第1章 二次根式 单元检测基础过关卷（含解析）

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第1章 二次根式 单元检测基础过关卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．二次根式有意义，则x的值可以为（　　）
A．7 B．6 C．0 D．﹣1
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为（　　）
A．+ B．÷ C．+或× D．﹣或×
7．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　）
A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮
8．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为S1＝2和S2＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　）
A．a+b﹣1 B．1﹣a﹣b C．a﹣b+3 D．b﹣a﹣3
10．若2＜a＜3，则＝（　　）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．化简：
（1）＝　 　； （2）＝　 　．
12．若计算的结果为a，则这个数a落在了数轴上的 　 　段．
13．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2﹣y2＝　 　．
14．若，且a+b＜0，则a﹣b的值是 　 　．
15．计算：＝　 　．
16．已知实数a满足，则a﹣20202＝　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）．
18．计算：
①（+）×；
②（4﹣3）÷2；
③（+）（﹣）；
④（5+2）2．
19．计算：
（1）；
（2）．
20．解答下列各题
（1）已知，求x+2y的平方根．
（2）已知x，y为实数，且．求的值．
21．如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片．
（1）小方形纸片的边长为 　 　cm；
（2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值；
（3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
22．阅读材料，解答问题：
材料：已知，求的值，张山同学是这样解答的：∵，∴．
问题：已知．
（1）求的值；
（2）求x的值．
23．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．
结合以上材料，回答下列问题：
（1）的小数部分是　 　，的整数部分是　 　；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
24．下面我们观察：，反之，，
∵
∴．
仿上例，求：
（1）化简：；
（2）计算：．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．二次根式有意义，则x的值可以为（　　）
A．7 B．6 C．0 D．﹣1
【点拨】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
【解析】解：要使二次根式有意义，
则x﹣7≥0，
解得：x≥7，
故x的值可以是7，A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含根式判断即可．
【解析】解：A选项，原式＝，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；
C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含根式是解题的关键．
3．下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可．
【解析】解：A、＝与是同类二次根式，故A不正确；
B、＝2与不是同类二次根式，故B正确；
C、＝4与是同类二次根式，故C不正确；
D、＝2是同类二次根式，故D不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
4．下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据算术平方根的定义对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B、C、D进行判断．
【解析】解：A、，故错误；
B、，故正确；
C、，故错误；
D、，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算及算术平方根的定义，正确运用二次根式的乘法法则及识别平方根与算术平方根的区别是解题的关键．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则计算．
【解析】解：A、运算正确，故本选项符合题意；
B、＝2，故本选项运算错误，不符合题意；
C、＝2，故本选项运算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
6．在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为（　　）
A．+ B．÷ C．+或× D．﹣或×
【点拨】分别添加各符号计算后进行判断即可．
【解析】解：（+1）+（﹣1）＝2，结果不是有理数，则A，C不符合题意；
（+1）÷（﹣1）＝＝3+2，结果不是有理数，则B不符合题意；
（+1）×（﹣1）＝2﹣1＝1，结果，是有理数，（+1）﹣（﹣1）＝2，结果是有理数，则D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　）
A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮
【点拨】根据二次根式的运算法则，对每步算式进行计算即可．
【解析】解：因为＝，
所以小明没有出现错误．
因为＝＝，
所以小丽出现错误．
因为，
所以小红出现错误．
因为＝，
所以小亮没有出现错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的运算法则是解题的关键．
8．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为S1＝2和S2＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】判断出两个正方形的边长，可得结论．
【解析】解：∵两个正方形的面积分别为S1＝2和S2＝3，
∴两个正方形的边长分别为，，
∴阴影部分的面积＝×（﹣）＝﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　）
A．a+b﹣1 B．1﹣a﹣b C．a﹣b+3 D．b﹣a﹣3
【点拨】根据实数a，b在数轴上的位置判断a+1，b﹣2的符号，再根据二次根式的性质和化简方法进行计算即可．
【解析】解：由实数a，b在数轴上的位置可知，﹣1＜a＜0＜1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣2＜0，
∴原式＝|a+1|+|b﹣2|
＝a+1﹣b+2
＝a﹣b+3．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，数轴与实数，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质与化简方法是正确解答的关键．
10．若2＜a＜3，则＝（　　）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
【点拨】根据二次根式的性质解答即可．
【解析】解：因为2＜a＜3，
所以＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5，
故选：D．
【点睛】此题考查二次根式的性质，关键是根据二次根式的性质解答．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．化简：
（1）＝　3　； （2）＝　　．
【点拨】（1）根据二次根式的除法运算法则： （a≥0，b＞0）可化为3，计算即可得出答案；
（2）根据二次根式的性质与化简的方法进行求解即可得出答案．
【解析】解：（1）原式＝3＝3；
故答案为：3；
（2）原式＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法运算法则进行求解是解决本题的关键．
12．若计算的结果为a，则这个数a落在了数轴上的 　④　段．
【点拨】根据二次根式的乘法法则求出a，估算无理数的大小即可得到答案．
【解析】解：×＝＝，
∵9＜12＜16，
∴3＜＜4，
∴这个数a落在了数轴上的④段，
故答案为：④．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法、实数与数轴，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
13．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2﹣y2＝　　．
【点拨】先分解因式，再代入比较简便．
【解析】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝4．
【点睛】注意分解因式在代数式求值中的作用．
14．若，且a+b＜0，则a﹣b的值是 　﹣7或﹣1　．
【点拨】根据绝对值和算术平方根的定义得到a＝±4，b＝±3，再由a+b＜0得到a＝﹣4，b＝±3，据此代值计算即可．
【解析】解：∵，
∴a＝±4，b＝±3，
∵a+b＜0，
∴a＝﹣4，b＝±3，
当a＝﹣4，b＝3时，a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7；
当a＝﹣4，b＝﹣3时，a﹣b＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1，
∴a﹣b的值是﹣7或﹣1，
故答案为：﹣7或﹣1．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，算术平方根，绝对值，正确求出a＝﹣4，b＝±3是解题的关键．
15．计算：＝　　．
【点拨】根据积的乘方的逆用把原式变形为是解题的关键；根据积的乘方的逆用和二次根式的乘方计算即可．
【解析】解：
＝
＝
＝
＝；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法计算，积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方运算法则是关键．
16．已知实数a满足，则a﹣20202＝　2021　．
【点拨】根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案．
【解析】解：根据二次根式有意义的条件得：a﹣2021≥0，
∴a≥2021，
∴2020﹣a＜0，
∴原式可化为：a﹣2020+＝a，
∴＝2020，
∴a﹣2021＝20202，
∴a﹣20202＝2021，
故答案为：2021．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【点拨】（1）根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据算术平方根的定义，计算即可；
（3）根据立方根的定义，计算即可；
（4）根据算术平方根的定义，进行计算即可；
（5）根据二次根式的性质，进行化简即可．
【解析】解：（1）原式＝|3﹣π|＝π﹣3；
（2）原式＝；
（3）原式＝﹣0.6；
（4）原式＝；
（5）原式＝25．
【点睛】本题考查平方根、立方根以及二次根式的性质与化简，理解平方根、算术平方根、立方根的定义，掌握二次根式的性质与化简方法是正确解答的关键．
18．计算：
①（+）×；
②（4﹣3）÷2；
③（+）（﹣）；
④（5+2）2．
【点拨】①运用乘法分配律进行计算，然后将二次根式化为最简即可．
②先将括号里面的各项分别除以2，然后在合并同类二次根式即可．
③运用平方差公式进行计算．
④根据完全平方公式进行展开运算，然后合并即可．
【解析】解：①原式＝+＝4+3；
②原式＝2﹣；
③原式＝﹣＝5﹣3＝2．
④原式＝75+20+20＝95+20．
【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的乘除法则及二次根式的化简．
19．计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）先根据二次根式的乘法法则、除法法则计算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
【解析】解：（1）原式＝﹣2+2
＝2﹣2+2
＝2；
（2）原式＝（）2﹣（）2﹣（3+4+4）
＝5﹣2﹣7﹣4
＝﹣4﹣4．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
20．解答下列各题
（1）已知，求x+2y的平方根．
（2）已知x，y为实数，且．求的值．
【点拨】（1）先根据偶次方和算术平方根的非负性可得x﹣2＝0，y﹣x+1＝0，从而可得x，y的值，再根据平方根的性质求解即可得；
（2）先根据算术平方根的被开方数的非负性可得x＝9，代入可求出y的值，再求算术平方根即可得．
【解析】解：（1）∵，，
∴x﹣2＝0，y﹣x+1＝0，
∴x＝2，
∴y﹣2+1＝0，即y＝1，
∴x+2y＝2+2×1＝4，
∴，
∴x+2y的平方根是±2；
（2）∵，由题意得：
，
解得x＝9，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，非负数的性质：偶次方，平方根，非负数的性质：算术平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键．
21．如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片．
（1）小方形纸片的边长为 　2　cm；
（2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值；
（3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
【点拨】（1）判断出小正方形面积为8可得结论；
（2）判断出a＝1，b＝2﹣2，代入也是求解即可；
（3）设长方形纸片的长和宽分别是4x cm，3x cm，得到3x 4x＝24，求出x的值，即可解决问题．
【解析】解：（1）∵小正方形的面积为16÷2＝8（cm2），
∴小正方形的边长为2cm．
故答案为：2；
（2）由题意a＝2，b＝2﹣2，
∴a+2b﹣4＝2+2（2﹣2）﹣4＝2+4﹣4﹣4＝﹣2；
（3）不能，理由如下：
∵长方形长宽之比为2：1，
∴设长方形的长和宽分别为2x cm，x cm，
∴2x x＝12，
∴x2＝6，
∵x＞0，
∴x＝，
∴2x＝2，
∵2＜＜3，
∴2＝＞4．
∴沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形．
【点睛】本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽．
22．阅读材料，解答问题：
材料：已知，求的值，张山同学是这样解答的：∵，∴．
问题：已知．
（1）求的值；
（2）求x的值．
【点拨】（1）仿照材料，利用平方差公式进行计算即可得到答案；
（2）由（1）得到，求解即可得到答案．
【解析】解：（1）∵＝＝30﹣x﹣9+x＝21，
又∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴30﹣x＝25，
解得：x＝5；
经检验，x＝5是原方程的根，
∴x＝5．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，本题是阅读型题目，理解题干的方法并应用是解题关键．
23．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．
结合以上材料，回答下列问题：
（1）的小数部分是　　，的整数部分是　1　；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
【点拨】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，即可得其的小数部分；同理估算无理数的大小，从而得出的大小，即可得出整数部分；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，即可得其的小数部分，同理估算无理数的大小，即可得出整数部分，再代入化简即可得出答案．
【解析】解：（1）∵，
∴的整数部分是4，
∴的小数部分是，
∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是1，
故答案为：，1；
（2）∵，
∴的整数部分是2，
∴的小数部分是，
即，
∵，
∴，
∴的整数部分为6，
即b＝6，
∴．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键．
24．下面我们观察：，反之，，
∵
∴．
仿上例，求：
（1）化简：；
（2）计算：．
【点拨】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可．
【解析】解：（1）∵
∴；
（2）
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解此题的关键．
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