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第3章 投影与三视图 单元模拟演练卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是( )
A．球 B．直立圆柱 C．圆锥 D．倒放圆柱
2．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ）
A． B． C． D．
4．如图的几何体是由10个相同的小正方体搭成的，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
6．已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥
7．如左下图，胶带的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
9．将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，弧ED上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知圆锥的底面圆直径是2，母线是3，则圆锥的侧面积是 .
12． 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示，请搭出所有满足条件的几何体，则搭出的几何体最少要 个小立方块．
13．如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
14．在中，，以直角边所在的直线为轴，将旋转一周，则所得的几何体的侧面积是 （结果保留π）.
15．如图，圆锥的底面半径OB长为5cm，母线AB长为15cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角α为 度．
16．如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4.若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉小虫，需要爬行的最短路程为 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图是无盖长方体盒子的表面展开图．
（1）求表面展开图的周长（粗实线的长）；
（2）求盒子底面的面积．
18．如图，边长为acm的正方体其上下底面的对角线AC、A1C1与平面H垂直．
（1）指出正方体六个面在平面H上的正投影图形；
（2）计算投影MNPQ的面积．
19．如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10 cm．
（1）求圆锥的全面积；
（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．
20．如图：扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm，
（1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
21．有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示．
（1）求被剪掉阴影部分的面积：
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
22．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
23．用6个小正方体搭一个立体图形．
（1）给出它的左视图如图①所示，能确定它的形状吗？
（2）再给出它的俯视图如图②所示，你能搭出图形吗？请画出它的主视图．
24．如图，图1为一个长方体，AB=AD=16，AE=6，图2为左图的表面展开图，请根据要求回答问题：
（1）面“学”的对面是面什么？
（2）图1中，M、N为所在棱的中点，试在图2中画出点M、N的位置； 并求出图2中△ABN的面积．
25．如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m的圆锥体上，在地面上形成的影子为EB，且∠SBA=30°．（以下计算结果都保留根号）
（1）求影子EB的长；
（2）若∠SAC=60°，求光源S离开地面的高度．
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第3章 投影与三视图 单元模拟演练卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是( )
A．球 B．直立圆柱 C．圆锥 D．倒放圆柱
【答案】B
【解析】【解答】解：A、球的主视图和左视图都是圆，不符合题意；
B、 直立圆柱的主视图和左视图都是矩形，符合题意；
C、圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，不符合题意；
D、倒放圆柱的主视图是矩形，左视图是圆形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据各几何体的主视图和左视图判断即可.
2．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：从上面看易得上面一层有3个正方形，下面中间有一个正方形．
故答案为：A．
【分析】根据从上面看几何体得到的图形解题即可．
3．下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、球的三视图都是圆，此选项符合题意；
B、长方体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是正方形，此选项不符合题意；
C、圆柱体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，此选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三视图的概念分别判断即可求解.
4．如图的几何体是由10个相同的小正方体搭成的，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解析】【解答】解：由几何体的搭建可知，若移走下列中的一块小正方体后，该几何体的主视图会发生改变，则可能移走的小正方体是④.
故答案为：D.
【分析】根据主视图是从正面看到的图像即可判断.
5．晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
【答案】B
【解析】【解答】解：晚上小亮在路灯下散步，当小亮从远处走到灯下的时候，他在地上的影子由长变短，当他再远离路灯的时候，他在地上的影子由短变长．
故选B．
【分析】根据中心投影的定义当小亮从远处走到灯下，他在地上的影子逐渐变短，当他再远离路灯的时，他在地上的影子逐渐变长．
6．已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥
【答案】B
【解析】【解答】解：∵主视图和左视图都是三角形，
∴此几何体为椎体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆锥．
故选B．
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥．
7．如左下图，胶带的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：
从左边看是曲面，且投在平面当中为矩形，中间是两条虚线
故答案为：B
【分析】根据三视图进行判断即可求出答案.
8．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设圆锥侧面扇形的圆心角为n°，由题意得，
解得n=288，
∴ 圆锥的侧面积为：.
故答案为：D.
【分析】设圆锥侧面扇形的圆心角为n°，根据圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长建立方程可求出n的值，进而根据扇形的面积计算公式“s=”计算即可.
9．将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解析】【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】长方体体积=（30-2x)2x，
将x=7代入得：体积为（30-14)2×7=1792；
将x=6代入得：体积为（30-12)2×6=1944；
将x=5代入得：体积为（30-10)2×5=2000；
将x=4代入得：体积为（30-8)2×4=1936，
则x=5时，体积最大．
故选C．
【点评】本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象)折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念
10．如图，扇形DOE的半径为3，边长为的菱形OABC的顶点A，C，B分别在OD，OE，弧ED上，若把扇形DOE围成一个圆锥，则此圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】连接OB，AC，BO与AC相交于点F，∵在菱形OABC中，AC⊥BO，CF=AF，FO=BF，∠COB=∠BOA，又∵扇形DOE的半径为3，边长为，∴FO=BF=1.5，cos∠FOC=，∴∠FOC=30°，∴∠EOD=2×30°=60°，∴弧ED的长=，底面圆的周长为：2πr=π，解得：，∵圆锥母线为3，则此圆锥的高为：，故选：C．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知圆锥的底面圆直径是2，母线是3，则圆锥的侧面积是 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆直径是2，母线是3，
∴圆锥的侧面积为：.
故答案为：.
【分析】根据扇形的面积公式“”计算圆锥的侧面积即可.
12． 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示，请搭出所有满足条件的几何体，则搭出的几何体最少要 个小立方块．
【答案】5
【解析】【解答】满足条件的几何体有3种搭建方法，如下：
其中每个正方形内标的数字代表该位置小立方块的数量，
所以，组成几何体的小立方块的数量分别为：6，5，5，
所以，最少需要5块，
故答案为：5.
【分析】根据简单几何体三视图的定义分别画出满足从正、左面看到的形状的情况，从而求解.
13．如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
【答案】/
【解析】【解答】解：∵底面圆的直径AB=6cm，
∴底面圆的周长=6πcm.
设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为n°，
∵底面圆的周长=侧面展开扇形的弧长，
∴6π=，
∴n=120°，
∴∠APD=60°.
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴△PAB为等边三角形.
∵D为PB的中点，
∴AD⊥PB.
∵PA=9cm，PD=cm，
∴AD=cm，
∴蚂蚁爬行的最短距离为cm.
故答案为：cm.
【分析】根据底面圆的直径可得周长，设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为n°，由底面圆的周长=侧面展开扇形的弧长可求出n的度数，进而推出△PAB为等边三角形，得到AD⊥PB，利用勾股定理可得AD，据此解答.
14．在中，，以直角边所在的直线为轴，将旋转一周，则所得的几何体的侧面积是 （结果保留π）.
【答案】60π或80π
【解析】【解答】解：∵，
∴；
以直角边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，所得图形为圆锥；
①绕AC旋转一周，
则圆锥的母线，圆锥底面半径，
∴圆锥的侧面积；
②绕BC旋转一周，
则圆锥的母线，圆锥底面半径，
∴圆锥的侧面积；
综上：所得的几何体的侧面积是：或.
故答案为：或.
【分析】首先根据勾股定理算出BC的长，由于以直角边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，所得图形为圆锥，故分①绕AC旋转一周，②绕BC旋转一周，两种情况分别找出圆锥的母线长及圆锥底面半径，进而根据圆锥的侧面积S直接计算即可.
15．如图，圆锥的底面半径OB长为5cm，母线AB长为15cm，则这个圆锥侧面展开图的圆心角α为 度．
【答案】120
【解析】【解答】解：圆锥底面周长=2×5π=10π，
∴扇形的圆心角α的度数=圆锥底面周长×180÷15π=120°．
故答案为：120．
【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数=圆锥底面周长×180÷15π计算．
16．如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4.若一只蚂蚁在底面上点A处，在相对母线OC的中点B处有一只小虫，蚂蚁要捉小虫，需要爬行的最短路程为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
依题可得：
底面圆的直径AC=8，
∴底面圆的周长=8π.
∴8π= ，
∴n=180，
∴展开图(如图所示)中∠A'OB=90°，
在Rt△A'BO中，
∴A'B== ，
∴蚂蚁爬行的最短路程为 .
【分析】设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据圆锥侧面展开图特点：扇形的弧长即为底面圆的周长，由此得出展开图扇形圆心角的度数，（如图）在Rt△A'BO中，根据勾股定理得出A'B长度，即为蚂蚁爬行的最短路程.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图是无盖长方体盒子的表面展开图．
（1）求表面展开图的周长（粗实线的长）；
（2）求盒子底面的面积．
【答案】（1）如图所示：表面展开图的周长为：2a+2b+4c；
（2）盒子的底面长为：a﹣（b﹣c）=a﹣b+c．
盒子底面的宽为：b﹣c．
盒子底面的面积为：（a﹣b+c）（b﹣c）=ab﹣b2+2bc﹣ac﹣c2
【解析】【分析】（1） 无盖长方体盒子的表面展开图的周长就是 粗实线的长 ，利用平移的方法及长方体的性质即可得出；
（2）根据示意图求得该 长方体盒子 的长与宽，然后根据矩形的面积计算方法即可算出答案。
18．如图，边长为acm的正方体其上下底面的对角线AC、A1C1与平面H垂直．
（1）指出正方体六个面在平面H上的正投影图形；
（2）计算投影MNPQ的面积．
【答案】（1）正方体在平面H上的正投影图形是矩形
（2）∵正方体边长为acm，∴BD= = （cm），∴投影MNPQ的面积为 = （cm2）．
【解析】【分析】（1）根据 正方体的摆放角度判断出其六个面在平面H上的正投影图形是矩形 ；
（2）首先利用勾股定理算出BD的长，该长就是矩形MNPQ的长MQ，其投影矩形的宽就是正方体的高，然后滚局矩形的面积计算方法即可算出答案。
19．如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10 cm．
（1）求圆锥的全面积；
（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．
【答案】（1）解：由题意，可得圆锥的母线SA= =40（cm）
圆锥的侧面展开扇形的弧长l=2π OA=20πcm
∴S侧= L SA=400πcm2
S圆=πAO2=100πcm2，
∴S全=S圆+S底=（400+100）π=500π（cm2）；
（2）解：沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离
由（1）知，SA=40cm，弧AA′=20πcm
∵ =20πcm，
∴∠S=n= =90°，
∵SA′=SA=40cm，SM=3A′M
∴SM=30cm，
∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM=50（cm）
所以，蚂蚁所走的最短距离是50cm．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再求出圆锥侧面展开图的扇形的弧长，就可求出圆锥的底面圆的面积及侧面积，然后根据 S全=S圆+S底，就可解答问题。
（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离， 利用弧长公式求出扇形圆心角的度数，就可证得△ASM是直角三角形，再根据SM=3AM，求出SM的长，然后利用勾股定理求出AM的长。
20．如图：扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm，
（1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：扇形的圆心角是120°，半径为6cm，
则扇形的弧长是： = =4π
则圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π，
设圆锥的底面半径是r，
则2πr=4π，
解得：r=2．
圆锥的底面半径是2cm．
【解析】【分析】（1）连接AB，作弦AB的垂直平分线，即可作出此扇形的对称轴。
（2）根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的扇形的弧长，列方程求解即可。
21．有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示．
（1）求被剪掉阴影部分的面积：
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
【答案】（1）解：如图，连接BC，
∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC=1m，
又∵AB=AC，
∴ ．
∴ （平方米）
（2）解：设底面圆的半径为r，则 ，
∴ ．
圆锥的底面圆的半径长为 米．
【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°，得BC为⊙O的直径，即BC=1m；又由AB=AC，得到AB= BC= ，而S阴影部分=S⊙O﹣S扇形ABC，然后根据扇形和圆的面积公式进行计算即可；（2）扇形的半径是AB= ，扇形BAC的弧长l= = π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，然后利用弧长公式计算．
22．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
【答案】（1）解答：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∵∠ABC=∠DEF=90°
∴△ABC∽△DEF．
∴，
∴
∴DE=10（m）．
【解析】分析：（1）根据投影的定义，作出投影即可 （2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例 构造比例关系 ，计算可得DE=10（m）．
23．用6个小正方体搭一个立体图形．
（1）给出它的左视图如图①所示，能确定它的形状吗？
（2）再给出它的俯视图如图②所示，你能搭出图形吗？请画出它的主视图．
【答案】（1）解：左视图只能体现出几何体的宽和高，剩下2个正方体可摆放在那三行中的很多位置，所以不能确定它的形状
（2）解：从正面看从左往右2列正方形的个数依次为2，2．
【解析】【分析】（1）只能断定有3行，高2层，不能确定其具体形状；（2）俯视图可决定最底层的正方体的个数，再在第二横行第二层上搭两个即可．
24．如图，图1为一个长方体，AB=AD=16，AE=6，图2为左图的表面展开图，请根据要求回答问题：
（1）面“学”的对面是面什么？
（2）图1中，M、N为所在棱的中点，试在图2中画出点M、N的位置； 并求出图2中△ABN的面积．
【答案】（1）解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“学”与“国”是相对面，
“叶”与“际”是相对面，
“枫”与“校”是相对面，
答：面“学”的对面是面国
（2）解：点M、N如图所示，
∵N是所在棱的中点，
∴点N到AB的距离为 ×16=8，
∴△ABN的面积= ×16×8=64．
【解析】【分析】（1）将正方体侧面展开，根据侧面展开图即可得出结果；
（2）由侧面展开图可以判断出M、N的位置，从而可求出△ABN的面积。
25．如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m的圆锥体上，在地面上形成的影子为EB，且∠SBA=30°．（以下计算结果都保留根号）
（1）求影子EB的长；
（2）若∠SAC=60°，求光源S离开地面的高度．
【答案】（1）∵圆锥的底面半径和高都为2m，
∴CH=HE=2m，
∵∠SBA=30°，
∴HB=2m，
∴影长BE=BH﹣HE=2﹣2（m）；
（2）作CD⊥SA于点D，
在Rt△ACD中，
得CD=ACcos30°=AC=，
∵∠SBA=30°，∠SAB=∠SAC+∠BAC=60°+45°=105°，
∴∠DSC=45°，
∴SC===2，
∴SB=2+BC=2+4，
∴SF=SB=（+2）m，
答：光源S离开地面的高度为（2+）m．
【解析】【分析】（1）根据已知得出CH=HE=2m，进而得出HB的长，即可得出BE的长；
（2）首先求出CD的长进而得出∠DSC=45°，利用锐角三角函数关系得出SC的长即可．
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