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1．（八年级下·广东惠州·期中）解下列关于的一元二次方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，．
（2）解：，
，，，
，
，
，．
2．（八年级下·江苏扬州·期中）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）解：，
分解因式，得：，
或，
解得：，；
（2）解：，
，
，
分解因式，得：，
，
或，
解得：，．
3．（八年级下·江苏扬州·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)， (2)，
【详解】（1）解：
，；
（2）解：
，
，．
4．（八年级下·河南许昌·期中）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)，(2)无实数根
【详解】（1）解：
或
解得：，；
（2）解：
∵，
∴所以此方程无实数根．
1．（八年级下·河南驻马店·期中）将一元二次方程化成的形式，则的值是（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】D
【详解】解：，
，
，
，
∵一元二次方程可化成，
∴，
解得，
故选：D．
2．（八年级下·北京·期中）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：，
∴，
则，
∴．
故选：D．
3．（八年级下·湖北武汉·阶段练习）把方程 转化成 的形式， 则m、n的值是（ ）
A．3，8 B．3，10 C．，10 D．，8
【答案】A
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，
即，
∵方程转化成的形式，
∴．
故选：A．
4．（八年级下·福建厦门·阶段练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2025 C． D．1
【答案】C
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
故选：C．
5．（八年级下·贵州六盘水·阶段练习）若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】解：方程配方得，
，
∴，，
∴直线经过一、二、四象限，不经过三象限，
故选：C．
1．（八年级下·湖南岳阳·期中）如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵和是方程的两个根，
∴，
即，
∴多项式可以分解因式为，
故选：．
2．（八年级下·四川眉山·期中）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定
【答案】C
【详解】解：，
∴，
∴或，
解得：或5，
①当等腰三角形的三边为时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是，
②当等腰三角形的三边为4，5，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是，
所以等腰三角形的周长是13或14，
故选：C．
3．（八年级下·河南周口·阶段练习）已知三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．6或10 B．10 C．6 D．12或10
【答案】C
【详解】解：，
因式分解得，
解得或，
∵，
∴不符合题意，
第三边长度为4．
∵，
∴该直角三角形是直角三角形，
分两种情况：
这个三角形的面积为．
故选C．
4．（八年级下·吉林·阶段练习）若代数式与的值互为相反数，则x的值为（ ）
A．或 B．或 C．或2 D．或2
【答案】B
【详解】解：代数式与的值互为相反数，
则，
整理得：，即，
解得：或，
故选：B．
1．（八年级下·陕西咸阳·期中）若，则的值为（ ）
A．或1 B． C．1 D．3或1
【答案】C
【详解】解：设，则原方程可化为：，
∴，
∴，，
解得：，，
∵，
∴，
故选：C．
2．（八年级下·江苏无锡·阶段练习）关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】解：∵方程（m，h，k均为常数，）的解是，，
令，
∴对于关于的一元二次方程的解为，，
即或，
即，，
∴关于的一元二次方程的解是，．
故选：C．
3．（八年级下·河北保定·阶段练习）已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：令，则方程即为方程，
∵方程的解是，
∴方程的解是，
∴或，
解得，
∴程的解是，
故选：D．
4．（八年级下·贵州遵义·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根2022，则方程，必有一个根为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∵一元二次方程有一个根2022，
∴必有一根为，解得：；
故选B．
5．（八年级下·江苏常州·阶段练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（ ）
A． B． C． D．无法求解
【答案】B
【详解】解：根据题意得：方程看作关于的一元二次方程，
关于的方程的解是，
∴关于的一元二次方程的解为，，
解得，
故选：B．
1．（八年级下·广东深圳·阶段练习）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．有无实数根，无法判断
【答案】A
【详解】解：根据题意得，，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
2．（八年级下·河北保定·期中）已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
，
∴原方程无实数根，
故选：A．
3．（八年级下·江苏常州·期中）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“快乐”方程．已知是“快乐”方程，且，则下列结论正确的是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根 D．无法确定方程根的情况
【答案】B
【详解】解： 是“快乐”方程，
，
，
，
，
，
方程有两个相等的实数根，
故选：．
4．（八年级下·四川达州·阶段练习）已知一次函数的图象不经过第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
【答案】C
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴方程有2个实数根；
故选：C．
1．（八年级下·安徽滁州·期中）若关于x的函数，其图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A． B． C．且 D．且
【答案】B
【详解】①当时：
函数变为，这是一个一次函数，一次函数的图象是一条直线，的图象与轴有一个交点，满足图象与轴有交点这一条件．
②当时：
函数是二次函数，对于二次函数，其图象与轴交点的情况由判别式决定，当时，图象与轴有交点．
在函数中，，则．
解得，
又因为，所以此时且．
综合以上两种情况，可得的取值范围是．
故答案选：B．
2．（八年级下·重庆黔江·期末）若数使关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．3或5
【答案】C
【详解】解：方程有两个不相等的实数解，
，
解得：，
，
，
解得：，
由题意得，是正整数，
是正偶数，且，
，
，
或，
或，
当时，是分式方程的增根，不符合题意，舍去；
当时，是分式方程的解，符合题意；
满足条件的的值为5．
故选：C．
3．（八年级下·山西大同·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴的取值范围是且，
故选：．
4．（八年级下·内蒙古通辽·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】C
【详解】解：当时，变为，此方程有实数根；
当时，由题意可得且，
解得：，
∴当时，关于x的方程有实数根，
故选：C．
1．（八年级下·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ．
【答案】
【详解】解：解方程，
得：，，
即：直角三角形的两直角边分别和，
由勾股定理得斜边长为：．
故答案为：．
2．（八年级下·江苏无锡·期中）若一元二次方程的两根为，，则方程的两根为 ．
【答案】，
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵一元二次方程的两根为，，
∴或，
∴，．
故答案为：，．
3．（八年级下·河北沧州·期末）已知关于的一元二次方程，若△ABC的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当△ABC是等腰三角形时，的值为 ．
【答案】4或5
【详解】解：，
∴=
即，
，
、中有一个数为．
当时，
解得：．
、、能构成等腰三角形，
符合题意；
当时，、、能构成等腰三角形，
符合题意．
综上所述：的值为或．
4．（八年级下·浙江杭州·自主招生）如果正数x、y、z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解： 为三角形数，
，．
，
为三角形数，
．
．
．
两边同时乘以，得，
即．
化简得：，
两边除以，得．
．
，
．
．
故答案为：.
5．（八年级下·福建泉州·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：，
∴，，
方程有两个不相等的正整数解，
∴，
∴
整数的值为2．
6．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．
解：，
，，
，即的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知，求的最大（或最小）值．
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
有最大值，最大值是；
（2）解：，
理由如下：
，
，
，
，
，
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1．（八年级下·广东惠州·期中）解下列关于的一元二次方程
(1)；
(2)．
2．（八年级下·江苏扬州·期中）解下列方程：
(1)；
(2)．
3．（八年级下·江苏扬州·期中）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
4．（八年级下·河南许昌·期中）解方程
(1)
(2)
1．（八年级下·河南驻马店·期中）将一元二次方程化成的形式，则的值是（ ）
A． B． C．4 D．8
2．（八年级下·北京·期中）将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（八年级下·湖北武汉·阶段练习）把方程 转化成 的形式， 则m、n的值是（ ）
A．3，8 B．3，10 C．，10 D．，8
4．（八年级下·福建厦门·阶段练习）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2025 C． D．1
5．（八年级下·贵州六盘水·阶段练习）若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．（八年级下·湖南岳阳·期中）如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（ ）
A． B． C． D．
2．（八年级下·四川眉山·期中）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（ ）
A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定
3．（八年级下·河南周口·阶段练习）已知三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．6或10 B．10 C．6 D．12或10
4．（八年级下·吉林·阶段练习）若代数式与的值互为相反数，则x的值为（ ）
A．或 B．或 C．或2 D．或2
1．（八年级下·陕西咸阳·期中）若，则的值为（ ）
A．或1 B． C．1 D．3或1
2．（八年级下·江苏无锡·阶段练习）关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（八年级下·河北保定·阶段练习）已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
4．（八年级下·贵州遵义·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根2022，则方程，必有一个根为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
5．（八年级下·江苏常州·阶段练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（ ）
A． B． C． D．无法求解
1．（八年级下·广东深圳·阶段练习）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．有无实数根，无法判断
2．（八年级下·河北保定·期中）已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
3．（八年级下·江苏常州·期中）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“快乐”方程．已知是“快乐”方程，且，则下列结论正确的是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程没有实数根 D．无法确定方程根的情况
4．（八年级下·四川达州·阶段练习）已知一次函数的图象不经过第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
1．（八年级下·安徽滁州·期中）若关于x的函数，其图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A． B． C．且 D．且
2．（八年级下·重庆黔江·期末）若数使关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．3或5
3．（八年级下·山西大同·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．（八年级下·内蒙古通辽·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．且
1．（八年级下·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ．
2．（八年级下·江苏无锡·期中）若一元二次方程的两根为，，则方程的两根为 ．
3．（八年级下·河北沧州·期末）已知关于的一元二次方程，若△ABC的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当△ABC是等腰三角形时，的值为 ．
4．（八年级下·浙江杭州·自主招生）如果正数x、y、z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且，则的取值范围是 ．
5．（八年级下·福建泉州·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值．
6．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．
解：，
，，
，即的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知，求的最大（或最小）值．
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
