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1.2锐角三角函数的计算 立足教材巩固知识卷
一、选择题
1．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关
2．比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（ ）
A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29°
C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46°
3．已知β为锐角，且tan β=3.387，则β约等于（ ）
A．73°33' B．73°27' C．16°27' D．16°21'
4．用科学计算器求sin 9°的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．sin9= B．9sin= C．sin9 D．9sin
5．用计算器计算时，下列说法错误的是（ ）
A．计算“ ﹣1 ”的按键顺序是
B．计算“3×105﹣28”的按键顺序是
C．“已知SinA=0.3，求锐角A”的按键顺序是
D．计算“（ ）5”的按键顺序是
6．如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sinA的取值范围是（ ）
A．0 B．
C． D．
7．已知α是锐角，且sinα=0.75，则（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
8．下列三角函数值最大的是（ ）
A．tan46° B．sin50° C．cos50° D．sin40°
9．在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值（ ）
A．都扩大1倍 B．都缩小为原来的一半
C．都没有变化 D．不能确定
10．用科学记算器算得①293=24389；② ≈7.615773106；③sin35°≈0.573576436；④若tana=5，则锐角a≈0.087488663°．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．比较大小：sin35° cos45°.
12．已知：∠1=30°30′，∠2=28.5°，则sin（∠1﹣∠2）≈ （可用计算器，精确到0.001）
13．若cosA=0.6753，则锐角A= （用度、分、秒表示）．
14．用科学计算器计算：sin48°≈
15．若sinα=，则α=
16．用计算器计算:sin 51°30'+cos 49°50'-tan 46°10'的值约是 .
三、综合题
17．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
（1）求AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
18．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x2+px+q=0的两个根．
（1）求实数p、q应满足的条件
（2）若p、q满足（1）的条件，方程x2+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦？
19．用计算器求下列各式的值：
（1）sin47°；
（2）sin12°30′；
（3）cos25°18′；
（4）tan44°59′59″；
（5）sin18°+cos55°﹣tan59°．
20．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
求：
（1）AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
21．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP=40°，∠FBP=20°，PB=m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
22．如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化.试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律.
（1）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”)：
若α=45°，则sin α cos α；
若α<45°，则sin α cos α；
若α>45°，则sin α cos α.
（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
23．已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A度数．
（1）sinA=0.9816；
（2）tanA=0.1890
24．
（1）完成下列表格，并回答下列问题，
锐角
（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ．
（3） ， ；
（4） ；
（5） ；
（6）若 ，则锐角 ．
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1.2锐角三角函数的计算 立足教材巩固知识卷
一、选择题
1．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关
【答案】B
【解析】【解答】解：sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓；
cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡；
tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓，
所以B正确．
故答案为：B．
【分析】根据锐角三角函数的增减性可判断正误。
2．比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（ ）
A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29°
C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵cos29°=sin61°＞sin59°
∴cos29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1
∴sin59°＜cos29°＜tan46°
故答案为：D．
【分析】根据锐角三角函数的增减性可比较大小。
3．已知β为锐角，且tan β=3.387，则β约等于（ ）
A．73°33' B．73°27' C．16°27' D．16°21'
【答案】A
【解析】【解答】解：由计算可得β≈ 73.55° =73°33'
故答案为：A。
【分析】考查计算器的用法；需要用到“arctan”这个键。
4．用科学计算器求sin 9°的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．sin9= B．9sin= C．sin9 D．9sin
【答案】A
【解析】【解答】解：计算器上有“sin”这个按键，按完后再按9，即可。
故答案为：A。
【分析】需要对科学计算器上的键比较熟悉。
5．用计算器计算时，下列说法错误的是（ ）
A．计算“ ﹣1 ”的按键顺序是
B．计算“3×105﹣28”的按键顺序是
C．“已知SinA=0.3，求锐角A”的按键顺序是
D．计算“（ ）5”的按键顺序是
【答案】D
【解析】【解答】解：A、计算“ ﹣1 ”的按键顺序是 ，正确；
B、计算“3×105﹣28”的按键顺序是 ，正确；
C、“已知SinA=0.3，求锐角A”的按键顺序是 ，正确；
D、计算“（ ）5”的按键顺序是 ，错误；
故选：D．
【分析】根据计算器上分数、科学记数法、三角函数及乘方的计算方法可得．
6．如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sinA的取值范围是（ ）
A．0 B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，
在Rt△ACH中，sinC= = ，
设AH=4x，AC=5x，
所以CH= =3x，
所以sin∠HAC= = ，
∵∠HAC＜∠BAC＜90°，
∴ ＜sin∠BAC＜1．
故选D．
【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据正弦定义得到sinC= = ，则可设AH=4x，AC=5x，利用勾股定理得到CH=3x，所以sin∠HAC= = ，由于∠HAC＜∠BAC＜90°，然后根据正弦函数为增函数即可得到sin∠BAC的范围．
7．已知α是锐角，且sinα=0.75，则（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵sin60°= ≈0.87，sin45°= ≈0.7，正弦值随角度的增大而增大，
∴sinα=0.75，则45°＜α＜60°．
故选；C．
【分析】利用正弦值随角度的增大而增大，再利用特殊角的三角函数值，进而得出答案．
8．下列三角函数值最大的是（ ）
A．tan46° B．sin50° C．cos50° D．sin40°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵tan46°＞tan45°＞1；而任何锐角的正弦，余弦值都小于1；
∴最大的是：tan46°
故选A．
【分析】根据正切函数的函数值随角度的增大而增大，正弦以及余弦函数的值的范围即可确定．
9．在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值（ ）
A．都扩大1倍 B．都缩小为原来的一半
C．都没有变化 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知
如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值不变．
故选C．
【分析】理解锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角三角函数值即为边的比值．
根据概念进行分析．
10．用科学记算器算得①293=24389；② ≈7.615773106；③sin35°≈0.573576436；④若tana=5，则锐角a≈0.087488663°．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】【解答】前3个利用计算器计算可得是正确，最后一个tan45°=1，tana=5，说明α的度数应大于45°，所以错误，故选A
【分析】前3个用计算器计算即可；最后一个根据45°的正切值与所给正切值比较即可．
二、填空题
11．比较大小：sin35° cos45°.
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵cos45°= sin45°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，
∴sin35°＜sin45°，
∴sin35°＜cos45°.
故答案为：＜.
【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得sin35°＜sin45°，根据特殊角的三角函数值可得cos45°= sin45°，据此进行比较.
12．已知：∠1=30°30′，∠2=28.5°，则sin（∠1﹣∠2）≈ （可用计算器，精确到0.001）
【答案】0.035
【解析】【解答】解：∵∠1=30°30′，∠2=28.5°，
∴∠1﹣∠2=30°30′﹣28.5°=30.5°﹣28.5°=2°，
sin（∠1﹣∠2）=sin2°≈0.035．
故答案为：0.035．
【分析】先求出∠1﹣∠2，再利用计算器计算即可得解．
13．若cosA=0.6753，则锐角A= （用度、分、秒表示）．
【答案】47°31′12″
【解析】【解答】解：由cosA=0.6753，得
A=cos﹣10.6753=47.52°
=47°+0.52×60
=47°+31.2′
=47°31′+0.2×60
=47°31′12″，
故答案为：47°31′12″．
【分析】根据cos﹣10.6753，可得A的值，根据大单位化小单位乘以进率，不满一度的化成分，不满一分的化成秒，可得答案．
14．用科学计算器计算：sin48°≈
【答案】2.70
【解析】【解答】解：sin48°≈3.634×0.743≈2.70，
故答案为：2.70．
【分析】根据计算器的用法，可得立方根，正弦函数值，再根据实数的运算，可得答案．
15．若sinα=，则α=
【答案】28°
【解析】【解答】解：∵sinα=≈0.4714，
∴α≈28°．
故答案为：28°．
【分析】直接利用计算器求出α的度数即可．
16．用计算器计算:sin 51°30'+cos 49°50'-tan 46°10'的值约是 .
【答案】0.3860
【解析】【解答】解：sin 51°30'+cos 49°50'-tan 46°10'≈0.78261+0.64501-1.0416≈0.3860.
故答案为：0.3860.
【分析】考查计算器的用法；分别求出sin 51°30'，cos 49°50'，tan 46°10'再代入即可。
三、综合题
17．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
（1）求AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
【答案】（1）解：作AB边上的高CH，垂足为H，∵在Rt△ACH中，sinA=，
∴CH=AC sinA=9sin48°≈6.69
（2）解：
∵在Rt△ACH中，cosA=，
∴AH=AC cosA=9cos48°，
∴在Rt△BCH中，tanB=，
∴∠B≈73°32′．
【解析】【分析】（1）作AB边上的高CH，垂足为H，在Rt△ACH中，利用sinA可求CH；
（2）在Rt△ACH中，利用cosA可求AH，在Rt△BCH中，利用tanB=，易求其值，再利用计算器求反三角函数即可．
18．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x2+px+q=0的两个根．
（1）求实数p、q应满足的条件
（2）若p、q满足（1）的条件，方程x2+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦？
【答案】（1）解：∵sinA、sinB是方程x2+px+q=0的两个根，∴sinA+sinB=﹣p，即：sinA+cosA=﹣p，∴sin（A+45°）=﹣p
∵0°＜A＜90°，∴1＜﹣p≤，∴﹣≤p＜﹣1，∵sinA sinB=q，即sinA cosA=q，∴sin2A=2q，∴0＜q＜，
∵sin2A+sinB2=（sinA+sinB）2﹣2sinA sinB，∴p2﹣2q=1，
∴实数p、q应满足的条件是：p2﹣2q=1，∴﹣≤p＜﹣1，0＜q≤．
（2）解：∵0＜q≤，设sin2A=2q，则2A=2a，或180°﹣2a，即：A=a或90°﹣a，
∵sina和sin（90°﹣a）是方程的两根，即它们是直角三角形的两个锐角的正弦值．
【解析】【分析】（1）根据sinA+cosA= sin（A+45°），sinA cosA=sin2A，以及根与系数的关系，即可得到关于p，q的不等式，以及sin2A+sinB2=1，即可求得p，q的关系．
（2）根据（1）可以得到sin2A=2q，求得A的值，证明A的值可以取互余的两个角的度数，即可证得．
19．用计算器求下列各式的值：
（1）sin47°；
（2）sin12°30′；
（3）cos25°18′；
（4）tan44°59′59″；
（5）sin18°+cos55°﹣tan59°．
【答案】（1）解：sin47°=0.7314
（2）解：sin12°30′=0.2164
（3）解：cos25°18′=0.9003
（4）解：tan44°59′59″=1.0000
（5）解：sin18°+cos55°﹣tan59=﹣0.7817
【解析】【分析】本题要求同学们，熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
20．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
求：
（1）AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
【答案】（1）解：作AB边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH中， ，
∴CH=AC sinA=9sin48°≈6.69
（2）解：∵在Rt△ACH中， ，
∴AH=AC cosA=9cos48°，
∴在Rt△BCH中， ，
∴∠B≈73°32′．
【解析】【分析】（1）作AB边上的高CH，垂足为H，在Rt△ACH中，利用sinA可求CH；（2）在Rt△ACH中，利用cosA可求AH，在Rt△BCH中，利用tanB= ，易求其值，再利用计算器求反三角函数即可．
21．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP=40°，∠FBP=20°，PB=m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP=α，∠FBP=β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
【答案】（1）解：在Rt△BPE中，sin∠EBP= =sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP= =sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF
（2）解：根据（1）得
sin∠EBP= =sinα，sin∠FBP= =sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF
【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
22．如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化.试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律.
（1）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”)：
若α=45°，则sin α cos α；
若α<45°，则sin α cos α；
若α>45°，则sin α cos α.
（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
【答案】（1）解：由题目中的图可以发现：正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小
∵18°<34°<50°<62°<88°，
∴sin18°cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.
（2）=；<；>
（3）解：由cos30°=sin60°，cos70°=sin20°，
∵10°<20°<50°<60°，
∴sin10°即sin10°【解析】【解答】（2）若α=45°，则sin 45°=cos 45°=；
若α<45°，则sin αcos 45° ，sin45°=cos 45°，则sin α若α>45°，则sin α>sin 45°，而cos αcos α.
故答案为：=；<；>；
【分析】此题考查正弦值与余弦值的增减性，当角是锐角时，正弦值随着角度的增大而增加；余弦值随着角度的增大而减小。
（1）根据发现的规律，判断角度的大小，可直接判断它们的正弦值和余弦值的大小关系；
（2）根据正弦值和余弦值的增减性，分别比较sinα与sin45°，cos α与cos45°的大小关系。
（3）将余弦值根据互余角的两个角中一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，都转化成正弦值作比较。
23．已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A度数．
（1）sinA=0.9816；
（2）tanA=0.1890
【答案】（1）解：∵sinA=0.9816，∴∠A≈79°；
（2）解：∵tanA=0.1890，∴∠A≈11°
【解析】【分析】①正确使用计算器计算即可．使用2nd键，然后按sin-10.9816即可求出∠A的度数；②方法同①．
24．
（1）完成下列表格，并回答下列问题，
锐角
（2）当锐角 逐渐增大时， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ， 的值逐渐 ．
（3） ， ；
（4） ；
（5） ；
（6）若 ，则锐角 ．
【答案】（1）解：如表，
锐角
1
（2）增大；减少；增大
（3）；30°
（4）1
（5）30°
（6）45°
【解析】【解答】解：（2）由（1）表格可知，随着锐角α逐渐增大，sinα的值逐渐增发，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大.
（3）由（1）表格可知，sin30°=cos60°.
（4）原式=
（5）∵左边=
tan30°=
∴
故答案为：30°
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值，科研解答表格中的问题。
（2）观察特殊角的三角函数值随角度的变化规律，可得到角度随函数值的变化情况。
（3）根据一个锐角的正弦值和它的余角的余弦值相等，可得答案。
（4）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（5）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算，可求解。
（6）观察表中特殊角的三角函数值，可得答案。
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