11.
【解析】【解答】解：（1），
的整数部分是，小数部分为，
，
，
，
的整数部分是1，小数部分为，
故答案为：，；
【分析】（1）根据估算无理数大小的方法可得3<<4，3<<4，然后求出5-的范围，据此解答；
（2）根据估算无理数大小的方法可得9<<10，1<<2，据此可得a、b的值，然后求出a+b-+1的值，再利用平方根的概念进行解答；
（3）根据估算无理数大小的方法可得2<<3，求出7+的范围，得到x、y的值，据此计算.
19．阅读下面问题：
；
；
.
试求：
（1） 的值；
（2） 的值；
（3） 为正整数 的值.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
【解析】【分析】（1）给分子、分母同时乘以，然后利用平方差公式对分母进行化简即可；
（2）给分子、分母同时乘以，然后利用平方差公式对分母进行化简即可；
（3）给分子、分母同时乘以，然后利用平方差公式对分母进行化简即可.
20．挖掘问题中所隐含的条件，解答下列问题：
（1）如果 =2-x，那么（ ）
A．x<2 B．x≤2 C．x>2 D．x≥2
（2）已知
=2x，求x的值．
（3）已知a，b是实数，且b>
-2
+1，请化简：
．
【答案】（1）B
（2）解：∵2- x≥0，
∴x≤2
∴x-3<0．
∴3-x-2+x=2x，
∴x=
（3）解：∵a-2≥0且2-a≥0，
∴a≥2且a≤2，
∴a=2．
将a=2代入不等式，得b>1，
∴1- b<0，
∴原式= =b-1-2=b-3．
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴x-2≤0，
∴x≤2，
故答案为：B；
【分析】（1）根据二次根式的性质和绝对值的性质得出x-2≤0，即可得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件得出x≤2，再根据二次根式的性质化简得出方程，解方程求出x的值，即可得出答案；
（3）根据二次根式有意义的条件得出a=2，从而得出b＞1，再把原式变形为
，然后再化简，即可得出答案.
21．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简 ； ．
（2）填空：的倒数为 ．
（3）化简：．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：原式
．
【解析】【解答】解：（1）；；
（2）．
【分析】（1）利用分母有理化化简即可；
（2）利用分母有理化化简即可；
（3）先利用分母有理化化简，再计算即可。
22．由 得， ；如果两个正数a，b，即 ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时取到等号.
例如：已知 ，求式子 的最小值.
解：令 ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时，式子有最小值，最小值为4.
请根据上面材料回答下列问题：
（1）当 ，式子 的最小值为 ；当 ，则当 时，式子 取到最大值；
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形 的对角线 、 相交于点O， 、 的面积分别是8和14，求四边形 面积的最小值.
【答案】（1）2；-3
（2）解：设篱笆的长为 ，则宽为 ，∴篱笆的周长为 ，
∵ ，
∴ ，
当且仅当， 时，等号成立，解得 或 （舍去），
∴ =4，
∴长方形的长为8米、宽为4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；
（3）解：设点B到AC的距离BE= ，点D到OC的距离DF= ，
∵ 、 的面积分别是8和14，
∴OA= ，OC= ，
∴AC=OA+OC= + ，
∴
( + )
= + + ，
∵ ，
∴ + ，
∴ + + ，
∴四边形 面积的最小值 .
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴ ，
∴式子 的最小值为为2，
故答案为：2；
∵ ，
∴ ＞
∴ ，
当且仅当， 时，等号成立，
解得 不符合题意，舍去，取 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，式子 取到最大值，
故答案为：-3；
【分析】(1 )直接套公式计算， 取相反数后， 套用公式计算即可；
(2 )设篱笆的长为x ， 为 ，篱笆的周长为 ，最后套用公式计算即可；
(3)设点B到AC的距离BE=h1 ， 点D到OC的距离DF=h2 ， 用AC ， h1 ，h2 ，表示四边形的面积，最后套用公式计算即可.
23．如图，在平面直角坐标系中，点A( ，0)，AB⊥ 轴，且AB=10，点C（0，b）， ，b满足 .点P（t，0）是线段AO上一点（不包含A，O）
（1）当t=5时，求PB：PC的值；
（2）当PC+PB最小时，求t的值；
（3）请根据以上的启发，解决如下问题：正数m，n满足m+n=10，且正数 = ，则正数 的最小值= .
【答案】（1）
，解得
将 代入得，
当 时，则
轴
故 的值为 ；
（2）如图1，作点B关于x轴的对称点 ，过点 作 轴于点D，连接 ， 交x轴于点
由轴对称的性质得：
由两点之间线段最短得：当点P与点 重合时， 最小，最小值为
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
故当 最小时，t的值为15；
（3）
【解析】【解答】（3）由（1）知，
因此，对于 可参照（2）的方法，画出如图2，其中，点B与点 关于x轴对称， 轴，
则
由（2）可知， 的最小值为
即 的最小值为
故答案为： .
【分析】（1）先根据二次根式的被开方数的非负性求出a、b的值，从而可得OA、OC的长，再利用勾股定理分别求出PB、PC的长，从而可得出答案；（2）如图（见解析），作点B关于x轴的对称点 ，从而可得 的长，再根据两点之间线段最短确认 最小时点P的位置，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可得；（3）先根据题（1）得出 的式子，可发现与所求的 的形式完全一样，因此，参照题（2）的方法，画出图形，利用几何方法求解即可（与题（2）的思路完全相同）.
24．甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
（ ）2＋1＝2，S1＝ ；（ ）2＋1＝3，S2＝ ；（ ）2＋1＝4，S3＝ ；….
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；
（2）求出 的值.
【答案】（1）解：∵OA1=1= ，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，
∴OA22= =1+1=2，
∴OA2= ， ，
∵OA32= =（ ）2＋1＝3，
∴ ， ，
∵OA42= =（ ）2＋1＝4，
∴OA4=2， ，
，
∴ ， ，
∴OA102= =10，
∴OA10= ，
∴含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律为： ，OA10的长为 ；
（2）解：由（1）知： ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ = = .
【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别求出OA22、OA32，OA42及OA2、OA3、OA4得到OAn2及OAn对应的S值，再计算得到OA10；（2）由（1）知 ，分别求出S1、S2、S3、 、S10，将结果代入代数式计算即可.
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