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第二章：一元二次方程培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选择：B．
2.答案：C
解析：根据题意得：．
故选择：C．
3.答案;D
解析：∵一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2＋bx＋a＝0的一个正根相等，
∴ax2＋bx＋1＝x2＋bx＋a，
解得x2＝1，
∴正根为1，
∵ax2＋bx＋1＝0的另一个根为4，
∴，
∴
∵方程x2＋bx＋a＝0有一个正根为1，设另一个根为m，
∴则，
∴
∴另一个根为，
∴x2＋bx＋a＝0的两个根分别为1，．
故选择：D．
4.答案：D
解：①对于方程，
，
若，则，
则，
即，
∴方程一定有两个不相等的实数根；故选项正确；
②由①可知，，
若，则，即，则，
∴，
∴方程没有实数根；故②正确；
③若n是方程的一个根，则，即，
则或，即或，故选项错误；
④若是方程的一个根，
则，
∵，
∴两边同除以得，
，
即，
∴是方程的一个根．
故④正确；
综上可知，①②④正确，
故选择：D
5.答案：D
解析：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0， <0，所以a与c符号相反， <0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 c+ b+a=0，所以 是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意.
故选择：D.
6.答案：B
解析：∵是方程的一个根
∴
故选择：B
7.答案：B
解析：∵x1＝﹣2，x2＝1，是方程a（x+m）2+b＝0的解，
∴令2x+1＝x1，2x+1＝x2，满足方程a（x+m）2+b＝0，即a（2x+1+m）2+b＝0．
∴，
∴方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是：
故选择：B．
8.答案：C
解析：根据题意得x （x﹣k）﹣2×4＝0，
整理得x2﹣kx﹣8＝0，
∵Δ＝（k）2﹣4×1×（﹣8）＝k2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选择：C．
9.答案：D
解析：设2022--2024年投入经费的年平均增长率为x，
则2022年投入万元，2024年投入万元，
根据题意得．
故选择：D．
10.答案：D
解析：∵，，
∴，，
∴
，
∵a，m，n是实数，
∴，
∴，即①正确；
若m，n都为整数，其可能情况有以下两种：
当m，n都为奇数时，则必为偶数，
又∵，
∴，
∵a为奇数，
∴必为偶数，这与b为奇数矛盾；
当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数，
又∵，
∴，
∵a为奇数，
∴必为偶数，这与c为奇数矛盾；
综上所述，若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数．即②正确；
∵，，
∴，，
∴关于x的一元二次方程的两根为，n．即③正确．
故选择：D．
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：四
解析：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解这个不等式，，
，
点在第四象限，
故答案为：四．
12.答案：36
解析：∵
∴
∴
因式分解得：
∴
∴
故答案为：36
13.答案：5
解析：由题意得：，即
∴或
解得：（舍去）或．
故答案为：5．
14.答案：
解析：方程的两个根为：
方程的两个根为：，
∵方程的两个根与方程的两个根相同
当，
当，
∴
故答案为：
15.答案：
解析：解方程得，
∵使得关于的分式方程有整数解，
∴或或或或1或2或5或10，
∴或9或6或5或3或2或或，
又∵，
∴，
解得，
∴或9或6或5或3或2或，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
∴，且，
∴ 或，
∴所有满足条件的整数的和为．
故答案为：．
16.答案：①③
解析:当 时，方程只有一个解，①正确；
当时，方程是一元二次方程，
方程有两个实数解，②错误；
把分解为
∴是方程 的根，③正确；
故答案为①③.
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）
移项得：
因式分解得：
∴
（2）
因式分解得：
∴
（3）
∵
∴
∴
18.解析：（1）证明：∵，
∴
；
∵，
∴；
∴无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根；
（2）把代入，得：，
解得：．
19.解析:(1)根据题意得解得。
(2)由(1)知k的最大整数为2，方程.
变形为解得
一元二次方程 与方程 有一个相同的根，
∴当.时，解得；
当时，,解得m=1,而m-1≠0.∴m的值为
20.解析：（1）设矩形的长为，则，
由题意得，，
整理得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
．
答：当矩形的长为25米时，矩形花园的面积为．
（2）不能围成面积为的矩形花园，理由如下：
设矩形的长为，则，
由题意得，，
整理得：，
解得：，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，不合题意，舍去；
不能围成面积为的矩形花园．
21.解析：（1）设经过x秒以后面积为，
依题意，
则，
整理得：，
解得：（舍去），
答：1秒后的面积等于；
（2）解：的面积不能等于，理由如下∶
设经过t秒以后面积为，
则，
整理得：，
，
所以此方程无解，
故的面积不能等于．
22.解析：（1）设购买文学类图书m本，
由题意得：，
解得：，
即至少购买文学类图书80本，
故答案为：80；
（2）解：设购进文学类图书x本，则科普类图书本，分情况讨论：
①当时，，
解得：；
②当时，，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），；
③当时，，
解得：（不符合题意，舍去）；
答：购进文学类图书30本或60本．
23.解析：（1）设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的进价是元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
∴．
答：商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元．
（2）解：设每个圆规的售价为m元，
由题意得：，
整理得：，解得：或，
∵降价幅度不超过，
∴，解得：，
∴．
答：每个套尺的售价为11元．
24.解析：（1）∵，
∴，
又∵，，
∴，是一元二次方程的两个根，
则，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
即，
∴，
又∵，
∴，即，
∴．
∵，为两个不相等的实数，
∴，
则，
∴．
又∵，
∴，
即．
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第二章：一元二次方程培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．无法判断
2.在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个正根相等，若ax2+bx+1＝0的另一个根为4，则x2+bx+a＝0的两个根分别为（ ）
A．﹣4，4 B．﹣4，1 C．，4 D．，1
4.关于x的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若n是方程的一个根，则；
④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②④
5．已知两个关于x的一元二次方程，，其中.下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
6．若是方程的一个根，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．0
7.已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），那么方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝0， C．x1＝﹣3，x2＝3 D．无法求解
8.对于任意4个实数 a，b，c，d定义一种新的运算 ，例如： ，则关于x的方程 的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
9.某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2022年起到2024年累计投入4250万元，已知2022年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
10．已知实数a，b，c，m，n，其中，满足，．则以下说法：①；②若a，b，c，均为奇数，则m，n不能都为整数；③关于x的一元二次方程的两根为，n．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第______ 象限．
12．如果实数满足，则
13.在正数范围内定义一种运算：，如，若，则m的值为______________
14．已知，为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则
15．若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数的和为____________
16. 关于x的方程有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解； ②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 (填序号).
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）解下列方程：
（1） （2） （3）
18.．（本题6分）已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根；
(2)若是此方程的一个根，求的值．
19. (本题8分)关于x的一元二次方程.有实数根.
(1)求k 的取值范围.(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程
与方程 有一个相同的根，求此时m的值.
20．（本题8分）如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙），现有砌长的墙的材料．
(1)当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为；(2)能否围成面积为的矩形花园，为什么？
21.（本题10分）如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止．
(1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？
(2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由．
22.（本题10分）2024年4月23日是第二十九个世界读书日，第三届全民阅读大会在昆明如期举行，共建书香社会，共享现代文明．学校积极响应“最是书香能致远”，计划购买文学和科普两类图书．已知文学类图书每本40元，科普类图书每本30元．为弘扬中国传统文化，商家决定对文学类图书推出销售优惠活动：若不超过50本，按每本40元价格销售；若超过50本，每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于25元（即超过一定的购买数量后，单价保持25元不变）．
(1)如果每本文学类图书的单价是25元，则至少购买文学类图书____本；
(2)如果学校购进两类图书共100本，用去购书款3300元，求购进文学类图书多少本？
23.（本题12分）开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍．
(1)求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价；
(2)商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？
24.（本题12分）已知关于的一元二次方程开展探究．
(1)若时，实数，满足，，且，求的值；
(2)若两个不相等的实数，满足，，求的值．
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