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解直角三角形 单元同步培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是的高，，，，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
3．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点之间的距离为35米，∠A=α，则缆车从A点到达B索，上升的高度(BC的长)为（ ）
A．35sinα米 B．米 C．35cosα米 D．米
4．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠BCD＝30°，CD＝4．则图中阴影部分的面积S阴影＝（ ）
A．2π B．π C．π D．π
6．已知一道斜坡的坡比为1： ，坡长为24米，那么坡高为（ ）米.
A． B．12 C． D．6
7．如图，在Rt△ABC中，BC＝3，斜边AC＝5，则下列等式正确的是（ ）
A．sinC＝ B．cosC＝ C．tanA＝ D．sinA＝
8．如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米 B．50米 C．米 D．50米
9．如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ ，则MN可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A， B， E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°，则 =（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算： .
12．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 ．
13．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 米(结果保留根号)．
14．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为，看这栋楼底部C的俯角β为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ．
15．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，若AD=4，则图中阴影部分的面积为
16．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，连接EF，BF，BE，BE交AD于点P，过点F作FK⊥BE垂足为G，FK与AB，CD分别交于点H，K，若DC=DE，∠EFB=∠FBC.则下列结论中：①BP＝HK；②∠ABF+∠FEB＝45°；③PG：GB：PE＝1：2：3；④ ；⑤若连接AG，则 ；⑥HF2+HK2＝2HB2.结论正确的有 （只填序号）.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在正方形ABCD中，，E为AB的中点，连接CE，作交射线AD于点F，过点F作交射线CD于点G，连接EG交AD于点H.
（1）求证：.
（2）求HD的长.
（3）如图2，连接CH，点P为CE的中点，Q为AF上一动点，连接PQ，当与四边形GHCF中的一个内角相等时，求所有满足条件的DQ的长.
18．在平面直角坐标系中，一次函数 的图形与反比例函数 的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作 轴，垂足为H， ， ，点B的坐标为 .
（1）求 的周长；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（3）写出不等式 的解集.
19．如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化.试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律.
（1）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”)：
若α=45°，则sin α cos α；
若α<45°，则sin α cos α；
若α>45°，则sin α cos α.
（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
20．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(－1，0)，点B(0， )．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当点A′恰好落在AB边上时，设△A′BO的面积为S1。，△AB′O的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？
（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置时，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断．
21．如图1，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 时，则OP＝ ，S△ABP＝ ；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP＝AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求证：AQ·BP＝3．
22．如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为（20，0），点B在第一象限内，BO＝10，sin∠BOA＝ ．
（1）在图中，求作△ABO的外接圆；（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹）
（2）求点B的坐标与cos∠BAO的值；
（3）若A，O位置不变，将点B沿 轴正半轴方向平移使得△ABO为等腰三角形，请直接写出平移距离．
23．如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上（点的对应点为），分别交边于点．的外接圆交线段于点．
（1）求证：是中点．
（2）若，求的长．
（3）连结，交线段于点，若，求的值．
24． 如图，，，M、N分别在线段、上．
（1）如图1中，M是中点，，若，求线段的长度；
（2）图2中，，，求；
（3）图3中，，P在射线上，垂直平分，当为直角三角形时，请直接写出的长度 ．
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解直角三角形 单元同步培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在Rt中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， ， ，
，
.
故答案为：B.
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据余弦函数的概念进行计算.
2．如图是的高，，，，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠BAD=60°，
∴，
∴，
∴.
∵，即，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得∠ABD=30°，根据含30°角直角三角形的性质得AD=2，再由勾股定理算出BD的长，进而根据正切函数的定义可求出CD的长，最后根据BC=BD+CD即可求出答案.
3．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点之间的距离为35米，∠A=α，则缆车从A点到达B索，上升的高度(BC的长)为（ ）
A．35sinα米 B．米 C．35cosα米 D．米
【答案】A
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AC⊥BC，
∴sin α =，
∴BC=30sinα 米，
故答案为：A.
【分析】利用锐角三角函数先求出sin α =，再求解即可。
4．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，如图，
AB＝＝3，BC＝＝，
根据题意可得，
S△ABC＝＝，
即＝，
解得：CD＝，
在Rt△BCD中，
sin∠ABC＝＝＝．
故答案为：B．
【分析】过点C作CD⊥AB，先利用勾股定理求出AB和BC的长，再利用等面积法求出CD＝，最后利用正弦的定义可得sin∠ABC＝＝＝。
5．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠BCD＝30°，CD＝4．则图中阴影部分的面积S阴影＝（ ）
A．2π B．π C．π D．π
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝2，
又∵∠DCB＝30°，
∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，
∴OE＝22，OD＝4，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△DOE+S△BEC2×2．
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可得CE＝ED＝2，由圆周角定理可得∠DOE＝2∠BCD＝60°，根据三角函数的概念求出OE、OD，然后根据S阴影＝S扇形BOD-S△DOE+S△BEC结合扇形、三角形的面积公式进行计算.
6．已知一道斜坡的坡比为1： ，坡长为24米，那么坡高为（ ）米.
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：设坡度为
∴
∴
∴坡高=
坡长=12.
故答案为：B
【分析】 由斜坡的坡比为1： ，可得坡度为30°，再利用30°角的直角边等于斜边的一半进行解答即可.
7．如图，在Rt△ABC中，BC＝3，斜边AC＝5，则下列等式正确的是（ ）
A．sinC＝ B．cosC＝ C．tanA＝ D．sinA＝
【答案】C
【解析】【解答】解：由勾股定理得，，
所以sinC，cosC＝，tanA＝，sinA＝，
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出AB的值，然后根据三角函数的概念进行判断.
8．如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米 B．50米 C．米 D．50米
【答案】D
【解析】【解答】解：过B作BM⊥AD于M，如图：
由题意得：∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴BC＝AC＝100米，
∵BM⊥AD，
∴∠BMC＝90°，
在Rt△BCM中，sin∠BCM＝，
∴BM＝BC×sin∠BCM＝100×＝50，
即B点到河岸AD的距离为50米.
故答案为：D.
【分析】过B作BM⊥AD于M，由题意得：∠BAD＝30°，∠BCD＝60°，结合外角的性质可得∠ABC＝30°，推出BC＝AC＝100米，然后根据∠BCM的正弦函数就可求出BM，即B点到河岸AD的距离.
9．如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝ ，则MN可用 表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，
∵
∵∠CMD=∠DNO=90°，
∴∠D=∠D，
∴△CMD∽△OND，
∴，即，
∵∠D=∠D，
∴△DMN∽△DCO，
∴，
∵sin∠AON=，
∴sin∠AON=，
即sin=，
∴MN= ，
故答案为：A.
【分析】连接OC交MN，延长OM、ON交于一点D，先根据圆周角定理推得角相等，再证明△CMD∽△OND，由相似三角形的性质得比例式，然后转换比例，再证△DMN∽△DCO，从而可把sin转换成用来表示，则MN长可求.
10．如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A， B， E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：延长GP交DC于点H，
∵AB=AD，BG=BE，
∴平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，(三线合一)
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠GCP=60°，
∴ = .
故答案为：B.
【分析】延长GP交DC于点H，首先根据菱形的判断方法判断出平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，再根据菱形的性质及全等三角形的判定方法判断出△GFP≌△HDP，根据全等三角形的性质得出GP=HP，GF=HD，进而判断出△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出PG⊥PC，最后根据锐角三角函数的定义及特殊锐角三角函数值即可得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算： .
【答案】
【解析】【解答】解：原式= ，
故答案为： .
【分析】代入特殊角的三角函数值，同时根据有理数的乘方运算法则计算乘方，然后计算乘法即可得到结果.
12．在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3，BC＝1，则cosA的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴AC＝ ，
∴cosA＝ ，
故答案为： ．
【分析】先求出AC的长，再利用余弦的定义求解即可。
13．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 米(结果保留根号)．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图，过点D、C作DE⊥AB、CF⊥AB垂足分别为E、F，则DE//CF，
∵DE⊥AB， CF⊥AB，
∴∠AED=∠BFC=∠DEF=∠CFE=90°，
在Rt△BCF中，β=45°，
∴，
∴（米），
∵DE∥CF，CD∥EF，∠CFE=90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴米，
在Rt△DEA中，，α=30°，
∴，
∴（米）
故答案为：.
【分析】过点D、C作DE⊥AB、CF⊥AB，得到两个直角三角形；在Rt△BCF中，已知坡角β和坡长BC，利用锐角三角函数，求得该梯形的高度CF；由矩形的定义，推出四边形CDEF是矩形，再由矩形的性质，进一步推出DE=CF；在Rt△DEA中，已知坡角α和DE长度，利用锐角三角数，可得结果.
14．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为，看这栋楼底部C的俯角β为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作于点D，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
即这栋楼的高度为，
故答案为：．
【分析】作于点D，根据锐角三角函数定义可得BD，CD的值，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，若AD=4，则图中阴影部分的面积为
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAC＝∠EBA＝∠BAD=30°，
∴BE∥AD，
∵AD为半圆O的直径，AD＝4，
∴∠DBA=90°，AB＝ADcos30°＝2，
∴BC＝AB＝，
∴AC＝BC=3，
∴S△ABC＝×BC×AC＝××3＝，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为=S△ABC﹣S扇形BOE＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【分析】先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，由图形可知△BOE和△ABE同底等高，即△BOE和△ABE面积相等，最后利用S△ABC﹣S扇形BOE＝图中阴影部分的面积求出即可．
16．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，连接EF，BF，BE，BE交AD于点P，过点F作FK⊥BE垂足为G，FK与AB，CD分别交于点H，K，若DC=DE，∠EFB=∠FBC.则下列结论中：①BP＝HK；②∠ABF+∠FEB＝45°；③PG：GB：PE＝1：2：3；④ ；⑤若连接AG，则 ；⑥HF2+HK2＝2HB2.结论正确的有 （只填序号）.
【答案】①②③④⑤⑥
【解析】【解答】解：过点A作AL⊥BE交CD于点L，
∴四边形AHKL是平行四边形，
∴AL＝HK，
∵AB＝AD，∠ADL＝∠BAP＝90°，
∵∠DAJ＋∠APB＝∠DAL＋∠ALD＝90°，
∴∠APB＝∠ALD，
∴△ADL≌△BAP（AAS），
∴BP＝AL＝HK，故①正确；
延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点M，连接BK，
∵∠EFB＝∠FBC，
∴∠BFN＝∠FBN＝∠BFA，
∴BM＝BA＝BC，
∴∠FEG＝∠KEG，
∴△EFG≌△EKG（ASA），
∴FG＝KG，
∴BE垂直平分FK，
∴BF＝BK，
∵BA＝BC，
∴Rt△ABF≌Rt△CBK（HL），
∴∠ABF＝∠CBK，
∴∠FBK＝∠ABF＋∠ABK＝∠CBK＋∠ABK＝90°，
∴∠FBE＝∠KBE＝45°，
∴∠ABF＋∠FEB＝∠ABF＋∠BED＝∠ABF＋∠ABP＝∠FBE＝45°，故②正确；
∵∠DFK＝90° ∠EKG＝∠BEC，
∴tan∠DFK＝tan∠BEC＝ ＝ ，
∴BG＝FG＝2PG，
∴PE＝PB＝PG＋BG＝3PG，
∴PG：BG：PE＝1：2：3，故③正确；
设正方形边长为a，由 ＝tan∠DFK＝ ，
∴DF＝2DK，
即：a＋AF＝2（a CK），
∴AF＝CK＝ a，
∴BF＝ = a，
∴sin∠ABF＝ = ，故④正确；
过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，
∵∠PGF＝∠HGB，FG＝BG，∠PFG＝∠HBG，
∴△FPG≌△BHG（ASA），
∴PF＝BH，PG＝HG，
∵∠AGQ＝∠FGB＝90°，
∴∠AGQ ∠FGQ=∠BGF ∠FGQ，
∴∠AGF＝∠BGQ，
∵∠AFG＝∠QBG，FG＝BG，
∴△AFG≌△BHG（ASA），
∴AG＝QG，AF＝BQ，
∴HQ＝BH BQ＝PF AF＝AP，
∴ AG＝AQ＝AH＋HQ＝AH＋AP，故⑤正确；
在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH＝CI，
∴△AFH≌△CKI（SAS），
∴∠AFH＝∠CKI，
∴KI＝FH，
∴∠HKI＝180° ∠FKD ∠AFH＝180° ∠FKD ∠CKI＝90°，
∴HF2＋HK2＝KI2＋HK2＝HI2＝2BH2，故⑥正确；
故答案为：①②③④⑤⑥.
【分析】过点A作AL⊥BE交CD于点L，根据平行四边形的性质可得AL＝HK，根据同角的余角相等可得∠APB＝∠ALD，证明△ADL≌△BAP，据此判断①；延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点M，连接BK，由等腰三角形的性质可得∠FEG＝∠KEG，证明△EFG≌△EKG，得到FG＝KG，由垂直平分线的性质可得BF＝BK，证明Rt△ABF≌Rt△CBK，得到∠ABF＝∠CBK，易得∠FBE＝∠KBE＝45°，进而判断②；根据三角函数的概念可得BG＝FG＝2PG，则PE＝PB＝3PG，据此判断③；设正方形边长为a，由三角函数的概念得DF＝2DK，则AF＝CK＝a，由勾股定理得BF，然后根据三角函数的概念可判断④；过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，证明△FPG≌△BHG，得到PF＝BH，PG＝HG，根据角的和差关系可推出∠AGF＝∠BGQ，证△AFG≌△BHG，得到AG＝QG，AF＝BQ，则HQ＝BH-BQ＝PF-AF＝AP，据此判断⑤；在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH=CI，证△AFH≌△CKI，得到∠AFH＝∠CKI，根据内角和定理可得∠HKI＝90°，结合勾股定理可判断⑥.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在正方形ABCD中，，E为AB的中点，连接CE，作交射线AD于点F，过点F作交射线CD于点G，连接EG交AD于点H.
（1）求证：.
（2）求HD的长.
（3）如图2，连接CH，点P为CE的中点，Q为AF上一动点，连接PQ，当与四边形GHCF中的一个内角相等时，求所有满足条件的DQ的长.
【答案】（1）证明：四边形ABCD为正方形，
，.
，
，
，
，
，
.
（2）解：
为AB中点，，
，
.
，
，
，
.
，
，
，
.
（3）解：，
.
，
，
.
①如图2，
当时，
可得，
.
过点P作于点M
为中点，
，
，
，
.
②如图3，
当时，
，
，
.，
，
，
，
，
.
③如图4，
当时，
，
.
，
，
.
过点M作于点N，
设，则.
.
在中，过点Q作于点J，
设.
，
.
综上所述，DQ的值为.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD，∠ABC=∠BCD=∠CDF=90°，由同角的余角相等可得∠ECB=∠DCF，利用ASA证明△BCE≌△DCF，据此可得结论；
（2）根据中点的概念可得AE=BE=3，求出tan∠ECB的值，由平行线的性质可得∠GFC=∠ECF=90°，则tan∠GFD=tan∠DCF=tan∠ECB，利用三角函数的概念可得GD，证明△AEH∽△DGH，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）易得EH=FH=5，利用SSS证明△ECH≌△FCH，得到∠ECH=∠FCH=45°，∠HEC=∠HFC，当∠QPC=∠GFC=90°时，可得PQ∥FC，则tan∠AQP=tan∠AFC=2，过点P作MN⊥AD于点M，易得PN、PM、QM的值，然后根据DQ=MD-QM进行计算；当∠QPC=∠HGF时，由平行线的性质可得∠HGF+∠HEC=180°，由等角的补角相等可得∠QPE=∠HEC，进而得到∠QPE=∠HFC=∠BEC，得到PQ∥AB，据此可得DQ的值；当∠QPC=∠HGC时，求出tan∠DHC、tan∠QPE的值，过M作MN⊥EP于点N，设NP=a，则MN=3a，EN=，据此可求出EM、MH，过点Q作QJ⊥EH于点J，设QJ=3b，JH=4b，MJ=3b，结合MH的值可得b的值，据此求解.
18．在平面直角坐标系中，一次函数 的图形与反比例函数 的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作 轴，垂足为H， ， ，点B的坐标为 .
（1）求 的周长；
（2）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（3）写出不等式 的解集.
【答案】（1）解：由OH＝3， ，得AH＝4.即A（ 4，3）.
由勾股定理，得AO＝ ＝5，
∴△AHO的周长＝AO＋AH＋OH＝3＋4＋5＝12；
（2）解：将A点坐标代入y＝ （k≠0），得k＝ 4×3＝ 12，
反比例函数的解析式为y＝ ；
当y＝ 2时， 2＝ ，解得x＝6，即B（6， 2）.
将A、B点坐标代入y＝ax＋b，得 ，
解得 ，
一次函数的解析式为y＝ x＋1
（3）解：观察图象可知：一次函数的值大于或等于反比例函数的值时：x≤ 4或0＜x≤6.
【解析】【分析】（1）根据三角函数的概念可得AH，进而得到点A的坐标，利用勾股定理求出AO，据此可得△AHO的周长；
（2）将点A的坐标代入y=中可得k的值，据此可得反比例函数的解析式，令y=-2，求出x的值，可得点B的坐标；将A、B的坐标代入y=ax+b中求出a、b，进而可得一次函数的解析式；
（3）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的x的范围即可.
19．如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化.试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律.
（1）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小.
（2）比较大小(在横线上填写“<”“>”或“=”)：
若α=45°，则sin α cos α；
若α<45°，则sin α cos α；
若α>45°，则sin α cos α.
（3）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
【答案】（1）解：由题目中的图可以发现：正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小
∵18°<34°<50°<62°<88°，
∴sin18°cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.
（2）=；<；>
（3）解：由cos30°=sin60°，cos70°=sin20°，
∵10°<20°<50°<60°，
∴sin10°即sin10°【解析】【解答】（2）若α=45°，则sin 45°=cos 45°=；
若α<45°，则sin αcos 45° ，sin45°=cos 45°，则sin α若α>45°，则sin α>sin 45°，而cos αcos α.
故答案为：=；<；>；
【分析】此题考查正弦值与余弦值的增减性，当角是锐角时，正弦值随着角度的增大而增加；余弦值随着角度的增大而减小。
（1）根据发现的规律，判断角度的大小，可直接判断它们的正弦值和余弦值的大小关系；
（2）根据正弦值和余弦值的增减性，分别比较sinα与sin45°，cos α与cos45°的大小关系。
（3）将余弦值根据互余角的两个角中一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，都转化成正弦值作比较。
20．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(－1，0)，点B(0， )．
（1）求∠BAO的度数；
（2）如图1，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当点A′恰好落在AB边上时，设△A′BO的面积为S1。，△AB′O的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？
（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置时，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断．
【答案】（1）解：∵A（－1，0），B（0， ），∠AOB＝90°∴OA=1，OB=
∴ ，∴∠BAO＝60°
（2）解：S1＝S2，理由如下： 依题意有：A′A＝A′O，∠BAO＝60°， ∴△A′AO是等边三角形，
∴∠AOA′＝∠B A′O＝60°，
∴A′B′∥x轴，∴点A′、B′到x轴的距离相等，
∵∠ABO＝∠A′OB＝90°－60°＝30°
∴AO＝ AB ∴AO＝A′B，
∵等边△A′AO的三条高都相等
∴点O到AB的距离等于点B′到x轴的距离
∴S1＝S2（等底等高的三角形面积相等）
（3）解：S1与S2的关系没变，仍然有S1＝S2，理由如下：过点B作BC⊥AO于C，过点B′作B′D⊥x轴于D，
∴∠BCO＝∠B′DO＝90°
依题意有：∠BOD＝∠A′OB′＝90°，B′O＝BO，A′O＝AO，
∴∠1＋∠A′OD＝∠2＋∠A′OD＝90°
∴∠1＝∠2
∴△BOC≌△B′OD（AAS）
∴BC＝B′D
又∵AO＝A′O
∴S1＝S2（等底等高的三角形面积相等）
【解析】【分析】 （1）根据点A、B的坐标求出OA，OB的长，再利用锐角三角形的定义及特殊角的三角函数值，就可求出∠BAO的度数。
（2）根据旋转的性质易证△A′AO是等边三角形，∠AOA′＝∠B A′O＝60°，证得A′B′∥x轴，点A′、B′到x轴的距离相等，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，AO＝A′B，再证明点O到AB的距离等于点B′到x轴的距离，然后根据等底等高的两个三角形的面积相等，即可得出结论。
（3）过点B作BC⊥AO于C，过点B′作B′D⊥x轴于D，根据旋转的性质易证B′O＝BO，A′O＝AO，再证明∠1＝∠2，根据AAS证明△BOC≌△B′OD，得出BC＝B′D，由AO＝A′O，即可证得结论。
21．如图1，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 时，则OP＝ ，S△ABP＝ ；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP＝AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求证：AQ·BP＝3．
【答案】（1）1；
（2）解：①∵∠A＜∠BOC＝60°，∴∠A不可能是直角②当∠ABP＝90°时∵∠BOC＝60°，∴∠OPB＝30°∴OP＝2OB，即2t＝2∴t＝1
③当∠APB＝90°时
作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP＝∠PDB＝90°
∵OP＝2t，∴OD＝t，PD＝ t，AD＝2＋t，BD＝1－t（△BOP是锐角三角形）
∴AP2＝(2＋t)2＋3t2，BP2＝(1－t)2＋3t2
∵AP2＋BP2＝AB2，∴(2＋t)2＋3t2＋(1－t)2＋3t2＝9
即4t2＋t－2＝0，解得t1解得t1＝ ，t2＝ （舍去）
综上，当△ABP是直角三角形时，t＝1或
（3）解：连接PQ，设AP与OQ相交于点E∵AQ∥BP，∴∠QAP＝∠APB
∵AP＝AB，∴∠APB＝∠B
∴∠QAP＝∠B
又∵∠QOP＝∠B，∴∠QAP＝∠QOP
∵∠QEA＝∠PEO，∴△QEA∽△PEO
∴
又∵∠PEQ＝∠OEA，∴△PEQ∽△OEA
∴∠APQ＝∠AOQ
∵∠AOC＝∠AOQ＋∠QOP＝∠B＋∠BPO
∴∠AOQ＝∠BPO，
∴∠APQ＝∠BPO
∴△APQ∽△BPO，
∴
∴AQ·BP＝AP·BO＝3×1＝3
【解析】【解答】 （1）当t= 秒时，OP=2t=2× =1.
如图，过点P作PD⊥AB于D.
在Rt POD中，PD=OP·sin60 °=1× = ，
∴S ABP= AB·PD= ×(2+1) × =
【分析】（1）当t= 秒时，OP=2t=2 =1；根据题意作辅助线，过点P作PD⊥AB于D.在Rt POD中，用∠BOC的正弦可求得PD=OP·sin60 °=，所以三角形ABP的面积=AB·PD=（2+1）=；
（2）分3种情况：①∵∠A＜∠BOC＝60°，所以∠A不可能是直角；
②当∠ABP＝90°时，已知∠BOC＝60°，根据直角三角形两锐角互余可得，∠OPB＝30°，
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得，OP＝2OB，即2t＝2，解得，t＝1；
③当∠APB＝90°时，作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP＝∠PDB＝90°，由②中的结论可知，OP＝2t，∴OD＝t，PD＝ 3 t，AD＝2＋t，BD＝1－t（△BOP是锐角三角形），由勾股定理可得AP2＝(2＋t)2＋3t2，BP2＝(1－t)2＋3t2，而AP2＋BP2＝AB2，所以(2＋t)2＋3t2＋(1－t)2＋3t2＝9，符合题意的解为，t=，即当△ABP是直角三角形时，t＝1或；
（3）连接PQ，设AP与OQ相交于点E，根据AQ∥BP可得∠QAP＝∠APB，由AP＝AB可得∠APB＝∠B，所以∠QAP＝∠B，又因为∠QOP＝∠B，所以∠QAP＝∠QOP，根据对顶角相等可得∠QEA＝∠PEO，所以可得△QEA∽△PEO，所以=，又∠PEQ＝∠OEA，所以△PEQ∽△OEA，所以∠APQ＝∠AOQ，而∠AOC＝∠AOQ＋∠QOP＝∠B＋∠BPO，所以∠AOQ＝∠BPO，∠APQ＝∠BPO，由相似三角形的判定可得△APQ∽△BPO，=，
所以AQ·BP＝AP·BO＝3×1＝3。
22．如图，在直角坐标平面中，O为原点，点A的坐标为（20，0），点B在第一象限内，BO＝10，sin∠BOA＝ ．
（1）在图中，求作△ABO的外接圆；（尺规作图，不写作法但需保留作图痕迹）
（2）求点B的坐标与cos∠BAO的值；
（3）若A，O位置不变，将点B沿 轴正半轴方向平移使得△ABO为等腰三角形，请直接写出平移距离．
【答案】（1）如图，
⊙C即为所求作的圆
（2）B(8，6)
cos =
（3）点B沿 轴向右平移2个单位或 或 个单位
【解析】【解答】（1）如图，分别作OB，OA的垂直平分线，得到它们的交点，再画圆，详细方法：
画OB的垂直平分线：分别以O，B为圆心，以大于OB的长度画弧，在OB的两侧相交于两点，连接它们，即是OB的垂直平分线；
画AB的垂直平分线：分别以A，B为圆心，以大于AB的长度画弧，在OB的两侧相交于两点，连接它们，即是AB的垂直平分线；
得到交点C，即是外接圆的圆心，以ＯＣ为半径画圆.
(2)如图1，过点B作BDOA于D，则在RtOBD中，sin∠BOA= ，BO=10，
则BD=OB×sin∠BOA=10×=6，
则OD=.
则B(8，6).
在RtABD中，因为A（20，0），则OA=20，AD=OA-OD=20-8=12，AB=，
则cos ∠ BAO=.
图1
(3)以OA为底时，如图2，OB=AB，则B（10，6），向x轴正方向平移了10-8=2；
图2
以OB为底边时，如图3，AB=OA=20，则AD=，
则OD=OA-AD或OA+AD，即OD=或，
所以向x轴正半轴移动了18<0，不符合，合去，或；
图3
以AB为底时，如图4，OB=OA=20，则OD=，
所以向x轴正半轴移动了.
综上，答案为：点B沿 轴向右平移2个单位或或个单位
图4
【分析】（1）画三角形外接圆的方法是，画其中两条的垂直平分线，得到它们的交点，以这个交点为圆心，以这个交点到三角形顶点的距离为半径画圆；
（2）已知sin∠BOA= ，则应构造直角三角形，可求出点B的坐标和cos ∠ BAO ；
（3）相当于求O，A，B为顶点的等腰三角形时，点B的横坐标，点B不变的是它的纵坐标；分别OA为底，OB为底，AB为底去分析.
23．如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上（点的对应点为），分别交边于点．的外接圆交线段于点．
（1）求证：是中点．
（2）若，求的长．
（3）连结，交线段于点，若，求的值．
【答案】（1）证明：连接，
由旋转可得，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，点在圆上，
∴为圆的直径，
∴，
即，
∴，
即是中点
（2）解：设，，则，，由旋转可得，，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
即，
由化简得，，
解得或（不合，舍去），
∴，
∴
（3）解：过点作于，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又由旋转可得，，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
【解析】【分析】（）连接，证明，得到，再证明为圆的直径，得到，根据等腰三角形三线合一即可证得结论.
（）设，，证明得，证明得，由化简得，，解方程即可求解；
（）过点作于，可得四边形是矩形，得，，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的对应边成比例可求出GE和HM的比值，设，则，可表示出NG、FG的长；再证明，利用相似三角形的性质可得到，设，则，可表示出BD、AD的长，最后根据余弦的定义计算即可.
24． 如图，，，M、N分别在线段、上．
（1）如图1中，M是中点，，若，求线段的长度；
（2）图2中，，，求；
（3）图3中，，P在射线上，垂直平分，当为直角三角形时，请直接写出的长度 ．
【答案】（1）解：，，，
，即，解得，
，
M是中点，
，
（2）解：解：作于点，作于点，记交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，，
，
，
，，
，解得，
（3）或．
【解析】【解答】解：（3）∵，AB=3，
∴，AC=6，
∵MN垂直平分CP，
∴PM=CM，CN=NP，
当P在线段AC上，
设MN=x，则，CN=2x，
∴PC=CN+NP=4x，
∴，
AP=AC-PC=6-4x，
∵为直角三角形，
∴
即，
解得或x=0(舍去)；
P在AC的延长线上，
∵为直角三角形，
∴∠PBA+∠CBA=90°，
∵∠CBA+∠C=90°，
∴∠C=∠PBA，
∴，
∵AB=3，，
即，
∴，
设MN=x，则，
∴，
∴，
∴，
即，
即；
综上所述，的长度为或．
故答案为：或．
【分析】（1）根据解直角三角形得到，根据勾股定理求得MC的长，结合线段中点的性质，即可得到答案；
（2）作于点，作于点，记交于点，证明，根据相似三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理得到AC的值，利用三角形面积公式求出AD，进而得到，利用勾股定理即可得到答案；
（3）根据题意分情况讨论，当P在线段AC上，P在AC的延长线上，设MN=x，则，结合解直角三角形以及勾股定理建立等式，即可得到答案.
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