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直线与圆的位置关系 单元综合巩固提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线
C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
2．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（ ）
A．PA＝PB B．AD＝BD
C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB
3．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，AB为的直径，CD是的切线，切点为，连接AC，若，则的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，的半径为4（O为坐标原点），点C是上一动点，过点B作直线的垂线，P为垂足，点C在上运动一周，则点P运动的路径长等于（ ）
A． B． C． D．
6．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式.若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④GP=GD；⑤CB∥GD．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．③④ D．②⑤
8．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切的⊙P的圆心是（2，a）且（a＞2），
函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2，则a的值是（ ）
A．2 B．2+ C．2+ D．2
9．如图，在等边三角形ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，F是AC上的点，则下列说法中错误的是（ ）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线 B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE=EC，则AC是⊙O的切线 D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线
10．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y= 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若⊙O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
12．定义：以直角三角形的重心为圆心，且与该直角三角形的一边相切的圆叫做这个直角三角形的重切圆.斜边为10，重切圆半径为2的直角三角形的面积是 .
13．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 .
14．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为 .
15．如图，圆心恰好为正方形的中心，已知，的直径为1，现将沿某一方向平移，当它与正方形的某条边相切时停止平移，记平移的距离为，则的取值范围是 .
16．如图，已 知∠AOB=30° ，C是射线OB上的一点，且OC=4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有一个交点，则r的取值范围是
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是的直径，C为圆上一点，D是劣弧BC的中点，于E，过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与DM相交于点G，连接AD与BC交于点H．
（1）求证：GD是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求AH的值．
18．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径OD的长；
（3）求线段BM的长．
19．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．
20．如图，已知 内接于⊙ ，直径 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．过点 作⊙ 的切线，交 的延长线于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，连接 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，求 的值
21．如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线．
（2）求证：AF＝CF．
（3）若sinG＝0.6，CF＝4，求GA的长．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC，AB的延长线于点E，F.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）设AC=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BF=2， ，求AD的长.
23．如图，AB，BC，CD分别与☉O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO=6，CO=8.
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求☉O的半径OF的长.
24．如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．
（1）在图1中连结，求证：；
（2）若的半径为，求的值；
（3）如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
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直线与圆的位置关系 单元综合巩固提升卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线
C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【答案】A
【解析】【解答】解：A、经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；可能经过圆心，故本选项错误；
B、圆的切线的判定定理：经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线；故本选项正确，故不符合题意；
C、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确，故不符合题意；
D、经过切点且垂直于切线的直线为圆的直径，所以它经过圆心；故本选项正确，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据切线的判定定理及性质定理即可一一判断得出答案.
2．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（ ）
A．PA＝PB B．AD＝BD
C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB
【答案】D
【解析】【解答】解：由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD.
因此A.B.C都正确.
无法得出∠PAB=∠APB，可知：D是错误的.
综上可知：只有D是错误的.
故答案为：D.
【分析】由切线长定理“从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角"可得∠APO=∠BPO，PA=PB，由等腰三角形的三线合一可得AB⊥OP，AD=BD；结合各选项可求解.
3．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：设内切圆的半径为r
解得：r=1
故答案为：D.
【分析】根据三角形的周长乘以内切圆半径，再除以2即得三角形的面积，据此即可求解.
4．如图，AB为的直径，CD是的切线，切点为，连接AC，若，则的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OC
∵CD是O的切线
∴OCCD
∴∠OCD= 90°
∵∠BAC = 40°， OC = OA
∴∠OCA= ∠BAC =40°
∴∠ACD= 90°- 40°=50°
故选：C.
【分析】本题主要考查圆的切线的应用，由切线得出∠OCD= 90°，再利用等腰三角形得出∠OCA= 40°，直接求解即可.
5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，的半径为4（O为坐标原点），点C是上一动点，过点B作直线的垂线，P为垂足，点C在上运动一周，则点P运动的路径长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵A（-8，0），B（0，6），
∴，
∵BP⊥AC，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆弧上，
当AC、AC'与圆O相切时，即OC⊥AC，
∵sin∠OAC=，
∴∠OAC=30°，
∴∠C'AC=60°，
∴弧PP'的弧度=120°，
∴弧PP'的长为，
∴当点C在圆O上运动一周，点P运动的路径长等于.
故答案为：D.
【分析】连接AB，先根据两点间的距离公式算出AB的长，由直径所对的圆周角是90°可得点P在以AB为直径的圆弧上运动，再由当AC与圆相切时，此时点P是运动路径的两端点，由∠OAC得正弦函数及特殊锐角三角函数值得∠OAC=30°，则∠C'AC=60°，弧PP'的弧度=120°，进而根据弧长计算公式算出弧PP'的长，即可解决此题.
6．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式.若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，
∴
，
如图，
设这个三角形内切圆的半径为，
则，
即，
∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，
∴，
解得：，
∴这个三角形内切圆的半径为.
故答案为：B.
【分析】设这个三角形内切圆的半径为，由题意把a、b、c的值代入公式计算求得S的值，然后根据三角形的面积S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC可求解.
7．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④GP=GD；⑤CB∥GD．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．③④ D．②⑤
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，
∴=≠，
∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；
∵≠，
∴+≠+，
即≠，
∴AD≠BC，故②错误；
∵弦CE⊥AB于点F，
∴A为的中点，即=，
又∵C为的中点，
∴=，
∴=，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EPA+∠FAP=∠FAP+∠GPD=90°，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD，故④正确；
∵CE⊥AB，
∴=，
∵≠，
∴≠，
∴∠GDA≠∠BCE，
又∵∠BCE=∠PQC，
∴∠GDA≠∠PQC，
∴CB与GD不平行，故⑤错误．
综上可知，正确的结论是③④，一共2个．
故选：C．
【分析】由于与不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；
由于与不一定相等，那么与也不一定相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理可知②错误；
先由垂径定理得到A为的中点，再由C为的中点，得到=，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确；
连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，可知④正确；
由于与不一定相等，而由垂径定理可得出=，则与不一定相等，∠GDA与∠BCE不一定相等，又∠BCE即∠PCQ=∠PQC，所以∠GDA与∠PQC不一定相等，可知⑤错误．
8．如图，在平面直角坐标系中，与y轴相切的⊙P的圆心是（2，a）且（a＞2），
函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2，则a的值是（ ）
A．2 B．2+ C．2+ D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：作PH⊥y轴于H，PC⊥AB于C，作PE⊥x轴于E交AB于D，如图，
∵⊙P与y轴相切，
∴PH=2，即⊙P的半径为2，
∵PC⊥AB，
∴BC=CD=AB=×2=，
在Rt△BPC中，PC===1，
∵直线y=x为第一、三象限的角平分线，
∴∠DOE=45°，
∴∠ODE=45°，DE=OE=2，
∴∠PDC=45°，
∴PD=PC=，
∴PE=PD+DE=2+．
故选C.
【分析】作PH⊥y轴于H，PC⊥AB于C，作PE⊥x轴于E交AB于D，如图，先根据切线的性质得PH=2，即⊙P的半径为2，再根据垂径定理，由PC⊥AB得到BC=CD=AB=，接着在Rt△BPC中利用勾股定理可计算出PC=1，由直线y=x为第一、三象限的角平分线得到∠DOE=45°，则∠ODE=45°，DE=OE=2，然后判断△PCD为等腰直角三角形得到PD=PC=，所以PE=PD+DE=2+，即a=2+．
9．如图，在等边三角形ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，F是AC上的点，则下列说法中错误的是（ ）
A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线 B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥AC
C．若BE=EC，则AC是⊙O的切线 D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OE，
△ ABC 是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵OB=OC
∴△ OBE 是等边三角形，
∴∠OEB=60°，
∴OE∥AC，
EF⊥AC
∴OE⊥EF
∴EF是⊙O的切线，故选项A说法正确，不符合题意；
若EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，由A得：OE∥AC，
∴ EF⊥AC ，故选项B说法正确，不符合题意；
由A得△ OBE 是等边三角形， BE=EC
∴BC=AB=2BO
∴OA=OB
过O作OH⊥AC于H，
故选项C说法错误，符合题意；
BE=EC，
∴
∴ AC是⊙O的切线 ，故选项D说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】连接OE，根据等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，结合等腰三角形的性质可得△ OBE 是等边三角形，可推出OE∥AC，结合 EF⊥AC， 可判断A选项；若EF是⊙O的切线，OE⊥EF，结合平行线的性质可判断B选项；根据等边三角形的性质得到OA=OB，过O作OH⊥AC于H，，可判断选项C；根据等边三角形的性质可推出，可判断D选项.
10．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y= 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 如图，
直线y= x+2 与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y= x+2 =2 ，则D（0，2 ），
当y=0时， x+2 =0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），
∴CD= =4，
∵ OH CD= OC OD，
∴OH= = ，
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴PA= = ，
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA的最小值为 = ．
故答案为：D．
【分析】作OH⊥CD于H，先利用一次函数解析式得到D、C的坐标，再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OH，连接OA，利用切线的性质得出用含OP的代数式表示PA，利用垂线段最短求PA的最小值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若⊙O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
【答案】相离
【解析】【解答】解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为5cm，
∴5＞4，
即d＞r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故答案为：相离．
【分析】设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，如果dr，那么直线与圆相离。根据题意知d＞r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离。
12．定义：以直角三角形的重心为圆心，且与该直角三角形的一边相切的圆叫做这个直角三角形的重切圆.斜边为10，重切圆半径为2的直角三角形的面积是 .
【答案】24
【解析】【解答】解：①如图1，设圆与AC相切于点G，I为Rt△ABC的中线AF与BE的交点，连接EF，则EF∥AB，EF=AB，
，
，
，
与相切，
即
又，
又为的中点，
在中，，
；
如图2，设与AB相切于点D，过点C作CG⊥AB题意于点G，
，
，
，
，
故不符合意.
故答案为：24.
【分析】①设圆与AC相切于点G，I为Rt△ABC的中线AF与BE的交点，连接EF，则EF∥AB，EF=AB，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△EFI∽△BAI，由相似三角形对应边成比例得，由切线的性质得∠AGI=90°，判断出IG∥BC，推出△AGI∽△ACF，由相似三角形对应边成比例得，据此可得CF的长，在Rt△ACB中根据勾股定理算出AC，进而根据三角形面积计算公式即可算出△ABC的面积；②设与AB相切于点D，过点C作CG⊥AB题意于点G，结合切线的性质可判断出ID∥CG，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△FID∽△FCG，由相似三角形对应边成比例得，进而结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CG=3ID=6＞5=CF，根据垂线段最短可得此种情况不符合题意.
13．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 .
【答案】289
【解析】【解答】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，
直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
，
①，②，
，
③，
，
解得或（舍去），
大正方形的面积为.
故答案为：289.
【分析】设四个全等的直角三角形的三边分别为a、b、c，较长的直角边为a，较短的直角边为b，c为斜边，根据题意可得，(a-b)2=49，表示出a、b，结合勾股定理可得c的值，进而可得大正方形的面积.
14．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为 .
【答案】
【解析】【解答】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r 6）2＋82，
解得：，
即的半径为.
故答案为：.
【分析】连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，根据切线的性质可得OB⊥CB，推出四边形ACBD为矩形，则AD=CB=8，BD=AC=6，设圆的半径为rcm，然后在Rt△AOD中，根据勾股定理求解即可.
15．如图，圆心恰好为正方形的中心，已知，的直径为1，现将沿某一方向平移，当它与正方形的某条边相切时停止平移，记平移的距离为，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】【解答】解：作出图形，当圆心O运动到E点时(与正方形的两边相切)，d最大，当圆心O运动到F点时（OF⊥EF），d最小，
正方形ABCD的边长为4，
∴对角线为，则，
的直径为1，
则，
∴；，
则d的范围为，
故答案为：.
【分析】如图，作出图形，当圆心O运动到E点时(与正方形的两边相切)，d最大，当圆心O运动到F点时（OF⊥EF），d最小，根据正方形的性质、切线的性质及勾股定理可得BD=，，则EO=OB-BE=，FO=，从而即可得出答案.
16．如图，已 知∠AOB=30° ，C是射线OB上的一点，且OC=4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有一个交点，则r的取值范围是
【答案】r>4或r=2
【解析】【解答】解：当射线OA与 以C为圆心，r为半径的圆有一个交点时，则r＞OC，或射线OA与圆C相切
如图所示，圆C的半径r＞OC时，只有一个交点，则r＞4；
如图所示，圆C与射线OA相切于点E时，只有一个交点E，连接CE
∴ ∠OEC=90°
∵ ∠AOB=30°，OC=4
∴ OE=2
即r=2
综上， 以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有一个交点，则r的取值范围是r＞4或r=2.
【分析】本题考查直线和圆的交点，圆的切线性质，30°直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线和圆的交点问题是解题关键。分两种情况讨论，当圆C的半径r＞OC时，只有一个交点，当圆C与射线OA相切于点E时，只有一个交点E，可得r的取值范围.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是的直径，C为圆上一点，D是劣弧BC的中点，于E，过点D作BC的平行线DM，连接AC并延长与DM相交于点G，连接AD与BC交于点H．
（1）求证：GD是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求AH的值．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵D是的中点，
∴OD⊥BC，OD平分BC，
∵DM∥BC，
∴DM⊥OD，
∴GD是⊙O的切线；
（2）证明：∵D是的中点
∴∠GAD＝∠BAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB=90°，即AG⊥BC，
∵DM∥BC，
∴AG⊥DM，
∴∠AGD＝∠ADB＝90°
∴△AGD∽△ADB
∴
∴AD2＝AB AG
（3）解：∵D是的中点，
∴BD＝CD＝6，
∴BN＝BC，AB＝，
∵∠DAB＝∠CBD＝∠HBD，∠ADB＝∠BDH＝90°，
∴△ABD∽△BHD，
∴
∴
∴AH＝AD－DH＝
【解析】【分析】（1）连接OD，由垂径定理的推论可得OD垂直平分BC，根据平行线可得DM⊥OD，根据圆的切线的判定可求解；
（2）由圆周角定理可得∠GAD=∠BAD，由直径所对的圆周角是直角及平行线的性质可推出∠AGD=∠ADB=90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AGD∽△ADB，于是可得比例式，再把比例式化为乘积式即可；
（3）由题意，在Rt△ABD中，用勾股定理可求得AB的值，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△BDH∽△ADB，于是可得比例式，由比例式可求出HD的值，然后根据线段的构成AH=AD-DH可求解.
18．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE交⊙O于点M．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径OD的长；
（3）求线段BM的长．
【答案】（1）证明：∵OA= OD，
∴∠A=∠ABD= 30°，
∴∠A=∠ADO= 30°，
∴∠DOB=∠A+∠ADO=60°，
∴∠ODB= 180° -∠DOB-∠B = 90°，
∵OD是半径，
∴BD是 ⊙O 的切线；
（2）解：)∵∠ODB= 90°，∠DBC= 30°，
∴ OD=OB，
∵OC = OD，
∴BC=OC=1，
∴⊙O的半径OD的长为1；
（3）解：∵OD= 1，
∴DE= 2，BD=，
∴ BE==，
∵BD是 ⊙O 的切线，BE是 ⊙O 的割线，
∴BD2=BM·BE，
.
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO= 30°，求出∠DOB= 60° ，再求出∠ODB = 90°，根据切线的判定推出即可；(2)根据直角三角形的性质得到OD=OB，即可得到结论；(3)解直角三角形得到DE=2，BD=，根据勾股定理得到BE==，根据切割线定理即可得到结论.
19．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC又∵CD⊥OA
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°
∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．
（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，
∵DA=DO，CD⊥OA，
∴AF=OF，
∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF=60°
∴∠ABF= ∠AOF=30°；
（3）解：如图2，过点C作CG⊥BE于G，
∵CE=CB，
∴EG= BE=5，
∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，
∴∠GCE=∠A，
∴△ADE∽△CGE，
∴sin∠ECG=sin∠A= ，
在Rt△ECG中，
∵CG= =12，
∵CD=15，CE=13，
∴DE=2，
∵△ADE∽△CGE，
∴，
∴AD= ，CG= ，
∴⊙O的半径OA=2AD= ．
【解析】【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；
（3）过点C作CG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由于∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，得到∠GCE=∠A，△ADE∽△CGE，于是得到sin∠ECG=sin∠A=，在Rt△ECG中求得CG==12，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果．
20．如图，已知 内接于⊙ ，直径 交 于点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．过点 作⊙ 的切线，交 的延长线于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，连接 ，设 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，求 的值
【答案】（1）解：连接BD，如图，
∵DG为切线，
∴AD⊥DG，∴∠ADG=90°，
∵AD为直径，∴∠ABD=90°，
∠GDB+∠G=90°，∠ADB+∠GDB=90°，
∴∠ADB=∠G=50°，
∴∠ACB=∠ADB=50°
（2）证明：连接CD，如图，
∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，
∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，
而∠ABC=∠ADC，∴∠ABE=∠AEB=∠ODC=∠OCD，
∴∠BAD=∠FOC
（3）解：∵∠BAD=∠FOC，∠ABD=∠OFC，
∴△ABD∽△OFC，
∴ ，
∵
设 则
∴
∴
∵
∴设OF=4k，则OA=5k，
在Rt△OCF中，OC=5k，CF=
∴tan∠CAF=
【解析】【分析】（1）连接BD，如图，利用切线性质和圆周角定理得到∠ADG=∠ABD=90°，再利用等角的余角相等得到∠ADB=∠G=50°，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数；（2）连接CD，如图，利用等腰三角形的性质得到∠ABE=∠AEB，∠ODC=∠OCD，再利用圆周角定理得到∠ABC=∠ADC，然后根据三角形内角和可判断∠BAD=∠DOC；（3）先证明△ABD∽△OFC得到 ，设 则 则利用三角形面积公式得到 则可设OF=4k，则OA=5k，利用勾股定理计算出CF，然后根据正切的定义求解．
21．如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线．
（2）求证：AF＝CF．
（3）若sinG＝0.6，CF＝4，求GA的长．
【答案】（1）证明：连结OC，如图，
∵C是劣弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∵CG∥AE，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切线
（2）证明：连结AC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2+∠BCD＝90°，
而CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠2，
∵C是劣弧AE的中点，
∴ ，
∴∠1＝∠B，
∴∠1＝∠2，
∴AF＝CF
（3）解：解：∵CG∥AE，
∴∠FAD＝∠G，
∵sinG＝0.6，
∴sin∠FAD＝ ＝0.6，
∵∠CDA＝90°，AF＝CF＝4，
∴DF＝2.4，
∴AD＝3.2，
∴CD＝CF+DF＝6.4，
∵AF∥CG，
∴ ，
∴
∴DG＝ ，
∴AG＝DG﹣AD＝5．
【解析】【分析】（1）利用垂径定理、平行的性质，得出OC⊥CG，得证CG是⊙O的切线.（2）利用直径所对圆周角为 和垂直的条件得出∠2=∠B，再根据等弧所对的圆周角相等得出∠1=∠B，进而证得∠1=∠2，得证AF=CF.（3）根据直角三角形的性质，求出AD的长度，再利用平行的性质计算出结果.
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC，AB的延长线于点E，F.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）设AC=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BF=2， ，求AD的长.
【答案】（1）证明：连接OD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵EF∥CB，
∴∠E＝∠ACB＝90°.
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA.
又∠OAD＝∠EAD，
∴∠ODA＝∠EAD.
∴EA∥OD.
∴∠ODF＝∠E＝90°.
∴EF是⊙O的切线
（2）解：连接CD.
∵EF∥BC，
∴∠ABC＝∠F.
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠F＝∠ADC.
∵∠DAF＝∠CAD，
∴△FAD∽△DAC.
∴ .
∴AD2＝FA·CA＝xy.
即
（3）解：设⊙O半径为r.
Rt△DOF中， ，即 .解得r＝1.
Rt△ABC中， ，即 .
∴AC＝ .
又AF＝1＋1＋2＝4，
由(2)知 .
【解析】【分析】（1） 连接OD.根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°.利用两直线平行，同位角相等，可得∠E＝∠ACB＝90°.根据等边对等角及角平分线定义，可得∠ODA＝∠EAD，利用内错角相等，两直线平行，可得EA∥OD，利用两直线平行同位角相等，可得∠ODF＝∠E＝90°，即证EF是⊙O的切线.
（2）
连接CD. 根据两角分别相等的两个三角形相似，可证 △FAD∽△DAC.，利用相似三角形的对应边成比例，可得 ，求出 AD2＝FA·CA＝xy即可.
（3）设⊙O半径为r.Rt△DOF中 ，由 ，可得 ，求出r=1，从而可得AF=4.Rt△ABC中， ，可求出AC= ，利用AD2＝FA·CA，即可求出AD的长.
23．如图，AB，BC，CD分别与☉O相切于点E，F，G，且AB∥CD，BO=6，CO=8.
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求☉O的半径OF的长.
【答案】（1）解：△OBC是直角三角形.证明：∵AB，BC，CD分别与☉O相切于点E，F，G，∴∠OBE=∠OBF= ∠EBF，∠OCG=∠OCF= ∠GCF.∵AB∥CD，∴∠EBF+∠GCF=180°.
∴∠OBF+∠OCF=90°，∴∠BOC=90°，即△OBC是直角三角形
（2）解：∵在Rt△BOC中，BO=6，CO=8，
∴BC= =10
（3）解：∵BC与☉O相切于点F，∴OF⊥BC.∴OF= = =4.8.
【解析】【分析】（1）△OBC是直角三角形.根据切线长定理得出∠OBE=∠OBF= ∠EBF，∠OCG=∠OCF= ∠GCF，根据二直线平行，同旁内角互补得出∠EBF+∠GCF=180°.故∠OBF+∠OCF=90°，根据三角形的内角和得出∠BOC=90°，即△OBC是直角三角形 ；
（2）在Rt△BOC中，根据勾股定理即可得出BC的长；
（3）根据切线的性质定理得出OF⊥BC，然后根据三角形的面积法得出OB·OC=BC·OF，从而得出答案。
24．如图1，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，平分，交于点，交于点．
（1）在图1中连结，求证：；
（2）若的半径为，求的值；
（3）如图，若，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵是的切线，
∴
∵是直径，
∴
∴；
（2）解：如图所示，连接并延长交于点，连接
∵是直径，
∴，
又∵平分，
∴
∴，
∵是直径，的半径为，
∴，，
∵
∴
∵
∴
∴
（3）解：．理由如下：
如图，连接、，
由（2）可得，
，，
，，
∵
，
，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，，
，，
设，
则，
，
又，
，
，
，
即，
，
在中，，
．
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得，根据半径相等可得，根据是直径，得出，等量代换即可求出答案.
（2）连接并延长交于点，连接，根据角平分线定义可得，，再根据据余弦定义可得，则，化简计算即可求出答案.
（3）连接、，根据圆周角定义及角之间的关系可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，再设，根据勾股定理可得，从而，结合，根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据勾股定理即可求出答案.
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