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1.1锐角三角函数 随堂专项练习卷
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．如图，在平面直角坐标系中，过点O的⊙O 1与两坐标轴分别交于A、B两点，A（5，0），B（0，3），点C在弧OA上，则tan∠BCO=（ ）
A． B． C． D．
3．计算2sin60°的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．下列命题正确的是（ ）
A．若锐角a满足sina= ，则a=60°
B．在平面直角坐标系中，点（2，1）关于x轴的对称点为（2，-1）
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．相似三角形周长之比与面积之比一定相等
5．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）
A． B． C． D．
6．等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（）
A． B． C． D．
7．如图，菱形ABCD中，sin∠BAD= ，对角线AC，BD相交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O交AD于点E，已知DE=1cm.菱形ABCD的周长为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
8．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为 （ ）
A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D． 米
9．如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ ，则MN可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（﹣m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法：
①m=3；②当∠APB=120°时，a= ；③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥
正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．计算： ．
12．若，则锐角 .
13．在平行四边形ABCD中，AB＝4，点A到边BC，CD的距离分别为AM、AN，且AM=2 ，则∠MAN的度数为 .
14．若 为锐角，且 ，则 °.
15．如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是 .
16．如图，在半径为6的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，，则BC的长为 .
三、综合题
17．（1）计算： ；
（2）已知 ，试求代数式 的值.
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，，点E为x轴负半轴上一点，且.
（1）求k和b的值；
（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式的解集.
19．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F.
（1）求证：DE＝DF
（2）若AE＝4，FC＝3，求cos∠BEF 的值.
20．如图
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若，则的值为 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，，，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若，则的值为 ；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；
（4）如图4，在中，，，将沿BD翻折，点A落在点C处，得到，点F为线段AD上一动点，连接CF，作交AB于点E， 垂足为点G，连接AG.设，求AG的最小值.
21．四边形
ABCD 中，E 为边 BC 上一点，F 为边 CD 上一点，且∠AEF=90°.
（1）如图 1，若 ABCD 为正方形，E 为 BC 中点，求证： .
（2）若ABCD 为平行四边形，∠AFE=∠ADC，
①如图 2，若∠AFE=60°，求 的值；
22．如图，已知矩形ABCD，AB=6，AD=10，请用直尺和圆规按下列步骤作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（1）在BC边上作出点E，使得cos∠BAE= .
（2）在（1）作出的图形中
①在CD上作出一点F，使得点D、E关于AF对称；
②求四边形AEFD的面积.
23．如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上（点的对应点为），分别交边于点．的外接圆交线段于点．
（1）求证：是中点．
（2）若，求的长．
（3）连结，交线段于点，若，求的值．
24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.
（1）如图1，过点C作CD⊥BD交AB于M，若BM＝2，tan∠DCB＝.求DM的长；
（2）如图2，若AD⊥AE，且AD＝AE，延长AD、CB交于点F，作EG⊥EA交CB于点G.猜想FD、CE、EG之间有何数量关系？并证明你的结论.
（3）如图3，若AB＝4，D为一动点且始终有BD⊥CD，取CD的中点M，连接BM，将MB绕点B逆时针旋转90°得到点E，直接写出△ABE面积的最大值.
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1.1锐角三角函数 随堂专项练习卷
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题干可得如下图，则 ，
故答案为：B.
【分析】利用即可求出结论.
2．如图，在平面直角坐标系中，过点O的⊙O 1与两坐标轴分别交于A、B两点，A（5，0），B（0，3），点C在弧OA上，则tan∠BCO=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接AB，则∠BCO=∠BAO．
∵A（5，0），B（0，3），
∴OB=3，OA=5，
∴tan∠BCO=tan∠BAO=
，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角的性质可得∠BCO=∠BAO，再利用正切的定义可得tan∠BCO=tan∠BAO=
。
3．计算2sin60°的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：2sin60°=.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得sin60°=，据此计算.
4．下列命题正确的是（ ）
A．若锐角a满足sina= ，则a=60°
B．在平面直角坐标系中，点（2，1）关于x轴的对称点为（2，-1）
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．相似三角形周长之比与面积之比一定相等
【答案】B
【解析】【解答】解：A、锐角a满足sina= ，则a=30°，故A不符合题意；
B、在平面直角坐标系中，点（2，1）关于x轴的对称点为（2，-1），故B符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故C不符合题意；
D、相似三角形周长之比等于面积的算术平方根，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用特殊角的三角函数值，可对A作出判断；利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可对B作出判断；利用平行线的性质，可对C作出判断；利用相似三角形的面积比等于周长比的平方，可对D作出判断。
5．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO==2，
AC==，
OC==，
所以，AO2=AC2+OC2=20，
所以，△AOC是直角三角形，
cos∠AOB===．
故选B．
【分析】找出OB边上的格点C，连接AC，利用勾股定理求出AO、AC、CO的长度，再利用勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形，然后根据余弦=计算即可得解．
6．等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC于D点．
则
∵AC=6，
∴，
∴∠C=30°．
故选A．
【分析】三角函数的定义和特殊角的三角函数值求解．此题的关键是作底边上的高，构造直角三角形，运用三角函数的定义问题就迎刃而解．这是解决等腰三角形问题时常作的辅助线．
7．如图，菱形ABCD中，sin∠BAD= ，对角线AC，BD相交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O交AD于点E，已知DE=1cm.菱形ABCD的周长为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
【答案】D
【解析】【解答】解：连接BE
∵BD是直径，
∴∠BED=∠AEB=90°，
在Rt△ABE中， sin∠BAD =
∴设BE=4x，则AB=5x，AE=3x
∵DE=1
∴AD=1+3x
∵菱形ABCD，
∴AB=AD=1+3x=5x
解之：x=
∴AB=
∴菱形ABCD的周长为：4AB=4×=10
故答案为：D
【分析】连接BE，利用直径所对的圆周角是直角，可证得△ABE是直角三角形，再利用锐角三角函数的定义及勾股定理，就可求出菱形的边长，然后利用菱形的周长等于边长的4倍，就可求出结果。
8．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为 （ ）
A．7sinα米 B．7cosα米 C．7tanα米 D． 米
【答案】C
【解析】【解答】在Rt△ABC中，tanα=，BC=AC·tanα=7tanα。
故答案为：C。
【分析】在直角三角形中，tanα=，变形即得。
9．如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ ，则MN可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，
∵
∵∠CMD=∠DNO=90°，
∴∠D=∠D，
∴△CMD∽△OND，
∴，即，
∵∠D=∠D，
∴△DMN∽△DCO，
∴，
∵sin∠AON=，
∴sin∠AON=，
即sin=，
∴MN= ，
故答案为：A.
【分析】连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，先根据圆周角定理推得角相等，再证明△CMD∽△OND，由相似三角形的性质得比例式，然后转换比例，再证△DMN∽△DCO，从而可把sin转换成用来表示，则MN长可求.
10．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（﹣m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法：
①m=3；②当∠APB=120°时，a= ；③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥
正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵点A（﹣m，0）、B（1，0）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴ ，
由①﹣②得
am2﹣bm﹣a﹣b=0，
即（m+1）（am﹣a﹣b）=0．
∵A（﹣m，0）与B（1，0）不重合，
∴﹣m≠1即m+1≠0，
∴m= ，
∴点C的坐标为（0，3a﹣3b），
∵点C在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴c=3a﹣3b，
代入②得a+b+3a﹣3b=0，即b=2a，
∴m= =3，故①正确；
②∵m=3，∵A（﹣3，0），
∴抛物线的解析式可设为y=a（x+3）（x﹣1），
则y=a（x2+2x﹣3）=a（x+1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（﹣1，﹣4a）．
根据对称性可得PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=30°．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，
则有PG⊥x轴，
∴PG=AG tan∠PAG=2× = ，
∴4a= ，
∴a= ，故②正确；
③在第一象限内作∠MBA=120°，且满足BM=BA，过点M作MH⊥x轴于H，如图1，
在Rt△MHB中，∠MBH=60°，
则有MH=4sin60°=4× =2 ，BH=4cos60°=4× =2，
∴点M的坐标为（3，2 ），
当x=3时，y= （3+3）（3﹣1）=2 ，
∴点M在抛物线上，故③正确；
④∵点N在抛物线上，∴∠ABN≠90°，∠BAN≠90°．
当△ABN为直角三角形时，∠ANB=90°，
此时点N在以AB为直径的⊙G上，
因而点N在⊙G与抛物线的交点处，
要使点N存在，点P必须在⊙G上或⊙G外，如图2，
则有PG≥2，即4a≥2，也即a≥ ，故④正确．
故选D．
【分析】①把A、B两点的坐标分别代入抛物线的解析式得到①式和②式，将两式相减即可得到m= ，即可得到C（0，3a﹣3b），从而得到c=3a﹣3b，代入②式，就可解决问题；②设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，则有PG⊥x轴，只需求出点P的坐标就可解决问题；③在第一象限内作∠MBA=120°，且满足BM=BA，过点M作MH⊥x轴于H，如图1，只需求出点M的坐标，然后验证点M是否在抛物线上，就可解决问题；④易知点N在抛物线上且△ABN为直角三角形时，只能∠ANB=90°，此时点N在以AB为直径的⊙G上，因而点N在⊙G与抛物线的交点处，要使点N存在，点P必须在⊙G上或⊙G外，如图2，只需根据点与圆的位置关系就可解决问题．
二、填空题
11．计算： ．
【答案】5
【解析】【解答】解：原式==5.
故答案为：5.
【分析】此题考查对特殊三角函数值的记忆，tan60°=.
12．若，则锐角 .
【答案】60°
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为.
【分析】根据cos60°=即可求解.
13．在平行四边形ABCD中，AB＝4，点A到边BC，CD的距离分别为AM、AN，且AM=2 ，则∠MAN的度数为 .
【答案】60°或120°
【解析】【解答】解：如图1：
∵AM⊥BC，AB=4，AM=2
∴
∴∠MAB=30°
又∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD
∵AN⊥DC
∴AN⊥AB，即∠NAB=90°
∴∠MAN=∠NAB+∠MAB=120°
如图2：
同理可得∠MAN=60°
故答案为60°或120°.
【分析】运用平行四边形、锐角三角函数以及垂直的性质，分两种情形画图讨论解答即可.
14．若 为锐角，且 ，则 °.
【答案】26
【解析】【解答】
，
，
，
为锐角，
，
故答案为：26.
【分析】根据
即可求解.
15．如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是 .
【答案】
【解析】【解答】解：正方形ABCD中，BC=CD=4，
，连接BD，交EF于点O，如图所示：
则
，
在
中，由勾股定理，得：
，
∵EF平分正方形ABCD的面积，
∴EF一定经过正方形得中心，即点O是正方形的中心，
∴ ，
∵EF⊥BP交BP于G，
∴ ，
∴以OB为直径作
，如上图，则点G在
上，
，
∴连接CM，如上图，则点G在CM与
的交点处时，CG的值最小，
此时，
，
过点M 作MN⊥BC于点N，如上图，则
，
在
中，
，
，
∴ ，
在
中，由勾股定理，得：
，
∴ ，
即
的最小值是
.
故答案为：
.
【分析】连接BD，交EF于点O，则∠ABD=∠CBD=45°，由勾股定理求出BD，由题意可得EF一定经过正方形的中心，据此可得OB=OD，以OB为直径作
，则点G在
上， 可得BM=GM=
，连接CM，则点G在CM与
的交点处时，CG的值最小，此时MG=BM=
，过点M 作MN⊥BC于点N，利用三角函数的概念可得BN、MN，进而求出CN，由勾股定理求出CM，然后根据CG=CM-MG进行计算.
16．如图，在半径为6的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，，则BC的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，设与的交点为E，
，
，
，
点A 是劣弧的中点，
，，
，
和均为等边三角形，
，
四边形为菱形，
，
，
在中，
，
.
故答案为：.
【分析】设BC与AO的交点为E，根据tan∠D的值可得∠D=30°，则∠COA=60°，根据圆周角定理可得∠COA=∠BOA=60°，推出△AOC、△BOA均为等边三角形，得到AC=CO=AB=OB，则四边形ACOB为菱形，根据三角函数的概念可得CE，然后由垂径定理可得BC.
三、综合题
17．（1）计算： ；
（2）已知 ，试求代数式 的值.
【答案】（1）解：原式
（2）解：∵
∴
∴ 或
解得 或
将 代入代数式得
将 代入代数式得
∴代数式的值为2或 .
【解析】【分析】（1）先进行乘方的运算，去绝对值和代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式，进行有理数的加减运算，即可求出结果；
（2）根据条件，利用分解因式求出 或 ，然后分别代入原式，进行化简，即可求出结果.
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，，点E为x轴负半轴上一点，且.
（1）求k和b的值；
（2）若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式的解集.
【答案】（1）解：如图，作，垂足为M，连接
∵
∴
解得
由勾股定理得
∴
将代入中得
解得
将代入中得
解得
∴，.
（2）解：由（1）可知反比例函数与一次函数解析式分别为：，
令
去分母得：
解得：或
经检验或均为分式方程的解
将代入中解得
∴
∴
∴△ABF的面积为12.
（3）或
【解析】【解答】解：（3）由题意知
该不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围
∴解集为或.
【分析】（1）作AM⊥OE，垂足为M，连接OA，根据三角函数的概念可得OM，利用勾股定理可求出AM，得到A（-2，3），然后代入y=中可得k的值，将A（-2，3）代入直线解析式中可得b的值；
（2）根据k、b的值可得反比例函数与一次函数的解析式，联立求出x、y的值，据此可得点A、B的坐标，然后根据S△ABF=S△ACF+S△BCF进行计算；
（3）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可.
19．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F.
（1）求证：DE＝DF
（2）若AE＝4，FC＝3，求cos∠BEF 的值.
【答案】（1）证明：连接BD，
∠ABC=90°，D为AC边上的中点，
∴AD=BD=CD，∠C=∠A=∠EBD=∠FBD=45°，BD⊥AC，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠BDC=90°，
∴∠EDB=∠CDF=90°-∠BDF，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
DE=DF
（2）解： △EDB≌△FDC，
CF=BE=3，
同理AE=BF=4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF=5，
cos∠BEF＝.
【解析】【分析】（1）连接BD，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=BD=CD，根据等腰直角三角形的性质可得∠C=∠A=∠EBD=∠FBD=45°，BD⊥AC，根据垂直的概念可得∠EDF=∠BDC=90°，然后证明△EDB≌△FDC，据此可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得CF=BE=3，同理可得AE=BF=4，利用勾股定理求出EF，然后根据三角函数的概念进行计算.
20．如图
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若，则的值为 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，，，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若，则的值为 ；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；
（4）如图4，在中，，，将沿BD翻折，点A落在点C处，得到，点F为线段AD上一动点，连接CF，作交AB于点E， 垂足为点G，连接AG.设，求AG的最小值.
【答案】（1）1
（2）
（3）证明：如图，过点F作FH⊥BC，垂足为H
∵∠H=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABHF为矩形，
∴FH=AB.
∵CG⊥EG，
∴∠G=90°=∠A=∠H，
∵∠ADE=∠GDF，
∴△ADE∽△GDF，
∵∠GDF=∠HFC，
∴△GDF∽△HCF，
∴△ADE∽△HFC，
∴，即
∴.
（4）解：如图4，过C作于H，
∵，
∴CGHD四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
取CD中点M，连接AM，GM，过M作于R，
，，
，，
∵，，
∴，，
当A、G、M三点共线时，AG取最小值.
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠A=∠FDC=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠DFC=90°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠ADE=∠DCF，
在△ADE和△DCF中，
∠ADE=∠DCF， AD=DC，∠A=∠FDC
∴△ADE≌△DCF（ASA）.
∴DE=CF，
∴=1
故答案为1；
（2）∵四边形ABCD为矩形
∴∠A=∠EDC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠ADB+∠CED=90°，∠CED+∠DCE=90°，
∴∠ADB=∠DCE
∴△ADB∽△DCE，
∴， 即
故答案为：
；
【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=DC，∠A=∠FDC=90°，根据同角的余角相等可得∠ADE=∠DCF，证明△ADE≌△DCF，得到DE=CF，据此解答；
（2）根据矩形的性质可得∠A=∠EDC=90°，根据同角的余角相等可得∠ADB=∠DCE，证明△ADB∽△DCE，然后根据相似三角形的性质计算即可；
（3）过点F作FH⊥BC，垂足为H，易得四边形ABHF为矩形，则FH=AB，证明△ADE∽△GDF，得到∠GDF=∠HFC，进而证明△GDF∽△HCF，△ADE∽△HFC，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（4）过C作CH⊥AD于H，则CGHD四点共圆，∠FCH=∠ADE，证明△FCH∽△EDA，取CD中点M，连接AM，GM，过M作MR⊥AD于R，根据相似三角形的性质以及三角函数的概念可得MR、DR，进而求出AR、AM、GM，当A、G、M三点共线时，AG取最小值，为AM-GM，据此计算.
21．四边形
ABCD 中，E 为边 BC 上一点，F 为边 CD 上一点，且∠AEF=90°.
（1）如图 1，若 ABCD 为正方形，E 为 BC 中点，求证： .
（2）若ABCD 为平行四边形，∠AFE=∠ADC，
①如图 2，若∠AFE=60°，求 的值；
【答案】（1）证明：如图1中，设正方形的边长为2a.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∠FEC＋∠EFC＝90°，
∴∠AEB＝∠EFC，
∴△ABE∽△ECF，
∴
∵BE＝EC＝a，AB＝CD＝2a，
∴CF＝ a，DF＝CD CF＝ a，
∴ ；
（2）解：如图2中，在AD上取一点H，使得FH＝DF，
∵∠AEF＝90°，∠AFE＝∠D＝60°，
∴AF＝2EF，
∵FH＝DF，
∴△DHF是等边三角形，
∴∠FHD＝60°，
∴∠AHF＝120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C＝180° ∠D＝120°，
∴∠AHF＝∠C，
∵∠AFC＝∠D＋∠FAH＝∠EFC＋∠AFE，∠AFE＝∠D，
∴∠HAF＝∠EFC，
∴△AHF∽△FCE，
∴EC：HF＝EF：AF＝1：2，
∴
②如图 3，若 AB=BC，EC=2CF.直接写出 cos∠AFE 值为 .
【解析】【解答】解：（2）②如图3，作FT＝FD交AD于点T，作FH⊥AD于H，
则∠FTD＝∠FDT，
∴180° ∠FTD＝180° ∠D，
∴∠ATF＝∠C，
又∵∠TAF＋∠D＝∠AFE＋∠CFE，且∠D＝∠AFE，
∴∠TAF＝∠CFE，
∴△FCE∽△ATF，
∴ ＝ ，
设CF＝2，则CE＝4，可设AT＝x，则TF＝2x，AD＝CD＝2x＋2，
∴DH＝ DT＝ ，且 ，
由cos∠AFE＝cos∠D，得 ，
解得x＝6，（x=0舍去）
∴cos∠AFE＝ ＝ .
【分析】（1）如图1中，设正方形的边长为2a.只要证明△ABE∽△ECF，可得 ，求出CF、DF即可解决问题；（2）如图2中，在AD上取一点H，使得FH＝DF.只要证明△AEF是等边三角形，推出AF＝2EF，再证明△AHF∽△FCE，可得EC：HF＝EF：AF＝1：2；（3）如图3，作FT＝FD交AD于点T，作FH⊥AD于H，证△FCE∽△ATF，设CF＝2，则CE＝4，可设AT＝x，则TF＝2x，AD＝CD＝2x＋2，DH＝ DT＝ ，分别用含x的代数式表示出∠AFE和∠D的余弦值，列出方程，求出x的值，即可求出结论.
22．如图，已知矩形ABCD，AB=6，AD=10，请用直尺和圆规按下列步骤作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（1）在BC边上作出点E，使得cos∠BAE= .
（2）在（1）作出的图形中
①在CD上作出一点F，使得点D、E关于AF对称；
②求四边形AEFD的面积.
【答案】（1）解：以A为圆心，AD为半径作弧，与AB交于点E，点E即为所求；
（2）解：①作∠DAE的平分线交CD 于F，点F即为所求；
②在Rt△ABE中，AB=6，AE=10，
∴BE= =8，
∴EC=2，
设DF=EF=x，则CF=6-x，
在R△EFC中，∵EF2=EC2+CF2，
∴x2=22+（6-x）2，
解得x= ，
∴S四边形AEFD=2× ×AD×DF= ，
故四边形AEFD的面积为 .
【解析】【分析】（1）以A为圆心，AD为半径作弧，与AB交于点E，点E即为所求；（2）①作∠DAE的平分线交CD 于F，点F即为所求；②在Rt△ABE中，AB=6，AE=10，推出BE= =8，EC=2，设DF=EF=x，则CF=6-x，在R△EFC中，根据EF2=EC2+CF2，构建方程求出x即可解决问题；
23．如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上（点的对应点为），分别交边于点．的外接圆交线段于点．
（1）求证：是中点．
（2）若，求的长．
（3）连结，交线段于点，若，求的值．
【答案】（1）证明：连接，
由旋转可得，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，点在圆上，
∴为圆的直径，
∴，
即，
∴，
即是中点
（2）解：设，，则，，由旋转可得，，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
即，
由化简得，，
解得或（不合，舍去），
∴，
∴
（3）解：过点作于，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又由旋转可得，，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
【解析】【分析】（）连接，证明，得到，再证明为圆的直径，得到，根据等腰三角形三线合一即可证得结论.
（）设，，证明得，证明得，由化简得，，解方程即可求解；
（）过点作于，可得四边形是矩形，得，，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的对应边成比例可求出GE和HM的比值，设，则，可表示出NG、FG的长；再证明，利用相似三角形的性质可得到，设，则，可表示出BD、AD的长，最后根据余弦的定义计算即可.
24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.
（1）如图1，过点C作CD⊥BD交AB于M，若BM＝2，tan∠DCB＝.求DM的长；
（2）如图2，若AD⊥AE，且AD＝AE，延长AD、CB交于点F，作EG⊥EA交CB于点G.猜想FD、CE、EG之间有何数量关系？并证明你的结论.
（3）如图3，若AB＝4，D为一动点且始终有BD⊥CD，取CD的中点M，连接BM，将MB绕点B逆时针旋转90°得到点E，直接写出△ABE面积的最大值.
【答案】（1）解：如图1
∵BD⊥CD
∴
∴设BD=a，则CD=3a
由勾股定理得：
∵∠BAC=90゜，AB=AC
∴由勾股定理得
∴
∴
∵∠BDM=∠BAC，∠DMB=∠AMC
∴△BDM∽△CAM
∴即
∴，
由CM+DM=CD得：
解得：
∴
（2）解：；理由如下：
过C作BC的垂线交AE的延长线于点H，如图2
∵AD⊥AE，∠BAC=90゜
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠HAC
∴∠FAB=∠HAC
在△AFB和△AHC中
∴△AFB≌△AHC(SAS)
∴AF=AH，∠F=∠H，∠ABF=∠ACH
∵∠ABC=∠ACB=45゜
∴∠ABF=∠ACH=135゜，∠ACE+∠ECG=45゜
过C作CM⊥CE交EH于点M
∴∠ECM=90゜
∴∠ACE+∠MCH=∠ACH-∠ECM=45゜
∴∠ECG=∠MCH
∵AD⊥AE，GE⊥AE
∴GE∥AD
∴∠EGC=∠F
∴∠EGC=∠H
∵AD⊥AE，AD=AE
∴∠CEM=∠AED=45゜
∴∠CME=∠CEM=45゜
∴CE=CM
在△CEG与△CMH中
∴△CEG≌△CMH(AAS)
∴EG=MH
∴EH=EM+MH=EM+EG
在Rt△EMC中，CE=CM，由勾股定理得：
∴
即
（3）解：
【解析】【解答】解：（3）如图3，取BC的中点G，连接GM
∵M点为CD的中点
∴GM∥BD
∵BD⊥CD
∴ GM⊥CM
∴∠GMC=90゜
把BC绕点B逆时针旋转90°得到BF，连接EF，取BF的中点Q，连接EQ
由旋转的性质知：BE=BM，BF=BC，∠EBM=∠FBC=90゜
∴∠EBF=∠MBC
∴△EBF≌△MBC(SAS)
∴∠BEF=∠BMC
∵BF=BC
∴BQ=BG
∴△BEQ≌△BMG(SAS)
∴EQ=GM，∠BEQ=∠BMG
∴∠BEF ∠BEQ=∠BMC ∠BMG
即∠QEF=∠GMC=90゜
取FQ的中点O，则点E在以O为圆心QF为直径的圆上运动
过点E作EN⊥AB于点N，过点O作OP⊥AB于点P，则当EN过圆心O时，EN最大，此时△AED的面积最大
在Rt△ABC中，AB=AC，由勾股定理得
∴BF=BC=8
∵Q、O分别是BF、QF的中点
∴BQ=QF=4，OQ=2
∴BO=6
∵∠FBC=90゜，∠ABC=45゜
∴∠OBP=∠POB=45゜
∴OP=BP
由勾股定理得
∴EN的最大值为
∴△AEB的最大面积为：
【分析】（1）根据三角函数的概念可设BD=a，则CD=3a，由勾股定理可得BC，证明△BDM∽△CAM，根据相似三角形的性质可得CM、DM，由CM+DM=CD可得a的值，进而可得DM；
（2）过C作BC的垂线交AE的延长线于点H，由同角的余角相等可得∠FAB=∠HAC，证明△AFB≌△AHC，得到AF=AH，∠F=∠H，∠ABF=∠ACH，过C作CM⊥CE交EH于点M，则∠ECG=∠MCH，进而证明△CEG≌△CMH，得到EG=MH，则EH=EM+MH=EM+EG，由勾股定理可得EM=CE，据此证明；
（3）取BC的中点G，连接GM，把BC绕点B逆时针旋转90°得到BF，连接EF，取BF的中点Q，连接EQ，由旋转的性质知：BE=BM，BF=BC，∠EBM=∠FBC=90°，证明△EBF≌△MBC、△BEQ≌△BMG，得到∠BEF=∠BMC，EQ=GM，∠BEQ=∠BMG，进而推出∠QEF=∠GMC=90°，取FQ的中点O，则点E在以O为圆心QF为直径的圆上运动，过点E作EN⊥AB于点N，过点O作OP⊥AB于点P，则当EN过圆心O时，EN最大，此时△AED的面积最大，易得BF=BC=8，BQ=QF=4，OQ=2，BO=6，然后求出OP的值，得到EN的最大值，然后利用三角形的面积公式进行计算.
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