第1章 二次根式 单元检测能力提升卷（含解析）

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第1章 二次根式 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
5．下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．估计的值在（　　）
A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间
7．已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为（　　）
A．9 B．±3 C．3 D．5
8．已知，则的值为（　　）
A． B． C．12 D．18
9．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，，，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．若7＜m＜9，则化简的结果是（　　）
A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．＝　 　．
12．计算：＝　 　，＝　 　，＝　 　．
13．已知，，则x2﹣y2的值为 　 　．
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为 　 　．
15．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝5，b＝6，c＝7，则AC边上的高的长为 　 　．
16．已知，求＝　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．小明计算的解答过程如下：．他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
18．计算：
（1）（+）÷﹣6；
（2）﹣（1+）（2﹣）．
19．先化简，再求值：当a＝9时，求a+的值．小宁的解答过程如下：
原式＝a+第一步
＝a+1﹣a第二步
＝1第三步
（1）小宁的解答从第 　 　步出现错误的，错误的原因是 　 　．
（2）写出正确的解答过程．
20．已知；
（1）求x2﹣xy+y2的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
21．如图，某小区内有一块矩形广场，广场长为2米，宽为2米，广场中间有两块大小相同的矩形绿地（阴影部分），每块小矩形绿地的长为米，宽为米．
（1）求广场的周长；
（2）除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？
22．阅读下列材料：
通过探究知道：≈1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：∵22＜7＜32，即，∴的整数部分是2，小数部分是．
（1）的整数部分是 　 　．
（2）已知，其中x是一个整数，0＜y＜1，求的值．
23．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的：
∵＝＝，
∴，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝　 　；
（2）化简：；
（3）若，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
24．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样可以把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当m、n均为正整数，若，则m＝　 　，n＝　 　．
（2）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　．
（3）化简．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．
【解析】解：A、，x有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；
B、，x2+1＞0，故一定是二次根式，符合题意；
C、，若﹣1＜x＜1时，无意义，不合题意；
D、，是三次根式，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解析】解：A.＝＝，故A不符合题意；
B.＝2，故B不符合题意；
C.＝，故C不符合题意；
D.是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
【解析】解：A、+无需计算，故此选项错误；
B、＝2，故此选项错误；
C、×＝，正确；
D、＝3，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
【点拨】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】解：由题意得4﹣2x＞0，
解得x＜2，
故选：A．
【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0解题的关键．
5．下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项．
【解析】解：A．＝3，与两者不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B． ＝，能与合并，故该选项符合题意；
C． ＝，2不能与合并，故该选项不符合题意；
D． ＝，不能与合并，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，熟练掌握二次根式性质是关键．
6．估计的值在（　　）
A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间
【点拨】先利用乘法分配律进行计算，然后再估算出的值的范围，从而估算出+1的值的范围，即可解答．
【解析】解：
＝×+×
＝+1，
∵25＜35＜36，
∴5＜＜6，
∴6＜+1＜7，
∴估计的值在6到7之间，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为（　　）
A．9 B．±3 C．3 D．5
【点拨】原式变形为，由已知易得m+n＝2，mn＝（1+）（1﹣）＝﹣1，然后整体代入计算即可．
【解析】解：m+n＝2，mn＝（1+）（1﹣）＝﹣1，
原式＝＝＝＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．
8．已知，则的值为（　　）
A． B． C．12 D．18
【点拨】根据二次根式的被开方数是非负数，由非负数的性质列式求出x的值；然后将x的值代入求出y的值，最后代入待求式，进行计算即可．
【解析】解：由题意得：，
解得x＝3，
把x＝3代入，可得y＝3，
所以＝＝．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式有意义的条件以及求代数式的值的方法．
9．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，，，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题．
【解析】解：∵，且，，，
∴a2＝5，b2＝6，c2＝7，
∴
＝
＝
＝，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式混合运算法则是关键．
10．若7＜m＜9，则化简的结果是（　　）
A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5
【点拨】根据7＜m＜9判断出5﹣m＜0，m﹣10＜0，再根据二次根式的性质化简即可．
【解析】解：∵7＜m＜9，
∴5﹣m＜0，m﹣10＜0，
∴
＝m﹣5+10﹣m
＝5，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握：当a≥0时，；当a＜0时，．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．＝　　．
【点拨】先把的分子分母都乘以2得到解＝，再利用二次根式的除法法则得到，然后利用二次根式的性质化简即可．
【解析】解：＝＝＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了二次根式的除法．
12．计算：＝　5　，＝　3　，＝　﹣1﹣　．
【点拨】根据二次根式的性质、分母有理化的方法计算即可得出答案
【解析】解：，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质化简，分母有理化、二次根式的乘除法，熟练掌握运算方法是解题的关键．
13．已知，，则x2﹣y2的值为 　　．
【点拨】根据题意，先求出x+y和x﹣y的值，然后代入计算，即可得到答案．
【解析】解：∵，，
∴，，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为 　﹣3a　．
【点拨】由数轴易得a＜0＜b，且|a|＞|b|，则a+b＜0，再根据二次根式，绝对值的性质及立方根的定义化简即可．
【解析】解：由数轴易得a＜0＜b，且|a|＞|b|，
则a+b＜0，
原式＝|a|﹣a﹣b﹣（a﹣b）
＝﹣a﹣a﹣b﹣a+b
＝﹣3a，
故答案为：﹣3a．
【点睛】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，绝对值及立方根，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键．
15．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝5，b＝6，c＝7，则AC边上的高的长为 　　．
【点拨】根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S，再根据三角形面积公式即可求出AC边上的高．
【解析】解：∵a＝5，b＝6，c＝7，
∴，
∴，
设AC边上的高的长为h，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．已知，求＝　　．
【点拨】根据二次根式有意义求出x，y的值即可．
【解析】解：∵，
∴x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x＝3，
∴y＝8，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．小明计算的解答过程如下：．他的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【点拨】根据二次根式的加减法的法则进行分析即可．
【解析】解：有错误；
正确解法：原式＝2﹣
＝
【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对二次根式的加减法的法则的掌握．
18．计算：
（1）（+）÷﹣6；
（2）﹣（1+）（2﹣）．
【点拨】（1）先算除法，再化为最简二次根式，最后合并即可；
（2）先展开，再去括号，最后合并．
【解析】解：（1）原式＝+﹣2
＝2+5﹣2
＝5；
（2）原式＝3﹣2+1﹣（2﹣+2﹣3）
＝3﹣2+1﹣2+﹣2+3
＝5﹣3．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
19．先化简，再求值：当a＝9时，求a+的值．小宁的解答过程如下：
原式＝a+第一步
＝a+1﹣a第二步
＝1第三步
（1）小宁的解答从第 　二　步出现错误的，错误的原因是 　二次根式的性质用错　．
（2）写出正确的解答过程．
【点拨】（1）根据二次根式的性质判断；
（2）根据二次根式的性质＝|a|把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解析】解：（1）小宁的解答从第二步出现错误的，
错误的原因是：二次根式的性质用错，
∵a＝9，
∴1﹣a＜0，
∴＝a﹣1，
故答案为：二，二次根式的性质用错；
（2）原式＝a+
＝a+a﹣1
＝2a﹣1，
当a＝9时，原式＝2×9﹣1＝17．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．
20．已知；
（1）求x2﹣xy+y2的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值．
【点拨】（1）先求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可；
（2）先求出a，b的值，进而可得出结论．
【解析】解：（1）∵x＝＝＝2﹣，y＝＝＝2+，
∴x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝（2﹣+2+）2﹣3×（2﹣）（2+）
＝42﹣3×1
＝16﹣3
＝13；
（2）由（1）知，x＝2﹣，y＝2+，
∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，3＜2+＜4，
∴0＜2﹣＜1，
∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
∴a＝2﹣，b＝2+﹣3＝﹣1，
∴原式＝（2﹣+﹣1）2+
＝1+
＝1+2﹣3
＝2﹣2．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，估算无理数的大小，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
21．如图，某小区内有一块矩形广场，广场长为2米，宽为2米，广场中间有两块大小相同的矩形绿地（阴影部分），每块小矩形绿地的长为米，宽为米．
（1）求广场的周长；
（2）除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，求这个广场铺地砖的费用为多少？
【点拨】（1）根据矩形的周长公式列式，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）根据铺地砖的面积等于矩形广场的面积减两个绿地的面积列式，再利用二次根式的混合运算法则化简，再乘以50元/平方米的价格，即可求出铺地砖的费用．
【解析】解：（1）∵矩形广场长为米，宽为米，
∴矩形广场的周长为（米）．
（2）由题意可知，铺地砖的面积为：
＝
＝
＝（平方米），
∵铺地砖的费用为50元/平方米，
∴这个广场铺地砖的费用为元．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
22．阅读下列材料：
通过探究知道：≈1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：∵22＜7＜32，即，∴的整数部分是2，小数部分是．
（1）的整数部分是 　1　．
（2）已知，其中x是一个整数，0＜y＜1，求的值．
【点拨】（1）仿照材料估算即可得到答案；
（2）结合（1）求出x，y的值，再代入计算即可．
【解析】解：（1）∵12＜3＜22，即1＜＜2，
∴的整数部分为1；
故答案为：1；
（2）∵1＜＜2，
∴9＜8+＜10，
∴x＝9，y＝8+﹣9＝﹣1，
∴
＝2×9+（﹣1﹣）2017
＝18+（﹣1）2017
＝18﹣1
＝17．
【点睛】本题考查二次根式化简求值和实数大小的估算，解题的关键是读懂题意，能估算无理数的大小．
23．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的：
∵＝＝，
∴，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝　　；
（2）化简：；
（3）若，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
【点拨】（1）根据所给的解答方式进行求解即可；
（2）把各式的分母进行有理化，即可求解；
（3）先进行分母有理化的运算，再代入相应的式子运算即可．
【解析】解：（1）；
故答案为：；
（2）原式＝
＝
＝13﹣1
＝12；
（3）∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝5，
即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴a4﹣4a3﹣4a+3
＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3
＝a2×1﹣4a+3
＝a2﹣4a+3
＝1+3
＝4．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
24．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样可以把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当m、n均为正整数，若，则m＝　1　，n＝　1　．
（2）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3m　，b＝　2mn　．
（3）化简．
【点拨】（1）（2仿照题目给出的例，可得结论；
（3）先把7化为2+22，把二次根式的被开方数写成完全平方式，再化简二次根式，最后分母有理化．
【解析】解：（1）∵（m+n）＝m2+3n2+2mn，
又∵，
∴m2+3m2＝4，mn＝1．
∵m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝1．
故答案为：1，1．
（2）∵（m+n）＝m2+3n2+2mn，
又∵，
∴m2+3m2＝a，2mn＝b．
故答案为：m2+3m，2mn．
（3）
＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了二次根式，看懂题例掌握二次根式的性质、完全平方公式等知识点是解决本题的关键．
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