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二次根式 单元全优冲刺测评卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中， 与 的积为有理数的是( )
A． B． C． D．
3．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和32，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．7 D．14
4．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
5．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）．
A．24 B． C．25 D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．计算的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．3
8．若实数 满足 ， 则化简 的结果是（ ）
A． B． C．-2 D．2
9．等式 成立的条件是（ ）
A．x≠3 B．x≥0 C．x≥0且x≠3 D．x>3
10．x取什么值时，有意义 （ ）
A．x＞ B．x= C．x≥ D．x≥-
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算的结果是 ．
12．已知三角形三边长分别是3，7，m，化简 ．
13． 若，则x的值等于 ．
14．一个等腰三角形的周长为，一腰长为，则底边长为 .
15．已知 ， 为实数，且满足 ，则 .
16．若x、y都为实数，且 ，则 = .
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知.
（1）直接写出 ， ；
（2）试求的值；
（3）试求的值.
18．已知：，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）若为整数部分，为小数部分，求的值.
19．在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如，这样的式子，可以将其进一步化简：；，以上这种化简的方法叫做分母有理化．请化简下列各题（写出化简过程）：
（1）；
（2）；
（3）．
20．同学们在数学活动中研究了的性质：①；②；③．请你运用的性质解决下列问题：
（1）式子有意义，则x的取值范围 ；
（2）计算：的值；
（3）已知：，求xy的值．
21．阅读下面问题：
；
；
.
求：
（1）当 为正整数时 = ；
（2）计算： .
（3） = ；
22．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t= （不考虑风速的影响）
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
23．已知： ，求：
（1）a－b的值；
（2）ab的值；
（3） 的值.
24．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么 ，如何将双重二次根式 化简.我们可以把 转化为 完全平方的形式，因此双重二次根式 得以化简.
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若 则称点Q为点P的“横负纵变点”.例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5).问题：
（1）点 的“横负纵变点”为 ，点 的“横负纵变点”为 ；
（2）化简： ；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M( ，m)是关于x的函数 图像上的一点，点M’是点M的“横负纵变点”，求点M’的坐标.
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二次根式 单元全优冲刺测评卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：依题意，得
a-2≥0，
解得，a≥2.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解题.
2．下列二次根式中， 与 的积为有理数的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
A：，积不是有理数，A不符合题意；
B：，积不是有理数，B不符合题意；
C：，积是有理数，C符合题意；
D：，积不是有理数，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】分别进行计算，根据积进行判断即可。
3．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和32，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．7 D．14
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 矩形内两个相邻的正方形面积分别为18和32，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：，
故答案为：A．
【分析】先求出大、小正方形的边长，再列式计算即可．
4．如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴1-2a≤0，
∴，
故答案为：D
【分析】根据二次根式的非负性，进而即可得到不等式，从而即可求解。
5．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）．
A．24 B． C．25 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：先输入，则，
再次输入，则，
输出.
故答案为：B.
【分析】本题主要考察二次根式的乘法及估算无理数的大小，处理过程中注意合并同类二次根式.
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得x=；
又∵
∴x=
∴，解得y=；
∴
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的非负性，可得x的值；根据等式的性质，可得y的值；根据二次根式的混合运算，去掉分母，即可解答.
7．计算的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加法计算即可.
8．若实数 满足 ， 则化简 的结果是（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ x+4≥0，
∴ x≥-4，
∴
即
∴ x-3≤0，即x≤3，
∴ -4≤x≤3，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得x≥-4，根据先化简已知等式，再根据绝对值的非负性得x≤3，综上可求得x的取值范围，再根据绝对值性质及化简，即可求得.
9．等式 成立的条件是（ ）
A．x≠3 B．x≥0 C．x≥0且x≠3 D．x>3
【答案】D
【解析】【解答】由原式成立得x0，x-3>0，解之得x>3，故选D．
【分析】根据题意列出x的取值范围不等式，并正确求解即可求出正确答案．
10．x取什么值时，有意义 （ ）
A．x＞ B．x= C．x≥ D．x≥-
【答案】D
【解析】【分析】当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
【解答】依题意得4+5x≥0，
解得x≥ ．
故选D．
【点评】此题主要考查了当代数式是二次根式时，被开方数为非负数这一知识点．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算的结果是 ．
【答案】
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】利用二次根式的除法计算方法求解即可.
12．已知三角形三边长分别是3，7，m，化简 ．
【答案】6
【解析】【解答】∵三角形三边长分别是 3，7，m，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据三角形的三边关系可得，进而化简二次根式，即可求解．
13． 若，则x的值等于 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：，
，
，
解得x=2
故答案为：2.
【分析】根据化简，合并同类二次根式解得x的值即可求解.
14．一个等腰三角形的周长为，一腰长为，则底边长为 .
【答案】6
【解析】【解答】解：∵三角形的周长=腰长+腰长+底边长， 等腰三角形的周长为，一腰长为，
∴ 底边长=--=20--=6.
故答案为：6.
【分析】根据三角形的周长=腰长+腰长+底边长并结合二次根式的加减法法则计算即可求解.
15．已知 ， 为实数，且满足 ，则 .
【答案】4
【解析】【解答】解： 、 为实数，且满足 ，
， ，
则 .
故答案为： .
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a、b的值，进而得出答案.
16．若x、y都为实数，且 ，则 = .
【答案】26
【解析】【解答】由题意，x-50，5-x0，所以x-5=0所以x=5，y=1，所以x2 +y=25+1=26．
【分析】无论式子多么复杂，找出其中二次根式隐含条件，求出x、y值，是一个常用的方法．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知.
（1）直接写出 ， ；
（2）试求的值；
（3）试求的值.
【答案】（1）4；1
（2）解：∵，，
∴
（3）解：∵，，
，
∴
.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴；
；
故答案为：4；1.
【分析】（1）根据二次根式的减法法则可得x+y，根据平方差公式可得xy的值；
（2）由完全平方公式可得x2+y2=(x+y)2-2xy，然后代入进行计算；
（3）根据二次根式的加法法则求出x-y，对待求式进行通分并化简可得=，然后代入进行计算.
18．已知：，，求：
（1）的值；
（2）的值；
（3）若为整数部分，为小数部分，求的值.
【答案】（1）解：，，
（2）解：，，，
（3）解：为整数部分，为小数部分，，，
，
，
的值.
【解析】【分析】（1）根据a、b的值结合平方差公式进行计算；
（2）根据二次根式的减法法则可求出a-b的值，原式可变形为(a-b)2-ab，然后代入进行计算；
（3）根据估算无理数大小的方法可得a、b的范围，据此可得m、n的值，然后代入进行计算.
19．在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如，这样的式子，可以将其进一步化简：；，以上这种化简的方法叫做分母有理化．请化简下列各题（写出化简过程）：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：＋……＋．
．
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，利用分母有理化求解即可；
（2）参照题干中的计算方法，利用分母有理化求解即可；
（3）先利用分母有理化化简，再计算即可。
20．同学们在数学活动中研究了的性质：①；②；③．请你运用的性质解决下列问题：
（1）式子有意义，则x的取值范围 ；
（2）计算：的值；
（3）已知：，求xy的值．
【答案】（1）
（2）解：原式==2-=
（3）解：若有意义，
则x-2≥0且2-x≥0，
解得：x=2，
∴y=-3，
则xy=2×（-3）=-6．
【解析】【解答】解：（1）式子有意义，则x-3≥0，
解得：x≥3；
故答案为：x≥3；
【分析】（1）根据被开方数为非负数，据此解答即可；
（2）根据二次根式的性质及负整数指数幂的性质计算即可；
（3）根据被开方数为非负数先求出x值，继而得出y值，再代入计算即可.
21．阅读下面问题：
；
；
.
求：
（1）当 为正整数时 = ；
（2）计算： .
（3） = ；
【答案】（1）
（2）解：
＝（ ）＋（ ）＋（ ）＋＋（ ）
＝
＝
＝9
（3）
【解析】【解答】（3） ；
（2） ；
【分析】（1）给分子、分母同时乘以，据此计算；
（2）原式可变形为(-1)+( )+( )+……( )，据此计算；
（3）给分子、分母同时乘以，据此计算.
22．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t= （不考虑风速的影响）
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
【答案】（1）解：当h=50时，t1= = （秒）；
当h=100时，t2= = =2 （秒）
（2）解：∵ = ，
∴t2是t1的 倍．
（3）解：当t=1.5时，1.5= ，解得h=11.25，
∴下落的高度是11.25米．
【解析】【分析】（1）将h=50代入t1= 进行计算即可；将h=100代入t2= 进行计算即可；（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；（3）将t=1.5代入公式t= 进行计算即可．
23．已知： ，求：
（1）a－b的值；
（2）ab的值；
（3） 的值.
【答案】（1）解：a-b= -
=
=-2；
（2）解：ab=
=
=1；
（3）解：∵a+b= = ，a-b=-2，ab=1
∴
=
=
= ；
【解析】【分析】（1）直接将a、b值代入a-b进行计算即可；
（2）直接将a、b值代入ab进行计算即可；
（3）将原式变形= ，然后整体代入计算即可.
24．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算.如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么 ，如何将双重二次根式 化简.我们可以把 转化为 完全平方的形式，因此双重二次根式 得以化简.
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若 则称点Q为点P的“横负纵变点”.例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5).问题：
（1）点 的“横负纵变点”为 ，点 的“横负纵变点”为 ；
（2）化简： ；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M( ，m)是关于x的函数 图像上的一点，点M’是点M的“横负纵变点”，求点M’的坐标.
【答案】（1）；
（2）∵
∴ ；
（3）∵ ，
∵点M( ，m)是关于x的函数 图像上的一点，
∴ ，
即：M（ ， ），
又∵点M’是点M的“横负纵变点
∴M′的坐标为（ ， ）.
【解析】【解答】（1）解：根据题目意思，
∵ 和 ，
点 的“横负纵变点”为 ，点 的“横负纵变点”为 ，
故答案为： ， ；
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题.（2）模仿例题解决问题即可.（3）首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可.
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