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二次根式 单元全优达标检测卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确是（ ）．
A．化简的结果是
B．要使在实数范围内有意义，则
C．与是同类二次根式
D．是最简二次根式
2． 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．将根号外的因式移到根号内，得
A． B． C． D．
4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．0
5． 估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为，宽为4cm)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 （ ）
A． B．16 cm C． D．
8．若x，y为实数，且 则|x+y|等于 （ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
9．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
10． 计算 ， 结果是( )
A． B．-1 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． （化成最简二次根式）.
12． 已知，则的平方根是 ．
13．三角形的三边长分别为、、，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式，其中；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式.现已知△ABC三边长为1，，3．则△ABC的面积为 ．
14．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ．
15．直线：y=(3-a)x+b-2在平面直角坐标系中如图所示，则|= .
16．若x、y都为实数，且 ，则 = 。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：
（2）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB=13，BD=5，CD=9．求△ABC的面积．
18．已知实数x，y满足y5，求：
（1）x与y的值；
（2）x2-y2的平方根.
19．解答下列各题：
（1）计算： .
（2）已知 ， ，求 的值.
20．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示－，设点B所表示的数为m.
（1）求m的值；
（2）求|m－1|＋(m＋)2的值．
21．问题探究：因为，所以
因为，所以因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：
（1）；
（2）
22．已知，求下列代数式的值：
（1）
（2）
23．已知直角三角形的两直角边长分别为（2＋）和（﹣2）．
（1）求这个直角三角形的面积．
（2）求这个直角三角形的斜边长．
24．设a= ，b=2，c= ．
（1）当a有意义时，求x的取值范围；
（2）若a，b，c为直角三角形ABC的三边长，试求x的值．
25．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
…
（1）含n（n为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律.并验证你的结论.
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：
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二次根式 单元全优达标检测卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确是（ ）．
A．化简的结果是
B．要使在实数范围内有意义，则
C．与是同类二次根式
D．是最简二次根式
【答案】C
【解析】【解答】解：A、算术平方根不可能为负数，故选项A错误；
B、只需要保证根号下的数非负即可，因此x≥1，故选项B错误；
C、=，与是同类二次根式，故选项C错误；
D、根号下是分数，不符合最简二次根式的要求，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】掌握算术平方根的双重非负性可判断A、B错误；判断是否同类二次根式，在于最简二次根式中，根号下的数是否相同，据此判断C；最简二次根式要求根号下不含分母，据此判断D.
2． 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，所以不能合并，此选项不符合题意；
B、≠，此选项不符合题意；
C、×=，此选项符合题意；
D、≠-2，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、根据同类二次根式定义可知和不是同类二次根式，所以不能合并；
B、根据二次根式的性质“、”计算即可求解；
C、根据二次根式的性质“”计算即可求解；
D、根据二次根式的性质“”计算即可求解.
3．将根号外的因式移到根号内，得
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵≥0，
∴a＜0，
∴
故答案为：C.
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的性质，二次根式的乘法法则.根据二次根式有意义的条件易得a＜0，再根据二次根式的性质可得，最后根据二次根式的乘法法则进行计算可求出答案．
4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】【解答】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a－b＜0
∴
=
=-a－b＋a－b
=-2b
故答案为：A．
【分析】根据数轴先求出a＜0，b＞0，a－b＜0，再化简求解即可。
5． 估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【解析】【解答】解：
∵
∴
∴
∴的值应在4和5之间．
故答案为：C．
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．
6．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵x+y＝﹣5，xy＝4 ，∴x<0，y<，则原式=，在把x+y＝﹣5，xy＝4 代入即可算出结果为，B正确。
故答案为：B。
【分析】先根据题目条件，判断出x和y均小于零，在对所求式子进行化简，最后代入求解即可。
7．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为，宽为4cm)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 （ ）
A． B．16 cm C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为a、b，
根据题意得：a+2b=，
∴ 图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)
= 2+8-4b+8-2a= 2+16-2(a+2b)
=2+16+2×=16.
故答案为：B.
【分析】设小长方形的长、宽分别为a、b，则a+2b=，图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)，然后整理代入计算即可.
8．若x，y为实数，且 则|x+y|等于 （ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：
由题意得3-x≥0，x-3≥0，
解得x=3，
∴y=2，
∴ |x+y|= |2+3|=5.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义确定x值，继而求出y值，再代入计算即可.
9．的值是（ ）
A．0 B． C． D．以上都不对
【答案】C
【解析】【解答】原式= + = = ，即得C．
【分析】正确化简二次根式，得出二次根式的结果必然是非负的，这是学习本节内容的基本．
10． 计算 ， 结果是( )
A． B．-1 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据，把与成，再依据计算，再计算与后一个因式相乘即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． （化成最简二次根式）.
【答案】
【解析】【解答】解： .
故答案为：.
【分析】根据二次根式的性质化简即可.
12． 已知，则的平方根是 ．
【答案】
【解析】【解答】由题意，得，
解得，
，
，
即的平方根是．
故答案为： ．
【分析】根据二次根式有意义的条件建立不等式组，解得x=2，再代入求解即可。
13．三角形的三边长分别为、、，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式，其中；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式.现已知△ABC三边长为1，，3．则△ABC的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：将1，，3，代入公式得出：
故答案为：．
【分析】直接将三角形三边代入秦九韶公式，再进行化简可求出答案.
14．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：由题意得，
∴最小整数n为3，
故答案为：3
【分析】先根据题意得到，进而根据二次根式的定义即可求解。
15．直线：y=(3-a)x+b-2在平面直角坐标系中如图所示，则|= .
【答案】1
【解析】【解答】观察图象可知：经过第二，三，四象限
所以
所以
故
因此 |
故答案为：1.
【分析】本题考查一次函数的图象性质，二次根式的性质，绝对值的性质.观察图象可知：经过第二，三，四象限，据此可得，可判断出的符号为：，通过二次根式的性质和绝对值的性质可得：，通过化简可求出答案.
16．若x、y都为实数，且 ，则 = 。
【答案】26
【解析】【解答】由题意，，，所以x-5=0所以x=5，y=1，所以x2+y=25+1=26．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，比较不等式组从而得出方程求解得出x的值，进而算出y的值，再代入代数式计算出结果。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）计算：
（2）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB=13，BD=5，CD=9．求△ABC的面积．
【答案】（1）解：
=-3+5-1
=1；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠CDA=90°．
在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，
∴AD2+BD2 = AB2，
∴AD2=AB2-BD2=144．
∵AD＞0，
∴AD=12．
∴△ABC的面积为(BD+CD) ×AD=×14×12=84．
【解析】【分析】（1）先利用立方根和二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）先利用勾股定理求出AD的长，再利用三角形的面积公式求解即可。
18．已知实数x，y满足y5，求：
（1）x与y的值；
（2）x2-y2的平方根.
【答案】（1）解：∵x-13≥0，13-x≥0，
∴x=13，
∴y=0+5=5；
（2）解：∵x2-y2=132-52=144，
∴x2-y2的平方根是±12.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的被开方数不能为负数可得 x-13≥0且13-x≥0，求解得出x的值，将x的值代入原等式可算出y的值；
（2）将x、y的值代入算出x2-y2的值，最后再根据平方根的定义求其平方根即可.
19．解答下列各题：
（1）计算： .
（2）已知 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：原式＝5－4＋2，
＝3；
（2）解：∵ ，
∴当 时，
原式＝ ，
＝8＋1＝9.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质先分别化简，再进行加减计算即可；
（2） 利用配方将原式变形为 ，再代入计算即可.
20．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示－，设点B所表示的数为m.
（1）求m的值；
（2）求|m－1|＋(m＋)2的值．
【答案】（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2.
∵点A表示－，点B表示m，
∴m＝－＋2.
（2）解：|m－1|＋(m＋)2＝|－＋2－1|＋(－＋2＋)2＝|－＋1|＋4＝－1＋4＝＋3.
【解析】【分析】（1）根据题意列出算式求出m＝－＋2即可；
（2）将m的值代入代数式|m－1|＋(m＋)2变形为|－＋2－1|＋(－＋2＋)2，再计算即可。
21．问题探究：因为，所以
因为，所以因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
＝
＝
＝
＝.
（2）解：
＝
＝
＝
＝
=.
【解析】【分析】根据完全平方公式“”和二次根式的性质“”并结合已知的材料可求解.
22．已知，求下列代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵a=+2，b= 2，
∴a+b=2，a-b=4，ab=7-4=3，
∴原式=ab（a+b）=3×2=6；
（2）解：原式=（a+b）（a-b）=2×4=8.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减法法则可得a+b、a-b，根据平方差公式可得ab，待求式可变形为ab(a+b)，然后代入计算即可；
（2）利用平方差公式可得a2-b2=(a+b)(a-b)，然后代入进行计算.
23．已知直角三角形的两直角边长分别为（2＋）和（﹣2）．
（1）求这个直角三角形的面积．
（2）求这个直角三角形的斜边长．
【答案】（1）解：这个直角三角形的面积＝；
（2）解：由勾股定理得：这个直角三角形的斜边长＝．
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用勾股定理计算求解即可。
24．设a= ，b=2，c= ．
（1）当a有意义时，求x的取值范围；
（2）若a，b，c为直角三角形ABC的三边长，试求x的值．
【答案】（1）解：8- x≥0，∴x≤8
（2）解：若a是斜边，则有()2=22 +()2，
8-x=10，解得x=-2．
若a为直角边，则有( )2+22=( )2，
∴8-x+4=6，解得x=6．
∵x都满足x≤8，∴x的值为-2或6．
【解析】【分析】（1）利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）分情况讨论：若a是斜边；若a为直角边；分别利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，根据x的取值范围，可确定出x的值.
25．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
…
（1）含n（n为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律.并验证你的结论.
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：
【答案】（1）解：根据题意得： ，
验证：左边＝ ＝ ＝ ＝右边；
（2）解：原式＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）（ +1）
＝（ ﹣1）（ +1）
＝2008﹣1
＝2007.
【解析】【分析】（1）被开方数是两个相邻的数，即 ，它的有理化因式为 ；（2）由（1）得，原式＝（ ﹣1）（ +1），再根据平方差公式可得结果.
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